6-(4-5) 能量均分定律 麦克斯韦速率分布率

第六章气体动理论6–4能量均分定律理想气体内能§6-1气体动理学的基本概念§6-2理想气体状态方程§6-3理想气体的压强和温度公式§6-4能量均分定理理想气体的内能§6-5麦克斯韦速率分布定律§6-6玻尔兹曼速率分布定律§6-7气体分子的平均碰撞频率和平均自由程§6-9非理想气体状态方程第六章气体动理论6–4能量均分定律理想气体内能1.理想气体状态方程PV=RTnkTPk32np2.理想气体压强公式231vnmp3.理想气体温度公式kTm23212kv第六章气体动理论6–4能量均分定律理想气体内能一．自由度3:1:2:3:),,(rACACtzyxCCCC转动的角位置绕轴的方位过质心轴线质心Cxzy1.自由度的概念：决定一个物体在空间的位置所需的独立坐标数称为该物体的自由度数。1）质点：i=3：P(x,y,z)刚体：i=6：第六章气体动理论6–4能量均分定律理想气体内能注意：独立坐标数应是物体能自由运动，当物体运动受到一定限制或约束时，自由度减少。例：质点限制在某一平面内运动（如图）XYZ2i（多了一个方程）cy质点沿已知曲线C运动XY1i（用一个自然坐标）有固定轴的门--因转轴固定，质心相对门的位置固定，所以1i第六章气体动理论6–4能量均分定律理想气体内能模型的改进推导压强公式：理想气体分子——质点讨论能量问题：考虑分子内部结构——质点组大量分子系统：各种运动形式的能量分布、平均总能量均遵守统计规律。分子热运动平动转动分子内原子间振动2）气体分子的自由度数第六章气体动理论6–4能量均分定律理想气体内能B、双原子分子（如O2，H2，CO）平动自由度为3),,(,3zyxt平动),,(zyxC2m1m质心刚性分子：平动+转动3）刚性分子的自由度数A、单原子分子（如He，Ne）质点，只有平动自由度),,(,3zyxt第六章气体动理论6–4能量均分定律理想气体内能转动自由度为2xyz5rti刚性双原子分子自由度为C、多原子分子（如H2O，CO2）6rti刚性多原子分子自由度为第六章气体动理论6–4能量均分定律理想气体内能例如：氢气（H2）在高温下两氢原子之间就有振动，氯气（Cl2）在常温下便有振动。这时可以看作由两质点组成的弹性谐振子对双原子分子----6个自由度对多原子系统（N3）3个平动自由度（t）3个转动自由度（r）（3N-6）个振动自由度（s）3N个自由度srti非刚性分子自由度为3）非刚性分子的自由度数：平动+转动+振动第六章气体动理论6–4能量均分定律理想气体内能srti自由度数目平动转动振动单原子分子303双原子分子325多原子分子336刚性分子能量自由度tri分子自由度平动转动总第六章气体动理论6–4能量均分定律理想气体内能kTvmk23212，2222222,xyzxyzvvvvvvvkTvmvmvmzyx21212121222二．能量均分定理例：这说明，分子的平均平动动能是均匀地分配在对应每一个自由度的运动上的。即对应每一个自由度，就有对应的一份能量23/kT2/kT第六章气体动理论6–4能量均分定律理想气体内能能量均分定理：处于温度为T的平衡态的气体中，分子热运动的动能平均地分配在每一自由度上，分子沿每一自由度运动的平均动能均等于kT/2如某种分子有个平动自由度，个转动自由度，振动自由度，则分子具有：str为什么均分到各自由度所对应的运动能量都是KT/2呢？主要是分子不断碰撞以达到平衡态的结果。kTsrtkTiEk22分子的平均总动能第六章气体动理论6–4能量均分定律理想气体内能推论：刚性分子的平均动能：kTik2，多原子）双原子）单原子）(6(5(3i第六章气体动理论6–4能量均分定律理想气体内能三．理想气体的内能1、内能：气体分子各种形式能量的总和。),(VTEE内能是状态量。2、理想气体的内能表达式kTiE2包括分子平动动能＋转动动能＋振动（动能、势能）动能与温度有关，势能与分子之间的距离有关，即与体积有关，即与温度、体积有关。kTsikTsrtE)(21)2(21第六章气体动理论6–4能量均分定律理想气体内能一摩尔理想气体的内能M千克理想气体的内能：RTiMEMEmol2结论：内能是温度的单值函数---理想气体的另一定义。RTikTNiEmol220第六章气体动理论6–4能量均分定律理想气体内能不同气体分子的υ摩尔内能：单原子分子气体，RTEti23,3双原子刚性分子气体，RTErti25,5双原子非刚性分子气体，RTEsrti27,6刚性多原子分子气体，RTErti26,6第六章气体动理论6–4能量均分定律理想气体内能例1：贮存有氮气的容器以速度100米/秒运动。若该容器突然停止，问容器中温度将升多少？已知：smv/100molkg/102835i解：依能量守恒，氮气的宏观动能将转化为其内能。1222221iRTMiRTMMv)(212TTiRM第六章气体动理论6–4能量均分定律理想气体内能iRvTTT212)(74.631.85100102823K1222221iRTMiRTMMv)(212TTiRM第六章气体动理论6–4能量均分定律理想气体内能一个小球落在哪里有偶然性；少量小球的分布每次都可能不同；大量小球的分布却是稳定的。统计规律：大量偶然事件所显示的稳定的规律。