基带信号在AWGN信道上的最佳接收-补充

基带信号通过加性白高斯噪声信道传输基带信号通过加性白高斯噪声信道传输在基带传输情况中，接收到的是基带波形脉冲，我们还要通过解调来恢复脉冲波形由于经过传输的脉冲波形已非原来理想过解调来恢复脉冲波形。由于经过传输的脉冲波形已非原来理想的发送波形，信道滤波和接收机的前端滤波使得波形失真，引起了码间干扰（ISI）。另外由于在传输过程中存在各种干扰和加性噪声，使得接收到的脉冲波形迭加上噪声干扰，因而在对信号采样判决时会出现错误。解调的目的在于要免除码间干扰影响，以可能昀好的信号噪声比来恢复基带脉冲。通过对发送、接收滤波器的正确设计，以及利用各种均衡器技术，原则上我们可以消除码间干扰影响。，本节主要讨论基带信号通过加性白高斯噪声信道（AWGN）传输，不考虑由于频带限制所带来的码间干扰影响；也就是把信传输，不考虑由于频带限制所带来的码间干扰影响；也就是把信道作为无限带宽系统。一、解调和检测解调就是把接收到波形恢复成发送的基带脉冲而检测是指作出判断解调就是把接收到波形恢复成发送的基带脉冲，而检测是指作出判断，确定波形所代表的数字含义。解调与采样检测频率下变换器接收滤波器均衡器判决器解调与采样检测()ist()rt变换器滤波器均衡()nt()rht()zt频率下变换方框是为带通信号传输所设计，对于基带信号传输来说，它可以完全省去。接收滤波器，执行波形恢复的功能。接收滤波器是可以完省接滤波，执行波复功能接滤波是以昀好的信噪比恢复基带脉冲。这种昀佳滤波器也称为匹配滤波器，或者叫相关器。由于发送滤波，信道滤波使得接收到的脉冲序列发生或者叫相关器。由于发送滤波，信道滤波使得接收到的脉冲序列发生码间干扰，不适于直接采样和判决，均衡器用来消除由带限系统所引起的码间干扰（ISI）实际系统中接收滤波器和均衡器往往结合在起的码间干扰（ISI）。实际系统中接收滤波器和均衡器往往结合在一起。解调/检测过程包含有二个转换。第一是波形—样本转换，这由采样器完成。在每个符号时间结束，采样器输出样本值，也称为检测统计量。检测统计量是一个随机变量，它与接收到符号的能量T()zmT()zmT及附加噪声有关。由于输入噪声是Gaussian过程，接收滤波器是线性的，所以滤波器输出噪声也是高斯的。第二是样本到消息符号转换。接收滤波门限在时采样tT()zt()rt()ist消息符号滤波判决()rht()nt简化的基带传输模型1()()stst0tT发送“1”简化的基带传输模型0()()istst0tT“1”发送“0”()()()irtstnt()()()rztrtht()()()iozTaTnT()()()zTaTnT在时刻的采样输出为，()zttT()()()iozTaTnT其中是由信号分量得到的，是所需分量；是噪声分量。()iaT()onTiozan是均值为零，方差为的高斯噪声()onT202000011(|)exp22zapzs2110011(|)exp22zapzs0022和分别称为是、的似然概率。0(|)pzs1(|)pzs0s1s判决器作用是把采样值与某门限相比，根据大于还是小于来确定发送的是，还是。基带传输系统中的解调和检测主要归结为z0s1s如何设计一个好的接收滤波器和如何选择比较门限。二、信号和噪声的矢量空间表示N维矢量空间在N维矢量空间S中每个矢量x用它的N个坐标表示为()xxx在N维矢量空间S中每个矢量x用它的N个坐标表示为12(,,,)Nxxx；两个矢量x、y的和定义为：1122(,,,)NNxyxyxyx+y矢量x与标量之积定义：12(,,,)Nxxxx两个矢量xy的内积：两个矢量x、y的内积：1Niiixyxy1i矢量x的长度定义为：矢量x的长度定义为：21||||Niixxxx两个矢量x、y的夹角：cos||||||||xy1iy||||||||xy1(1,0,0,,0)v2(0,1,0,,0)v(0001)(0,0,0,,1)Nv是一组相互正交规一的矢量称为基矢量是组相互正交，规的矢量，称为基矢量。Gram-Schmidt正交化法则对于任何个线性无关矢量，可以通过如下方法得到组个正交规矢量N,1,2,,iiNxN得到一组个正交、规一矢量Nie；任取一个矢量，比如1x111/||||e=xx，；22211()bxxee222/||||ebb，；()()bxxeexee/||||ebb33311322()()bxxeexee，333/||||ebb；1n11()nnnniiibxxee/||||nnnebb，1,2,,nN；可以把任何一组N个正交、规一矢量，作为这个N维空间S的基矢量。信号和噪声的矢量空间表示把在上平方可积函数和看成是矢量(0,)T()xt()yt把在上平方可积函数和看成是矢量，(0,)T()xt()yt和的内积定义：()xt()yt0()()()()Txtytxtytdt0函数的长度定义为：()xt2||()||()Txtxtdt矢量和的的夹角定义：()xt()yt()()cosxtyt0||()||()||()||||()||xtyt是一组在上定义的正交、规一函数，即(),1,2,,itiN(0,)Ti01()()0Tijijttdtijij0ij任何一个由线性组合构成的函数可以表示为：()it()st()()()()stststst1122()()()()NNstststst把看成是一组N个正交、规范基函数，相当于N维正交空间的个交单位向量于是就可以看成为是这个维空间中的个()it()tN个正交单位向量。