断裂力学――2Griffith 理论(1)

1ShanghaiUniversity断裂力学FractureMechanics断裂力学第二讲郭战胜[e-mail]办公地点：延长校区力学所317室平时答疑：每周一：5-6节晚修答疑:每周一：18：00-20：30地点：HE108或HE104b2能量原理3线弹性断裂力学认为，材料和构件在断裂以前基本上处于弹性范围内，可以把物体视为带有裂纹的弹性体。研究裂纹扩展有两种观点：一种是能量平衡的观点，裂纹扩展的动力是构件在裂纹扩展中所释放出的弹性应变能，它补偿了产生新裂纹表面所消耗的能量，如Griffith理论；一种是应力场强度的观点，认为裂纹扩展的临界状态是裂纹尖端的应力场强度达到材料的临界值，如Irwin理论。4线弹性断裂力学的基本理论线弹性断裂力学的基本理论包括：Griffith理论，即能量释放率理论；Irwin理论，即应力强度因子理论。断裂力学作为一门崭新的学科是在上个世纪50年代才建立和发展起来的。但是Griffith在1920年建立的针对玻璃、陶瓷等脆性材料的脆性断裂准则，成功地解释了这类材料的实际断裂强度远小于理论强度这一客观事实。该理论仅适用于完全脆性材料，对于绝大多数金属材料，在断裂前和断裂过程中裂纹尖端总存在塑性区，裂纹尖端也因塑性变形而钝化。不能使用Griffith理论，这就是该理论长期得不到重视和发展的主要原因。后来Irwin修正了Griffith的理论，使得断裂力学成为一门学科。Griffith理论5Griffith理论Inglis的论文1913年，Inglis研究了无限大板中含有一个穿透板厚的椭圆孔的问题，得到了弹性力学精确分析解，称之为Inglis解。1920年，Griffith研究玻璃与陶瓷材料脆性断裂问题时，将Inglis解中的短半轴趋于0，得到Griffith裂纹。TransactionsoftheInstitutionofNavalArchitects,55(1913),pp.219–230.6C.E.InglisSirCharlesEdwardInglis(31July1875-19April1952)wasaBritishcivilengineer.InglisspentmuchofhislifeasalecturerandacademicatKing'sCollegeCambridgeandmadeseveralimportantstudiesintotheeffectsofvibrationanddefectsonthestrengthofplatesteel.Hismotherdiedwhenheonlyiselevendays,hewasbroughtupbyhisfather’sunmarriedsister.InglisservedintheRoyalEngineersduringtheFirstWorldWarandinventedalightweight,reusablesteelbridge-theprecursorandinspirationfortheBaileybridgeoftheSecondWorldWar.HismilitaryservicewasrewardedwithanappointmentasanOfficeroftheOrderoftheBritishEmpire7DepartmentofEngineeringHeadofDepartment1919-43Hecarriedthelargestteachingload,coveringthesubjects:statics,dynamics,theoryofstructures,materialsanddrawing,balancingengines,girderdesignandreinforcedconcrete.Hispersonalitywassuchthathenotonlytaughtthesubjectmostdelightfullybutinspiredthemembersoftheaudiencewithrespectandaffection.C.E.Inglis8C.E.InglisAMathematicalTreatiseonVibrationsinRailwayBridges.ByC.E.Inglis.Cambridge,UniversityPress,andNewYork,Macmillan,1934.203pp.and65figures.Griffith理论RoyalEngineersconstructinganInglisBridgeMkIIIattheSchoolofMilitaryEngineering,18June19439Griffith理论TheInternationalUnionofTheoreticalandAppliedMechanicswasfoundedin1946,duringtheSixthCongressinParis.Eachofthefirstsixcongresseshadbeenorganizedbyanationalcommitteeofscientistsfromthecountrywherethecongresswastobeheld.FourthC.E.InglisCongressPresident1934CambridgeUKInternationalCongressesonTheoreticalandAppliedMechanics(ICTAM)Beijing，BaiYilong23rd10Griffith理论ThemaximumstressoccursattheendsofthemajoraxisofthecavityandisgivenbyInglis’sformulamax12abthinplateofglasswithanellipticalholeinthemiddleHefoundthatpointA,attheendoftheellipse,wasfeelingthemostpressure.Healsofoundthatastheratioofa/bgetsbigger(theellipsegetslongerandthinner)thatthestressatAbecomesgreaterandgreaterC.E.Inglis11C.E.InglisHealsofoundthatpullingontheplateinadirectionparalleltotheellipsedoesnotproduceagreatstressatA.Thisleadstothefactthataloadperpendicular,notparallel,tothecrackwillmakeitgrow.Griffith理论12Thenhelookedatotherplateswithnot-quite-ellipticalholes,likethese.Fromlookingattheseherealizedthatit'snotreallytheshapeoftheholethatmattersincracking.Whatmattersisthelengthofthecrackthatisperpendiculartotheloadandwhattheradiusofcurvatureattheendsoftheholeis.Thelongerthehole(orcrack),thehigherthestress,andthesmallertheradiusofcurvature,thehigherthestress.Griffith理论13一、动机两个矛盾的事实Thestressneededtofracturebulkglassisaround100MPa.Thetheoreticalstressneededforbreakingatomicbondsisapproximately10,000MPaexperimentsonglassfibersthatGriffithhimselfconductedsuggestedthatthefracturestressincreasesasthefiberdiameterdecreases.–尺寸相关性Griffith理论1314二、Griffith理论1920年，Griffith研究玻璃与陶瓷材料脆性断裂问题时，将Inglis解中的短半轴趋于0，得到Griffith裂纹。Griffith理论Griffith研究了如图所示厚度为B的薄平板。上、下端受到均匀拉应力作用，将板拉长后，固定两端，构成能量封闭系统。15设想在板中沿垂直于载荷方向切开一条长度为2a的贯穿裂纹，由于裂纹的长度远小于板的面内尺寸，可以将此板视为“无限大”板。由于设想切开了一条贯穿裂纹，裂纹就形成了上下两个自由面，原来作用于该表面位置的拉应力消失了，与此同时，上下自由表面发生相对张开位移，消失的拉应力对此张开位移做负功，使得板内的应变能降低了。Griffith根据Inglis（1913）对“无限大”板内开了一个椭圆形圆孔后分析得到的应力场、位移场计算公式，得出当椭圆孔短轴尺寸趋于零（理想尖裂纹）时，弹性应变能的改变量为2222211UaBEUaBE平面应变平面应力Griffith理论=+σσσσσσGriffith理论16σσGriffith理论17•能量守恒定律：能量守恒定律是自然界的一条普遍规律，它指出：系统能量的增加等于输入的能量。对于热力学系统又可表述为：作用于系统上功的增量δW加上系统接受的热的增量δQ等于系统内能的增量ΔE加上动能的增量ΔK,即•若增量无限小且诸量可微，则可写成率的形式：QWKEQWKEGriffith理论18把能量守恒定律应用于裂纹体：E为储存在介质中的内能；T为动能；Γ为裂纹表面能；为外力功率；传热率。作如下假设：•断裂过程中总体热交换效果可忽略（近似绝热假设），•准静态过程，T≈0，•介质为弹性的，E=UWQ0QWUdtd)()1()2(QWTEGriffith理论19受有均匀外力σ作用具有长度为2a的无限大板，其位移场为：其中：对平面应变情况对平面应力情况考虑线弹性裂纹体的应变能：现建立裂纹扩展的临界条件（考虑时,裂纹有微扩展da）应变能率：axxaxv22)1(4)(4313k22081214BadxvBUa)3()4()5()(412daddtdadtddtdaaBdtdUccσσGriffith理论2021另一方面，Griffith认为，由于裂纹处形成两个自由表面，从而有表面能增加，形成新的自由表面需要吸收的能量为24AaB其中：为单位面积上的表面能。由于板的上下两端是固定的，外力不做功，即外力势能不改变。可以得到如下表达式d()0dUA临界状态d()0dUA裂纹稳定d()0dUA裂纹不稳定Griffith理论21表面能率:外力功率：把应变能率、表面能率及外力功率代入能量平衡方程（2）：或)7()6()8()9(dtdaaBdxdtdaaxaBdxdtdvBwcaccac2212200212)(214)1(44dtdaBdtde4eca2812ecEa'2Griffith理论2223上式表明，当裂纹扩展单位面积，系统释放的应变能恰好等于形成自由表面所需的表面能时，裂纹就处于不稳定的平衡状态；或裂纹扩展单位面积，系统释放的应变能大于形成其自由表面所需的表面能时，裂纹就会失稳扩展而断裂。当然，若释放的应变能小于形成其自由表面能所需的表面能时，裂纹就不会扩展，处