标准正交基与Schmidt正交化方法

1定义1维向量设有n,,2121nnyyyyxxxxnnyxyxyxyxyx2211],[),(令.,的与为向量称yxyx内积内积的定义及性质2说明1维向量的内积是3维向量数量积的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．4nn.,:,,,2yxyxyxT为内积可用矩阵记号表示向量都是列如果内积是向量的一种运算3内积的运算性质:,,,为实数维向量为其中nzyx;,,)1(xyyx;,,)2(yxyx;,,,)3(zyzxzyx.0],[0,0],)[4(xxxxx时有且当4定义2非负性.1齐次性.2三角不等式.3,,22221nxxxxxx令.或的维向量为称xnx长度范数向量的长度具有下述性质：;0,0;0,0xxxx时当时当;xx.yxyx向量的长度及性质5标准正交基在三维欧氏空间R3中，它的一组基i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1)满足如下条件：（I）基中的向量是单位的，即|i|=|j|=|k|=1;（II）基中的向量两两正交，即(i,j)=(j,k)=(k,i)=0.6定理若n维欧氏空间中向量1,2,…,r是一组两两正交的非零向量,则1,2,…,r线性无关.证:若有1,…,r,使11…rr=0定义n维欧氏空间中任意一组两两正交的向量组称为正交向量组.7定义设n维向量1,2,…,r是向量空间VRn的一个基.若1,…,r两两正交,且|i|=1,i=1,…,r,则称1,…,r为V的标准正交基(正交规范基).8=(a1,…,an)Rn,例:e1,e2,…,en是Rn的一个正交规范基.=a1e1…anen在的表达式中,ej前的系数即为的第j个坐标.9例:证明)21,21,0,0(),21,21,0,0(),0,0,21,21(),0,0,21,21(4321为R4的正交规范基.证:),(ii易算出即|i|=1，且),(21,0),(),(4131，0),(),(4232),(43由定理2.1,1,2,3,4线性无关,即为正交规范基.)21()21(，0)21()21(.02)21(,12)21(2121212110定理任何一个非零向量空间V都存在正交规范基,且若1,…,r为V的一个基,则可通过1,…,r构造出一个正交规范基.构造性证明(Schmidt正交化）:令1=1;求2=211使(2,1)得1=(2,1)/(1,1),=(211,1);),(),(1111222故0=1221=(2,1)+(11,1)=(2,1)+1(1,1)11求3=31122使(3,1)=(3,1)1(1,1),0==(3,2)2(2,2),=(31122,1)0=(3,2)=(31122,2);,,,),222231111333）（）（）（（……12111122221111),(),(),(),(),(),(rrrrrrrrr.),(),(11rjjjjjrrSchmidt正交化过程,||1111再令则1,2,…,r是一个正交规范基.,||1222…，,||1rrr13例设1=(1,2,1),2=(1,3,1),3=(4,1,0),试将其正交规范化.解:1=1=(1,2,1);1112122),(),(=(1,3,1)46(1,2,1)=(1,3,1))32,34,32(,35(,35);1,1,1(35)3514222321113133),(),(),(),(=(4,1,0)26(1,2,1))1,1,1(5325=(43135,13235,03135)=(2,0,2).单位化得正交规范基：||111||222||333),1,2,1(61),1,1,1(31).1,0,1(213=(4,1,0)1=(1,2,1));1,1,1(35215定义:设A是n阶实矩阵,如果A满足EAAAATT则称A是正交矩阵,简称正交阵.n阶实矩阵A是正交阵的充要条件是A的行(或列)向量组为Rn的一组标准正交基.定理:16例设1=(1,2,1),2=(1,3,1),3=(0,5,0),试将其正交规范化.解:1=1;);1,1,1(352222321113133),(),(),(),(=(0,5,0)106(1,2,1))1,1,1(5325=(03535,531035,03535)=0.思考题171,2,3两两正交,但不能规范化.原因?3=12即1,2,3线性相关.1=(1,2,1)2=(1,3,1)3=(0,5,0)