于是就可以看成为是这个N维空间中的一个点，它的座标为，称这N维空间为信号空间。()st12(,,,)Nsss由Gram-Schmidt正交化步骤：可以从任何一组M个波形，构造出一组()ist1,2,,iM0,tT，N个正交规范波形()i12(),(),,(),NtttNM；任取个矢量比如()st()()/||()||tstst=任取一个矢量，比如1()st111()()/||()||tstst，；22211bss222()()/||()||tbtbt，；()()/||()||bb33311322bsss，333()()/||()||tbtbt；1nb()()/||()||tbtbt1nnniiibss()()/||()||nnntbtbt，1,2,,nN；使得：11111221()()()()()()()()NNstststststststst22112222()()()()()()()()NNstststststststst1122()()()()MMMMNNstststst()()Tijijossttdt1,2,,;1,2,,iMjN，[例]4个基带信号1234(),(),(),()stststst1()st2()st4()st3()st1()t3()t1/2()t2()t1/2构造出一组3个正交规范波形()()()ttt1/2123(),(),()ttt11()2()()2()()stt322332()2()()()2()stttstts2s43413()2()()sttt12(200)(021)sss41234(2,0,0),(0,2,1),(0,2,0),(2,0,1)ssss2223s1s311222342,3,2,3ssss2每个信号波形可以用矢量表示，信号能量()ist12(,,)iiiNsss2NTT22N2001()()NTTiiijjjEstdtstdt221ijijss1,2,,iM()信号的能量相当于矢量长度的平方。12(,,,)iiiNsss[例]在上定义的16个基带信号：(,),()cossinijstitjt,1,3ij，可以用二维信号空间中的点表示该二维信号空间的基矢量函数为：可以用二维信号空间中的点表示，该二维信号空间的基矢量函数为：1cos()tt2sin()tt()()()stitjt所以,12()()()ijstitjt(,)ijijs.()ijj222.||||()ijijs双边功率谱密度为N0/2的白高斯噪声也可以表示成二部分组成，N其中T0，ˆ()()()ntntnt是在这N维信号空间中的投影。()nt1ˆ()()jjjntnt其中0()()Tjjnnttdt，是在这N维信号空间中的投影。()nt另一部分：是与信号空间正交的分量。因为对任何(),1,2,,jtjMˆ()()()ntntntj0()()0Tjnttdt可以用矢量表示ˆ()nt12(,,,)Nnnn分量是高斯随机变量，的均值和协方差分别为：inin0()()TiiEnEnttdt000()()()()TTijijEnnEntntdtd0TTN000()()()2ijNttdtd0N2ij02Nij20ijN维噪声矢量的概率分布为：12ˆ()(,,,)Nntnnn12()(,,,)N2/21()()exp()NNiiNnfnfnNN1100()iiNN三、基函数相关解调当发送是信号时，接收到()kst()()()krtstnt1,2,,kM，()()()k,,,投影到N维信号空间，得到的矢量表示为()rt12(,,,)NrrrrT0()()Tiirrttdtkiisn1,2,,iN是均值为方差为的独立高斯随机变量所以在发送rsoN()st是均值为，方差为的独立高斯随机变量，所以在发送条件下，接收到的条件概率为：irkis2o()kst12(,,,)Nrrrr20/2101(|)exp()/()NkikiNiprsNNrs20/201exp/()kNNNrs其中，表示矢量的长度。krs()krs1()t2()t去判决()Nt()Nt基函数相关解调器是作出判决的充分统计量；也就是说作出正确判决12(,,,)Nrrrr12(,,,)N的信息包含在矢量中，与噪声分量无关。r()ntˆ()()()ntntnt()()()ikikEntrEntsEntn()kEntnN1()()NjjkjEntntnN1()()()()()NTkjkjojEntndEnntNN00()()22kkNNtt0所以和是不相关的对于高斯变量不相关就意味着相互独()t所以和是不相关的。对于高斯变量，不相关就意味着相互独立，所以和独立的。从而是一组充分统计量，给出的充()ntir()ntirir分统计量的解调器是一组基函数相关器。[例3.1]M电平PAM传输，其中基本脉冲形状为矩形，如图所()Tst示，加性噪声是零均值，白高斯噪声。求基函数和基函数相关解调器输出。()t解矩形脉冲能量为A()Tst[解]矩形脉冲能量为22()TsToEstdtAT