清华大学(第5版)数值分析第3章函数逼近

1第三章函数逼近23.1函数逼近的基本知识函数逼近:用比较简单的函数代替复杂的函数误差为最小，即距离为最小（不同的度量意义）第三章第一节对同一个被逼近函数，不同度量意义下的逼近，逼近函数是不同的.3通常叫做数量乘法。451，向量空间nR几种线性空间2，多项式空间nH3，连续函数空间],[baC4，],[baCp5nnR6范数例如向量范数、、上的xxxRn21矩阵范数、、上的AAARnn217赋范线性空间8内积内积空间Cauchy-Schwarz不等式9例如niiiyxyx1,niiiiyxyx1,12103内积导出的范数11定义1：设)(x定义在有限或无限区间[a,b]上,如果满足:(1)对任取;0)(],,[xbax(2)()(0,1,);bnaxxdxn存在且有限值(()0bagxxdx），则称其为区间[a,b]上的权函数.(3)[a,b]非负连续函数g()x若g()0x则12定义2如果函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,满足badxxgxfx0)()()()(x则称f(x)与g(x)在[a,b]上关于权正交,如果[a,b]上的连续函数系)(xk满足定义1：设为称dxxgxfxbacxgxfba)()()(,,)(),()(xf(x),g(x)关于权的内积，记为(f,g).3.2正交多项式13)(0)(0)()()(kjAkjdxxxxkkjbakj）＝，（称其是[a,b]上关于权的正交函数系.)(x上述是正交化过程14(1)它们是次数不超过n的多项式。152常见的正交多项式系（1）勒让德多项式),1,0(])1[(!21)(2nxdxdnxPnnnnn性质：①正交性.{Pn(x)}在[-1,1]上是正交多项式系,且nmnnmdxxPxPnm122,0)()(11161718②三项递推关系),2,1()]()()12[(11)()(1)(1110nxnTPxxPnnxPxxPxPnnn8/)33035()(2/)35()(2/)13()(2443322xxxPxxxPxxP19④对零的平方误差最小1122112)()]()!2()!(2[dxxfdxxPnnnn))((次多项式为任意首一nxf③零点n次的在(-1,1)内有n个互异实零点.20定义1Chebyshev多项式称Tn(x)=cos(narccosx),|x|≤1为n次Chebyshev多项式Chebyshev多项式及其性质21Chebyshev多项式的性质性质1n次Chebyshev多项式相邻三项有递推关系：T0(x)=1,T1(x)=x,Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x),n=1,2,….22性质2n次Chebyshev多项式Tn(x)的首项系数为12n23性质3正交性。{Tn(x)}在[-1,1]上是关于权(1-x2)-1/2正交多项式系,且0,2/0,,0)()(11112nmnmnmdxxTxTxnm24•性质4•性质5当时，交错取到极大值1和极小值1，即),...,1,0(cosnknktk)(kntT||)(||)1()(xTtTnkkn零点：Tn(x)在[-1,1]内有n个互异实零点:),,2,1()212cos(nknkxk25显然是首项系数为1的n次Chebyshev多项式.又若记为一切定义在［－１，１］上首项系数为1的n次多项式的集合*()nTx*1()()2nnnTxTx26函数逼近问题举例对被逼近函数f(x)=sqrt(x）,在区间［０，１］上按如下三种不同的逼近方式求其形如p1(x)=ax+b的逼近函数.27解（1)按插值法，以x0＝0,x1＝１为插值节点对f(x)作一次插值所得形如(1)式的p1(x)是p1(x)=x.②按下列的距离定义dis(f(x),p1(x))=‖f(x)-p1(x)‖∞=max|f(x)-p1(x)|的意义下，在P１[０，１］中求得与f(x)的距离最小的形如(1)式的p1(x)是p１(x)=x+1/8.③按距离dis(f(x),p１(x))=‖f(x)-p1(x)‖２=(∫01[f(x)-p１(x)２dx)1/2的意义下，在P１[０，１］中求得与f(x)的距离最小的形如(1)式的p１(x)是p１(x)=4/5x+4/1528可见，对同一个被逼近函数，不同距离意义下的逼近，逼近函数是不同的.29最佳一致逼近多项式|)(|max||||],[xffbax在意义下，使得最小。||||fP偏差•在Pn［a,b］中，是否存在一个元素pn(x)，使不等式‖f(x)-p*n(x)‖∞≤‖f(x)-pn(x)‖∞(1)对任意的pn(x)∈Pn［a,b］成立?30一、最佳逼近多项式的存在性定理对任意的f(x)∈C［a,b］，在Pn［a,b］中都存在对f(x)的最佳一致逼近元，记为p*n(x)，即成立.最小偏差。*()()minmax()()nnnnpHaxbfxpxfxpx31定义(交错点组)若函数f(x)在其定义域的某一区间［a,b］上存在n个点{xk}nk=1，使得①|f(xk)|=max|f(x)|=‖f(x)‖∞，k=1，2，…，n;②-f(xk)=f(xk+1)，k=1,2,…，n-1,则称点集{xk}nk=1为函数f(x)在区间［a,b］上的一个交错点组，点xk称为交错点组的点.二最佳一致逼近多项式的充要条件32定理(Chebyshev定理）pn*(x)∈Pn［a,b］为对f(x)∈C［a,b］的最佳一致逼近多项式的充要条件是误差曲线函数f(x)-pn*(x)在区间［a,b］上存在一个至少由n+2个点组成的交错点组.