复合函数求偏导

复合函数求偏导一、复合函数的链式法则二、全微分形式不变性一、复合函数的链式法则设z=f(u,v)是变量u，v的函数，而u，v又是x，y的函数，即，如果能构成z是x,y的二元复合函数),(),,(yxvyxu)],,(),,([yxyxfz如何求出函数z对自变量x，y的偏导数呢？定理8.5设函数在点(x,y)处有偏导数，而函数z=f(u,v)在对应点(u,v)有连续偏导数，则复合函数在点(x,y)处的偏导数存在，且有下面的链式法则：yzxz,),(),,(yxvyxu)],(),,([yxyxfz(1).,yvvzyuuzyzxvvzxuuzxz复合函数的结构图是公式(1)给出z对x的偏导数是(*)xvvzxuuzxz公式(*)与结构图两者之间的对应关系是：偏导数是由两项组成的，每项又是两个偏导数的乘积，公式(*)的这两条规律，可以通过函数的结构图得到，即xz(1)公式(*)的项数，等于结构图中自变量x到达z路径的个数.函数结构中自变量x到达z的路径有两条.第一条是，第二条是，所以公式(*)由两项组成.zvxzux(2)公式(*)每项偏导数乘积因子的个数,等于该条路径中函数及中间变量的个数.如第一条路径,有一个函数z和一个中间变量u，因此，第一项就是两个偏导数与的乘积.zuxxuuz复合函数结构虽然是多种多样，求复合函数的偏导数公式也不完全相同，但借助函数的结构图，运用上面的法则，可以直接写出给定的复合函数的偏导数的公式.这一法则通常形象地称为链式法则.下面借助于函数的结构图，利用链式法则定出偏导数公式.1、设z=f(u,v,w)有连续偏导数，而都有偏导数，求复合函数的偏导数.),(),,(),,(yxwyxvyxu)),(),,(),,([yxyxyxfzyzxz,由结构图看出自变量x到达z的路径有三条，因此由三项组成.而每条路径上都有一个函数和一个中间变量，所以每项是函数对中间变量及中间变量对其相应自变量的偏导数乘积，即xz(2).xwwzxvvzxuuzxz同理可得到，(3).ywwzyvvzyuuzyz2.设函数w=f(u,v)有连续偏导数，而都有偏导数，求复合函数的偏导数.),,,(zyxu),,(zyxv)],,(),,,([zyxzyxfwzwywxw,,(4).,,zvvwzuuwzwyvvwyuuwywxvvwxuuwxw借助于结构图，可得3.设函数w=f(u,v)有连续偏导数，而可导，则复合函数只是自变量x的函数，求z对x的导数.),(xu)(xv)](),([xxfzxzdd可得(5).ddddddxvvzxuuzxz在这里，函数z是通过二元函数z=f(u,v)而成为x的一元复合函数.因此，z对x的导数又称为z对x的全导数.对公式(5)应注意，由于z，u，v这三个函数都是x的一元函数，故对x的导数应写成，而不能写成.xvxuxz,,xvxuxzdd,dd,ddxzdd公式(5)是公式(2)的特殊情形，两个函数u,v的自变量都缩减为一个，即公式(2)就变成(5).更特殊地，如果函数z不含v，只是u的函数，于是公式(5)变成.ddddddxuuzxz这正是一元复合函数的求导公式.4.设函数z=f(x,v)有连续偏导数，有偏导数，求复合函数的偏导数.),(yxv)],(,[yxxfzyzxz,自变量x到达z的路径有二条，第一路径上只有一个函数，即z是x的函数.第二路径上有两个函数z和v.自变量y到达z的路径只有一条，于是的偏导数公式应是：yzxz,(6).yvvfyzxvvfxfxz，注意：这里的与是代表不同的意义.