第3章 运动学基本知识概要

第一篇理论力学第3章运动学基本知识第3章运动学基本知识本章以点和刚体为研究对象，学习点的运动学和刚体的简单运动，为后续的点的合成运动及刚体的平面运动的学习奠定基础。3.1点的运动学3.1.1矢量法在参考体上选一固定点O作为参考点，由点O向动点M作矢径r，如图3.1（a）所示，当动点M运动时，矢径r大小和方向随时间的变化而变化，矢径r是时间的单值连续函数，即（3-1）式（3-1）称为动点矢量形式的运动方程。当动点M运动时，矢径r端点所描出的曲线称动点的运动轨迹或矢径端迹。图3.1点运动的矢径和速度的矢量表示)(trrOrOΔrv(a)(b)MMM'AB'rr点的速度是描述点的运动快慢和方向的物理量。如图3.1（b）所示，t瞬时动点M位于A点，矢径为r，经过时间间隔后的瞬时，动点M位于B点，矢径为，矢径的变化为称为动点M经过时间间隔的位移，动点M经过时间间隔的平均速度，用表示，即平均速度与同向。平均速度的极限为点在t瞬时的速度，即式（3-2）称为动点矢量形式的速度。点的速度等于动点的矢径对时间的一阶导数。它是矢量，其大小表示动点运动的快慢，方向沿轨迹曲线的切线，并指向前进一侧。速度单位是米/秒(m/s)。ttrrrrΔttvtrvvrt0limdrdtvv与点的速度一样，点的加速度是描述点的速度大小和方向变化的物理量。即（3-3）式（3-3）中为动点的平均加速度，为动点在t瞬时的加速度。点的加速度等于动点的速度对时间的一阶导数，也等于动点的矢径对时间的二阶导数。它是矢量，其大小表示速度的变化快慢，其方向沿速度矢端迹的切线，如图3.2a所示，恒指向轨迹曲线凹的一侧，如图3.2b所示。加速度单位为米/秒2(m/s2)。220limdtddtdtrvaaaa图3.2速度矢端曲线及速度和加速度的关系为了方便书写采用简写方法，即一阶导数用字母上方加“·”，二阶导数用字母上方加“··”表示，即上面的物理量记为（3-4）MOv(a)(b)速度矢端曲线运动轨迹vvMM'vM'arvarv在固定点O建立直角坐标系oxyz，则动点M的位置可用其直角坐标x、y、z表示，如图3.3所示。当动点M运动时坐标x、y、z是时间t的单值连续函数，即有(3-5)(3-6)式(3-6)称为动点直角坐标形式的运动方程。图3.3动点的矢径与直角坐标的关系3.1.2直角坐标法kjirzyx(t)fz(t)fy(t)fx321MOxyzkjirxyz由式(3-2)得动点的速度，其中i、j、k是直角坐标轴的单位常矢量，则有(3-7)速度的解析形式为(3-8)比较式(3-7)和式(3-8)得速度在直角坐标轴上的投影为(3-9)因此，速度在直角坐标轴上的投影等于动点所对应的坐标对时间的一阶导数。kjiv(t)z(t)y(t)xkjivzyxvvv(t)zdtdz=v(t)ydtdy=v(t)xdtdx=vzyx若已知速度投影，则速度的大小和方向为(3-10)同理，由式(3-3)得动点的加速度为(3-11)加速度的解析形式(3-12)则加速度在直角坐标轴上的投影为(3-13)222zyxvvvv++=vv)cos(vv)cos(vv)cos(zyxkv,jv,iv,kjivazyxvvvdtdkjiazyxaaa(t)zvdtdva(t)yvdtdva(t)xvdtdvazzzyyyxxx加速度在直角坐标轴上的投影等于速度在同一坐标轴上的投影对时间一阶导数，也等于动点所对应的坐标对时间二阶导数。若已知加速度投影，则加速度的大小和方向为(3-14)求解点的运动学问题大体可分为两类：第一类是已知动点的运动，求动点的速度和加速度，它是求导的过程；第二类是已知动点的速度或加速度，求动点的运动，它是求解微分方程的过程。