【演示】伽尔顿板一、统计规律的演示第六章气体动理论6–4能量均分定律理想气体内能下面列出了氧气分子在0OC时分子速率的分布情况)/(smv(%)/NN100以下1.4100－200200－300300－400400－500500－600600－700700－8008.116.521.420.615.19.24.8800－9002.0第六章气体动理论6–5麦克斯韦速率分布定律N：分子总数N为速率在区间的分子数.vvv)/(vNNovvvvS表示速率在区间的分子数占总数的百分比.NNSvvv二．气体分子速率分布第六章气体动理论6–5麦克斯韦速率分布定律v)(vfovvdd)(fNNvvvvvvdd1lim1lim)(00NNNNNNf分布函数表示速率在区间的分子数占总分子数的百分比.vvvd1d)(d00vvfNNN归一化条件vvvdSd表示在温度为的平衡状态下，速率在附近单位速率区间的分子数占总数的百分比.v物理意义T第六章气体动理论6–5麦克斯韦速率分布定律v)(vfo1vS2vvvdd)(fNNvvd)(dNfN速率位于内分子数vvvdvvvvd)(21fNN速率位于区间的分子数21vvvvvvvvd)()(2121fNNS速率位于区间的分子数占总数的百分比21vv第六章气体动理论6–5麦克斯韦速率分布定律vvvde)π2(π4d22232kTmkTmNN22232e)π2(π4)(vvvkTmkTmf麦氏分布函数三麦克斯韦气体速率分布定律其物理意义是：处于温度为T的平衡气体，分子速率出现在v附近、单位速率区间内的分子数占总分子数的百分率。vvNddNf)(v)(vfo第六章气体动理论6–5麦克斯韦速率分布定律分子速率分布与温度的关系：3）随着温度的升高，曲线渐趋平坦。1）存在最可几速率vp。T增大，速率大的分子数增多，最可几速率vp增大。ffmaxOvvp1T2T)(21TT2）f(v)满足归一化条件：fvdv()01第六章气体动理论6–5麦克斯韦速率分布定律四三种统计速率pv1）最概然速率0d)(dpvvvvfmkTmkT41.12pvRT411p.vkNRmNAA,v)(vfopvmaxf根据分布函数求得气体在一定温度下分布在最概然速率附近单位速率间隔内的相对分子数最多.pv物理意义第六章气体动理论6–5麦克斯韦速率分布定律NNNNNnniidddd2211vvvvv2）平均速率vNNfNNN00d)(dvvvvvmkTfπ8d)(0vvvvRTmkT601601..vv)(vfo第六章气体动理论6–5麦克斯韦速率分布定律3）方均根速率2vmkT32vRTmkT332rmsvvv)(vfoNNfNNN02022d)(dvvvvv2pvvvRTmkT601601..vRTmkT22pv第六章气体动理论6–5麦克斯韦速率分布定律不同气体分子的υ摩尔内能：单原子分子气体，RTEti23,3双原子刚性分子气体，RTErti25,5双原子非刚性分子气体，RTEsrti27,6刚性多原子分子气体，RTErti26,6第六章气体动理论6–5麦克斯韦速率分布定律1.刚性分子的平均动能（内能）：kTik2，多原子）双原子）单原子）(6(5(3iM千克理想气体的内能：RTiMEMEmol2第六章气体动理论6–5麦克斯韦速率分布定律2.麦克斯韦速率分布定律vvdd)(fNN表示速率在区间的分子数占总分子数的百分比.vvvdRTmkT332rmsvvRTmkT601601..vRTmkT22pv3.三种统计速率第六章气体动理论6–5麦克斯韦速率分布定律mkT2pvmkTπ8vmkT32v同一温度下不同气体的速率分布2H2O0pvpHvv)(vfoN2分子在不同温度下的速率分布KT30011pv2pvKT12002v)(vfo第六章气体动理论6–5麦克斯韦速率分布定律讨论麦克斯韦速率分布中最概然速率的概念下面哪种表述正确？（A）是气体分子中大部分分子所具有的速率.（B）是速率最大的速度值.（C）是麦克斯韦速率分布函数的最大值.（D）速率大小与最概然速率相近的气体分子的比率最大.pvpvpvpv第六章气体动理论6–5麦克斯韦速率分布定律说出下列各式的物理意义NdvdNvf)()1(NdNdvvf)()2(dvdNNNdvdNNvf)()3(NNNdNdvvfvvvv2121)()4(第六章气体动理论6–5麦克斯韦速率分布定律2121)()5(vvvvNNdNNdvvNfvdvvvf0)()6()1()(1)7(0vdvvfvNNNdNdvvfppvv008)()(第六章气体动理论6–5麦克斯韦速率分布定律例6-1某一假想的气体系统含有N个气体分子，其分子速率分布函数为：)(0)0()()(000vvvvvvCvvf其中C为归一化常数。求：（1）C=?；（2）速率在4/~00v之间的分子数；（3）最可几速率；（4）平均速率和方均根速率。第六章气体动理论6–5麦克斯韦速率分布定律解：（1）30061)(vCdvvf（2）NdvvfNNv325)(4/00（3）20)(0vvdvvdfpvvp（4）2)(00vdvvvfv02/10221030])([vdvvfvv第六章气体动理论6–5麦克斯韦速率分布定律例2如图示两条曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线，从图上数据求出氢气和氧气的最可几速率.vv~)(fmkT2pv)O()H(22mm)O()H(2p2pvvm/s2000)H(2pv4232)H()O()O()H(222p2pmmvvm/s500)O(2pv)(vf1sm/v2000o