§6.4 基变换与坐标变换

§2线性空间的定义与简单性质§3维数·基与坐标§4基变换与坐标变换§1集合·映射§5线性子空间§7子空间的直和§8线性空间的同构§6子空间的交与和小结与习题第六章线性空间一、向量的形式书写法二、基变换§6.4基变换与坐标变换三、坐标变换引入我们知道，在n维线性空间V中，任意n个线性无关的向量都可取作线性空间V的一组基．V中任一向量在某一组基下的坐标是唯一确定的，但是在不同基下的坐标一般是不同的．因此在处理一些问题是时，如何选择适当的基使我们所讨论的向量的坐标比较简单是一个实际的问题．为此我们首先要知道同一向量在不同基下的坐标之间有什么关系，即随着基的改变，向量的坐标是如何变化的.一、向量的形式书写法1、V为数域P上的n维线性空间，为12,,,nV中的一组向量，，若V1122nnxxx则记作1212(,,,)nnxxx11112121212122221122nnnnnnnnnnaaaaaaaaa则记作2、V为数域P上n维线性空间，；12,,,n12,,,n为V中的两组向量，若1112121222121212(,,,)(,,,)nnnnnnnnaaaaaaaaa在形式书写法下有下列运算规律1)121212,,,,,,,,,,,nnnVaaabbbP11112222121212(,,,)(,,,)(,,,)nnnnnnnabababababab若12,,,n线性无关，则111122221212(,,,)(,,,)nnnnnnabababababab注：2)；为V中的两组向量，12,,,n12,,,n矩阵，则,nnABP1212((,,,))(,,,)()nnABAB；1212(,,,)(,,,)nnAB；1212(,,,)(,,,)nnAA；1122(,,,)nnA若12,,,n线性无关，则1212(,,,)(,,,).nnABAB12(,,,)()nAB1、定义设V为数域P上n维线性空间，；12,,,n12,,,n为V中的两组基，若11112121212122221122nnnnnnnnnnaaaaaaaaa①即，二、基变换则称矩阵111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa为由基到基的过渡矩阵；12,,,n12,,,n称①或②为由基到基12,,,n12,,,n的基变换公式．1112121222121212(,,,)(,,,)nnnnnnnnaaaaaaaaa②2、有关性质1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵．证明：若为V的两组基,1212,,,;,,,nn且由基的过渡矩阵为A，1212,,,,,,nn到即1212(,,,)(,,,)nnA又由基也有一个过渡矩阵,1212,,,,,,nn到设为B，即1212(,,,)(,,,)nnB③④比较③、④两个等式，有1212(,,,)(,,,)nnBA1212(,,,)(,,,)nnAB都是线性无关的,1212,,,;,,,nn.ABBAE即，A是可逆矩阵,且A－1＝B.反过来，设为P上任一可逆矩阵，()ijnnAa任取V的一组基12,,,,n1212(,,,)(,,,)nnA于是有，1,1,2,,nijiiajnj令11212(,,,)(,,,)nnA由A可逆，有1212,,,,,,nn与等价.即，也可由线性表出.12,,,n12,,,n故线性无关，从而也为V的一组基.12,,,n并且A就是的过渡矩阵.1212,,,,,,nn到2）若由基过渡矩阵为A,1212,,,,,,nn到基则由基过渡矩阵为A-1.1212,,,,,,nn到基3）若由基过渡矩阵为A,1212,,,,,,nn到基由基过渡矩阵为B，则1212,,,,,,nn到基由基过渡矩阵为AB.1212,,,,,,nn到基1212(,,,)(,,,)nnB1212(,,,)(,,,)nnA事实上,若1212(,,,)((,,,))nnAB则有，12(,,,)nAB三、坐标变换⑤1、定义：V为数域P上n维线性空间12,,,;n为V中的两组基，且12,,,n1112121222121212(,,,)(,,,)nnnnnnnnaaaaaaaaa设且ξ在基与基12,,,n12,,,nV下的坐标分别为与，12(,,,)nxxx12(,,,)nxxx即，1212(,,,)nnxxx与1212(,,,)nnxxx则1112111221222212nnnnnnnnaaaxxxaaaxxxaaa或11112111221222212nnnnnnnnaaaxxxaaaxxxaaa⑦称⑥或⑦为向量ξ在基变换⑤下的坐标变换公式．⑥例1在Pn中，求由基12,,,n到基12,,,n过渡矩阵．其中12(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,,0,1)n12(1,1,,1),(0,1,,1),,(0,,0,1)n解：∵11222nnnn的过渡矩阵及由基12,,,n12,,,n到基的并求向量在基下的坐标.12,,,n12(,,,)naaa11212100110(,,,)(,,,)111nn1210001100(,,,)01100001n而，∴1212100110(,,,)(,,,)111nn12,,,n12,,,n到基由基的过渡矩阵为1000110001100001故，由基12,,,n到基12,,,n的过渡矩阵为10011011112(,,,)naaa在基下的坐标就是12,,,n12(,,,)naaa设在基下的坐标为，则12,,,n12(,,,)nxxx111222111000110001100001nnnnxaaxaaaxaaa所以在基下的坐标为12,,,n1211(,,,)nnaaaaa例2在P4中，求由基1234,,,到基1234,,,的过渡矩阵，其中1234(1,2,1,0)(1,1,1,1)(1,2,1,1)(1,1,0,1)1234(2,1,0,1)(0,1,2,2)(2,1,1,2)(1,3,1,2)解：设12(1,0,0,0),(0,1,0,0),34(0,0,1,0),(0,0,0,1)则有1234123411112121(,,,)(,,,)11100111或11234123411112121(,,,)(,,,)11100111，1234123420211113(,,,)(,,,)02111222从而有1234(,,,)112341111202121211113(,,,)1110021101111222112341111202121211113(,,,)1110021101111222123410011101(,,,)01110010∴由基1234,,,到基1234,,,的过渡矩阵为1001110101110010练习：已知的两组基：22P1112212210010000,,,;00001001EEEE1112212210111111,,,00001011FFFF求由基的过渡矩阵，1112,21221112,2122,,,,EEEEFFFF到并求矩阵在基下的矩阵.11122122,,,FFFF3542A解：1111121112211112212211122122FEFEEFEEEFEEEE1112,21221112,212211110111(,,)(,,)00110001FFFFEEEE1112,21223542AEEEE又设A在基下的坐标为1112,2122,,FFFF1234(,,,),xxxx1123411113011150011400012xxxx则812211003011050011400012即A在基下的坐标为1112,2122,,FFFF(8,1,2,2).