222zyxaaaaaa)cos(aa)cos(aa)cos(zyxka,ja,ia,例题3-1曲柄连杆机构如图3.4所示，设曲柄OA长为r，绕O轴匀速转动，曲柄与x轴的夹角为，t为时间（秒s），连杆AB长为l，滑块B在水平的滑道上运动，试求滑块B的运动方程，速度和加速度。图3.4ωtAxBOrlψφy解：建立直角坐标系oxy，滑块B的运动方程为（1）其中由几何关系得则有（2）式（2）代入式（1）得滑块B的运动方程（3）对式（2）求导得滑块B的速度和加速度，即22122)tsinωlr(ltωsinωrtsinωωrxv2322222222])(1[4}2])(1[2{4tsinωlrltωsinlrtsinωlrωtcosωrtcosωωrva21)sinlr(lcosrx2211)sinlr(sincossinlsinrcoslcosrx例题3-2如图3.5所示为液压减震器简图，当液压减震器工作时，其活塞M在套筒内作直线的往复运动，设活塞M的加速度为，v为活塞M的速度，k为常数，初速度为，试求活塞M的速度和运动方程。kvaovxMO图3.5x解：因活塞M作直线的往复运动，因此建立x轴表示活塞M的运动规律，如图3.5所示。活塞M的速度、加速度与x坐标的关系为代入已知条件，则有（1）将式（1）进行变量分离，并积分得活塞M的速度为（2）再对式（2）进行变量分离，积分得活塞M的运动方程（3）(t)xv=adtdvkvtvvovdvdtk0ovvlnktktoevvdtevdxktodtevdxtktoxxo0)1(ktooekvxx3.1.3自然法实际工程中，例如运行的列车是在已知的轨道上行驶，而列车的运行状况也是沿其运行的轨迹路线来确定的。这种沿已知轨迹路线来确定动点的位置及运动状态的方法通常称为自然法。如图3.6所示确定动点的位置应在已知的轨迹曲线上选择一个点O作为参考点，设定运动的正负方向，由所选取参考点O量得OM的弧长s，弧长s称为弧坐标。当动点运动时，弧坐标s随时间而发生变化，即弧坐标s是时间t的单值连续函数，即(3-14)式(3-14)称为弧坐标形式的运动方程。图3.6动点的弧坐标f(t)s(-)(+)MOs为了学习速度和加速度，先学习随动点运动的动坐标系——自然轴系，如图3.7所示。图3.7动点运动曲线切线的矢量关系设在t瞬时动点在轨迹曲线上的M点，并在M点作其切线，沿其前进的方向给出单位矢量τ，下一个瞬时动点在点处，并沿其前进的方向给出单位矢量，为描述曲线M处的弯曲程度，引入曲率的概念，即单位矢量τ与夹角对弧长s的变化率，k表示M处的曲率半径为(3-15)Mds'dM'τθΔττ'τtMθsddκκ1ρ如图3.8所示，在M点处作单位矢量的平行线MA，单位矢量τ与MA构成一个平面P，当时间间隔趋于零时，MA靠近单位矢量τ，趋于M点，平面P趋于极限平面P0，此平面称为密切平面，过M点作密切平面的垂直平面N，N称为M点的法平面。在密切平面与法平面的交线，取其单位矢量n，并恒指向轨迹曲线的曲率中心一侧，n称为M点的主法线。按右手系生成M点处的次法线b，使得，从而得到由b、、n构成的自然轴系。由于动点在运动，b、、n的方向随动点的运动而变化，故b、、n为动坐标系。图3.8自然坐标tMnτbMNbAn'法平面密切平面P0P'τττM'由矢量法可知动点的速度大小为(3-16)如图3.9所示，其中，，定义为速度代数量，当动点沿轨迹曲线的正向运动时，即＞0，＞0，反之＜0，＜0。动点速度方向沿轨迹曲线切线，并指向前进一侧，即点的速度的矢量(3-17)沿轨迹曲线切线的单位矢量，恒指向＞0的方向。