852.3.1离散型随机变量的数学期望

2.3.1离散型随机变量的数学期望安丘青云学府高二数学组学习目标1了解离散型随机变量的期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望．⒉理解期望公式，以及“若ξ服从B（n,p），则Eξ=np.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望重点：离散型随机变量的期望的概念难点：根据离散型随机变量的分布列求出期望授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪1、什么叫n次独立重复试验？一.复习一般地，由n次试验构成，且每次试验互相独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与，每次试验中P(A)＝p＞0。称这样的试验为n次独立重复试验，也称伯努利试验。2、什么叫二项分布？kknknnP(k)Cp(1p)ξ01…k…nPCn0p0qnCn1p1qn-1…Cnkpkqn-k…Cnnpnq0若X～B(n，p)一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为x1，x2，……，xi，…，ξ取每一个值xi(i＝1，2，…)的概率P(ξ＝xi)＝pi，则称下表为随机变量ξ的概率分布，由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：(1)pi≥0，i＝1，2，…；(2)p1＋p2＋…＝1．3、离散型随机变量的概率分布ξx1x2…xi…Pp1p2…pi…二.问题1、甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表示，X1，X2的概率分布下：X10123pk0.70.10.10.1X20123pk0.50.30.20如何比较甲、乙两个工人的技术？对于离散型随机变量，确定了它的分布列，就掌握了随机变量取值的统计规律.但在实际应用中，我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差.数学期望的定义若离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称：EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望。•它反映了离散型随机变量取值的平均水平。E(X1)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6E(X2)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7对于问题1由于E(X1)＜E(X2)，即甲工人生产出废品数的均值小，从这个意义上讲，甲的技术比乙的技术好。问题1、甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表示，X1，X2的概率分布下：X10123pk0.70.10.10.1X20123pk0.50.30.20如何比较甲、乙两个工人的技术？例1假如你是一位商场经理，在五一那天想举行促销活动，根据统计资料显示，若在商场内举行促销活动，可获利2万元；若在商场外举行促销活动，则要看天气情况:不下雨可获利10万元，下雨则要损失4万元。气象台预报五一那天有雨的概率是40%，你应选择哪种促销方式？解：设商场在商场外的促销活动中获得经济效益为万元，则的分布列为0.40.6P－410E=10×0.6＋(－4)×0.4=4.4万元＞2万元,故应选择在商场外搞促销活动。1、随机变量ξ的分布列是ξ135P0.50.30.2(1)则Eξ=.2、随机变量ξ的分布列是2.4ξ47910P0.3ab0.2Eξ=7.5,则a=b=.0.40.1变式例2在篮球比赛中，如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球一次得分设为X，X的均值是多少？解：该随机变量X服从两点分布:P(X=1)=0.7、P(X=0)=0.3所以：EX=1×P(X=1)+0×P(X=0)=0.7X01p0.30.7如果随机变量X服从两点分布，那么EX=pξ10pp1-p∴Eξ=0×Cn0p0qn+1×Cn1p1qn-1+2×Cn2p2qn-2+…+k×Cnkpkqn-k+…+n×Cnnpnq0∵P(ξ=k)=Cnkpkqn-k证明：=np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+…+Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)+…+Cn-1n-1pn-1q0)=np(p+q)n-1=npξ01…k…nPCn0p0qnCn1p1qn-1…Cnkpkqn-k…Cnnpnq0(∵kCnk=nCn-1k-1)探究：若ξ~B(n，p)，则Eξ=若X～B(n，p)，则EX=np不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成绩大约是90分例3.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项正确,每题选对得5分,不选或选错不得分,满分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个.求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题个数分别是和η,则ξ～B(20,0.9),η～B(20,0.25)，所以Eξ＝20×0.9＝18，Eη＝20×0.25＝5．由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5ξ和5η.这样，他们在测验中的成绩的期望分别是E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90，E(5η)＝5Eη＝5×5＝25．思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?他的均值为90分的含义是什么?变式有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，出现1，你赢8元；出现2或3或4，你输3元；出现5或6，不输不赢．这场赌博对你是否有利?对你不利!劝君莫参加赌博.Eξ=例4:（2009上海）某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量x表示选出的志愿者中女生的人数，则x的数学期望是（结果用最简分数表示）超几何分布nMEN74变式一个袋子里装有大小相同的5个白球5个黑球，从中任取4个，求其中所含白球个数的期望。105*4E(X)==2数学期望小结EX表示X所表示的随机变量的均值；EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望。两点分布：EX=p二项分布：EX=np超几何分布求数学期望时：1.已知是两点分布，二项分布或超几何分布时，直接代用公式；2.其它分布的随机变量，先画出分布列，在对应求值。nMEN当堂检测答案1.A2.43.C4.1005.0.47作业课本64页练习2、3、4、5；69页B组第1题。