即存在点集ax1…xn+2b使得1)()()1()()(*xfxPxpxfkknk＝33证明充分性用反证法.设f(x)-pn(x)在［a,b］上存在一个至少由n+2个点组成的交错点组，但pn(x)不是最佳一致逼近多项式.不妨设Hn［a,b］中的多项式qn(x)为最佳一致逼近多项式，即‖f(x)-qn(x)‖∞‖f(x)-pn(x)‖∞.(4)令Q(x)=pn(x)-qn(x)=〔f(x)-qn(x)〕-〔f(x)-pn(x)〕记{x1*,x2*,…,xn+2*}为误差曲线函数f(x)-pn(x)在［a,b］上的交错点组，34由(4)式可知n次多项式Q(x)在点集{x1*,x2*,…,xn+2*}上的符号完全由f(x)-pn(x)在这些点上的符号所决定，{x1*,x2*,…,xn+2*}为f(x)-pn(x)的交错点组，即f(x)-pn(x)在这n+2个点上正负(或负正)相间至少n+1次，从而至少n+1次改变符号，故Q(x)也至少n+1次改变符号，说明n次多项式Q(x)至少在［a,b］上有n+1个根，矛盾.即必有‖f(x)-pn(x)‖∞≤‖f(x)-qn(x)‖∞.35),2,1()(max21)(21max111111nxfxTxnnnx三、关于最佳一致逼近多项式的求解]1,1xTxnnn121)(121n定理在区间上所有最高次项系数为1的n次多项式中，与零的偏差最小，其最小偏差为3637（1）当f(x)为［－１，１］上的n+1次多项式时，求f(x)在Pn［－１,１］中的最佳一致逼近多项式.不妨记f(x)=b0+b1x+…+bn+1xn+1,|x|≤1,且设bn+1≠0，pn(x)为最佳一致逼近元.由于首项系数为1的n+1次Chebyshev多项式Tn+1(x)无穷模最小，**11()()()nnnfxpxTxb考虑两种特殊情形38例1设f(x)=4x4＋2x３－５x２＋8x-5/2，|x|≤1.f(x)在P3［-1,1］中的最佳一致逼近多项式p3(x).)()(*3xpxf与零的偏差最小。81)(212)()(244142*3xxXTxpxf－min)()(max*311xpxfx解所求的最佳逼近多项式应该满足：)(*3xp382)(23*3xxxxp所以39对区间为［a,b］的情形，作变换x=(b-a)t/2+(b+a)/2(6)后，对变量为t的多项式用(5)式求得pn(t)，然后再作(6)式的反变换得到［a,b］上的最佳一致逼近多项式.40（2）逼近多项式为低次多项式时关于交错点组的定理定理设pn*(x)∈Pn［a,b］为对f(x)∈C［a,b］的最佳一致逼近多项式.若f(n+1)(x)在区间［a,b］上不变号，则x=a和b为误差曲线函数f(x)-pn(x)在区间［a,b］上交错点组中的点.41证用反证法.若点a(点b类似)不属于交错点组，那么在区间(a,b)内至少存在n+1个点属于交错点组.若f(x)足够光滑，由交错点组的定义，可以证得(a,b)内的交错点必为误差曲线函数f(x)-pn*(x)的驻点，即区间(a,b)内n+1个交错点上，f(x)-pn*(x)的一阶导数等于零.这样，由Rolle定理便可推得在(a,b)内至少存在一点f(n+1)()=0.这与f(n+1)(x)在［a,b］上不变号则f(n+1)(x)无零点矛盾，故点x=a属于交错点组.42推论1设pn*(x)∈Pn［a,b］为对f(x)∈C［a,b］的最佳一致逼近元.若f(n+1)(x)在区间(a,b)上不变号，但在x=a(或b)处不存在(但为无穷)而符号与(a,b)内f(n+1)(x)的符号相同，则x=a(或b)属于f(x)-pn*(x)的交错点组.43例2设f(x)=x.求在P1［0,1］中对f(x)的最佳一致逼近元.解由定理和推论1可知x=0,1为f(x)-p1*(x)交错点组的点.由定理，交错点还差一个，记这个点为x1∈（０，１）.x０＝０，x２＝１.x１为区间(0，1)内的交错点，所以x１就是误差曲线函数f(x)-p1*(x)的驻点.记p1*(x)=a０＋a１x，由〔x-(a0+a1x)〕′x１＝０，可得44x１＝1/(2a１)２.p1(x)＝x+1/8为所求在P1［0,1］中对f(x)=x的最佳一致逼近多项式.因为x=0,1为交错点，由〔x-(a0+a1x)〕x=0＝〔x-(a0+a1x)〕x=1得a1=1将a１＝１代入x１＝1/(2a１)２得x１＝1/4.再由〔x-(a0+a1x)〕x1=1/4＝-〔x-(a0+a1x)〕x2=1得a０＝1/8，故453.3最佳平方逼近多项式称满足上式的为f(x)在区间[a,b]上的最佳平方逼近多项式。)(*xS460011(,)(,)(,)nnafafaf0,00101,011101()(,)(,)()(,)(,)(,)(,)(,)nnnnnn称为正规方程组或法方程。474849则0(,)(,)njkjkkaxxxf(j=0,1,…,n)(14)式(14)是关于的线形方程组用矩阵表示为01,,...,naaa5001(1,)(1,1)(1,)(1,)(,)(,1)(,)(,)(,)(,1)(,)(,)nnnnnnnnafxxaxfxxxxxaxfxxxxx（15）方程组(15)的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。51从式(14)中解出(k=0,1,2,…,n)，从而可得最佳平方逼近多项式ka()nknkkoSxax若[a,b]=[0,1]，则()1x11001(,),(,)(),1jkjkjjjxxxdxxfxfxdxdjk52111211112321111221nHnnnn