图3.9弧坐标与矢径的关系vtslimslimtsslimtlimdtdtstt0000rrrrv10Slimsrvtslimt0vvvssτvvτsrsM'MvrΔΔ'r由矢量法可知动点的加速度为(3-18)由(3-18)式加速度应分两项，一项表示速度大小对时间变化率，用表示称为切向加速度，其方向沿轨迹曲线切线，当与同号时动点作加速运动，反之作减速运动；另一项表示速度方向对时间变化率，用表示称为法向加速度。（1）的大小（2）的方向的方向如图3.7所示，沿轨迹曲线的主法线，恒指向曲率中心一侧。dtdvdtdv)v(dtddtdτττva+===τaτavnadtdτρvtslimslimsinlimtsinlimtlimdtdtsθtt0000022212ττdtdτdtdτ则上面的式(3-18)成为(3-19)其中，，。若将动点的全加速度向自然坐标系、n、b上投影，则有(3-20)其中为次法向加速度。若已知动点的切向加速度和法向速度，则动点的全加速度大小（3-21a）anτanτa+a)sv(dtsddtdvaτ或22ρvan2τ0222bnτaρvadtsddtdvabaana22nτaaa全加速度与法线间的夹角如图3.10所示。为（3-21b）图3.10切向加速度与法向加速度MnτaaτnaaaanMvv(a)(b)ταατnτaaαtan例题3-3飞轮边缘上的点按的规律运动，飞轮的半径。试求时间该点的速度和加速度。解：当时间时，飞轮边缘上点的速度为方向沿轨迹曲线的切线。飞轮边缘上点的切向加速度为法向加速度为飞轮边缘上点的全加速度大小和方向为全加速度与法线间的夹角tsins4π4cm20rst10st10cm/s1134ππ.tcosdtdsv22cm/s3804π4π.tsindtdvaτ222cm/s364820113...ρvan222cm/s448.aaanτ00780.aaαtannτo.450例题3-4已知动点的运动方程为式中x、y以m计，t以s计，试求时动点的曲率半径。解：动点的速度和加速度在直角坐标x、y、z上的投影为动点的速度和全加速度的大小为tx201052ty0tρ(m/s)20xvx(m/s)10tyvy0xxva)10(m/s2yyva2222410100400ttvvvyx)10(m/s222yxaaa在时，动点的切向加速度为法向加速度为全加速度的大小为时动点的曲率半径为0t04102ttvaτρρvan4002nnτyxaaaaaa22220tm4010400400aρ3.2刚体的基本运动在上一节的基础上本节的研究对象是刚体，学习的内容是刚体的平行移动和定轴转动，它构成刚体的两个基本运动，也是研究刚体平面运动的基础。3.2.1刚体的平行移动工程实际中，如气缸内活塞的运动，打桩机上桩锤的运动等等，其共同的运动体点是在运动过程中，刚体上任意直线段始终与它初始位置相平行，刚体的这种运动称为平行移动，简称平移。如图3.11所示车轮的平行推杆AB在运动过程中始终与它初始位置相平行，因此推杆AB作平移。图3.11刚体平移图3.12平移刚体上点的轨迹确定平移刚体的位置和运动状况，只需研究刚体上任意直线段AB，A、B两点的矢径为和，A、B两点间的有向线段之间的关系为（3-22）由平动定义知为恒矢量，A、B两点的轨迹只相差的恒矢量，即A、B两点的轨迹形状相同。式（3-22）对时间求导，得（3-23）（3-24）1OAB2OOxyzABvABABAB1A2A2B1BrvaaABrrArBrABrABBArrrABrABrBAvvBAaa结论：（1）平移刚体上各点的轨迹形状相同；（2）在同