其中是将函数中的y看作常量而对自变量x求偏导数，而是将函数f(x,v)中的v看常量而对第一个位置变量x求偏导数，所以两者的含意不同，为了避免混淆，将公式(6)右端第一项写，而不写为.xfxzxz)],(,[yxxfzxfxfxz.,yzxz例1设求,,,sineyxvxyuvzu解法1得xvvzxuuzxzyvvzyuuzyz1cosesinevyvuu，)]cos()sin([eyxyxyxy)].cos()sin([eyxyxxxy1cosesinevxvuu解法2对于具体的二元复合函数，可将中间变量u，v，用x，y代入，则得到，z是x，y二元复合函数，根据复合函数的链式法则，得)sin(eyxzxy)cos(e)sin(eyxyxyxzxyxy)cos(e)sin(eyxyxxyzxyxy，)]cos()sin([eyxyxyxy)].cos()sin([eyxyxxxy例2设，其中f(u,v)为可微函数，求),(22xyyxfz.,yzxz解令，可得xyvyxu,22xvvzxuuzxzyvvzyuuzyz其中不能再具体计算了，这是因为外层函数f仅是抽象的函数记号，没有具体给出函数表达式.vzuz,，vzyuzx2，vzxuzy2例3设，其中f(u,v,w)为可微函数，求.,,zwywxw),,(2xyzxyxfw解令可得.,,2xyztxyvxuxttwxvvwxuuwxwdd.twxzvwx.twxyzttwzw,2twyzvwyuwxyttwyvvwyw例4设求,,e2sin),(222yxvxvxvxfwv.xz解可得xvvfxfxz在该例中，我们清楚看出与含意是不同的.xfxz.4)sin(4sin22xyxxvxf显然不等于.xzxvxxvv2)ecos()4(sin.2]e)cos([]4)[sin(222222xyxxxyxyx例5设求.dd,ln,e,2tztyxxztytyyztxxztzdddddd解得txxyxyty1lne221)1(222yxxyxyyy).1(ln22ttt.sinvfyxyvvfyz.,yzxz.cosvfyxfxvvfxfxz例6设z=f(x,xcosy)，其中f(u,v)为可微函数，求解令v=xcosy，得求复合函数的二阶偏导数，不需要新的方法和新的公式，只需把一阶偏导数看作一个新的函数，应用链式法则对它再求偏导数即可.332211uxxuxw.0222222zwywxw222,1zyxuuw例7设，求证：证22221ddzyxxuxuuwxw.1)(33uxuxxuuuxu331dd12224331zyxxuxu.31523uxu由于x，y，z在函数中的地位是相同的，所以同样有.31,315232252322uzuzwuyuyw.033)(333352223222222uuuzyxuzwywxw因此有二、全微分形式不变性与一元函数的微分形式不变性类似，多元函数全微分也有形式不变性.也就是说不论u，v是自变量还是中间变量，函数z=f(u,v)的全微分的形式是一样的.即(7).dddvvzuuzz这个性质称为全微分的形式不变性.事实上，设z=f(u,v)有连续偏导数，当u，v是自变量时，显然(7)式成立.如果u，v是中间变量，即，且这两个函数具有连续偏导数，则复合函数),(),,(yxvyxu)],(),,([yxyxfz的全微分为,dddyyzxxzz其中.,yvvzyuuzyzxvvzxuuzxzyzxz,将代入上式，得yyvvzyuuzxxvvzxuuzzddd即，当u，v是中间变量时，(7)式也成立.这就证明了全微分形式不变性.yyvxxvvzyyuxxuuzdddd.ddvvzuuz).0(ddd,dd)(d,dd)(d2vvvuuvvuuvvuvuvuvu例如，.ddd)(d)()(dvuuvvvuvuuuvvu利用全微分形式不变性及全微分的四则运算公式，求函数的全微分会更简便些.利用全微分形式不变性，比较容易地得出全微分的四则运算公式，例8求的全微分及偏导数.222zyxxu解222222222)(dd)(dzyxzyxxxzyxu,)(2222222zyxxzyxu2222222)()d2d2d2(d)(zyxzzyyxxxxzyx.)(d2d2d)(2222222zyxzxzyxyxxzy,)(22222zyxxyyu.)(22222zyxxzzu例9设，其中f(u,v)有连续偏导数，求及)sin,(22xxyxfz.dyzxzz，解设xvxyxu22sin,vvfuufzddd,2sin)2(vfxufyxxz故)dcossin2(]d)d2[(xxxvfyxxyxufyufxxvfxufyxdd]2sin)2[(.ufxyz