理科数学第一轮复习：数列的极限

蹦极——勇气极限的挑战明知不可企及你却锲而不舍历经各种磨难终近理想彼岸你的坚韧精神世人代代相传再逢攻坚关头高呼挑战极限极限极限极限二、极限重、难点重点：数列极限的概念难点：如何从变化趋势的角度来正确理解数列极限的概念目标：①知识目标：能从数列的变化趋势理解数列极限的概念，会判断一些简单数列的极限。②能力目标：培养观察分析，抽象概括，判断论述能力；渗透数形结合思想，充分挖掘思维的批判性和深刻性，以及潜在的探索发现能力和创造能力。要求：“动脑想,动口讲,大胆猜,精确写,勤钻研”战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话:一尺之棰日取其半万世不竭.1战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下篇》引用过一句话：一尺之棰日取其半万世不竭.nanbna：剩余的长度nb：截去的总长度0214387nb0814183218543871x1nanb02143871234nn从1的左侧无限趋近1是什么？的变化趋势分别和的无限增大，随着项数nnban0814183218543871xna从0的右侧无限趋近0表示的点的变化趋势和nnba121n1211n定性分析定量分析1项号项这一项与0的差的绝对值12345678…214181161321641128125615.0|021|25.0|041|125.0|081|0625.0|0161|03125.0|0321|015625.0|0641|0078125.0|01281|00390625.0|02561|…………………0-13121....)1(...3111，，，，２，nn（3）分析当n无限增大时，下列数列的项的变化趋势及共同特征:na..............共同特性：不论这些变化趋势如何，随着项数n的无限增大，数列的项无限地趋近于常数ana1递增无限趋近0递减无限趋近0无限趋近摆动...101...10110110132，，，，，n（1）...1...433221，，，，，nn(2)（即无限地接近于0）．aan观察下面三个数列41①1,,,…，…，21n21x08121141②0.9，0.99，0.999，0.9999，……x9999.09.0999.0199.0x21212541412③1，，，…，，…212321412nn)1(2探究问题1：当n无限增大时，上述数列趋近常数的方式有哪几种类型？,21,,81,41,21,1n0.9,0.99,0.999,0.9999,,12,,412,321,212,12n1、2、3、n趋向于无穷大aannlim数列极限的描述性定义na一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限地趋近于某个常数，(即无限地接近0),nnaaaan那么就说数列以为极限，或者说naaana是数列的极限na（1）是无穷数列n（2）无限增大时，不是一般地趋近于，而是naa“无限”地趋近于a（3）数值变化趋势：递减的、递增的、摆动的读作“当n趋向于无穷大时，的极限等于a”na或“limit当n趋向于无穷大时等于a”na知识拓展一般地，对于数列{an}，如果存在一个常数A，无论预先指定多么小的正数ε，都能在数列中找到一项aN，使得这一项后面的所有项与A的差的绝对值都小于ε（即当nN时，|an-A|ε恒成立），就把常数A叫做数列{an}的极限，记作an=A．nlim数列极限的ε-N定义例题讲解例1、考察下面的数列，写出它们的极限：（1）；，　，　，　，　，　31271811n（2）；　，　，　，　，　，　n1057995.695.65.6；　　　　　　,)2(1,,81,41,21n（3）解：（1）数列的项随n的增大而减小，但大于0，且当n无限增大时，无限地趋近于0，因此，数列的极限是0．31n31n31n700探究问题2：是否每个无穷数列都有极限？①2，4，6，8，…，2n,…②-1，-2，-3，…，-n，…③-1，1，-1，1，…，(-1)n，…[思考练习]：考察以下数列的变化趋势。(1)(2)(5)(4)(3)010无无[课堂练习]：0021limnn111limnnn00)1(limnnn例2、求常数数列-1，-1，-1，···，-1，···的极限．解：这个无穷数列的各项都是-1，当项数n无限增大时，数列的项始终保持同一个值-1，因此na.1)1(limn一般地，任何一个常数数列的极限都是这个常数本身，即CCnlim（C是常数）例3、用计算器计算,99.01000,99.05000,99.020000,99.010000由此猜想数列的极限（保留两位有效数字）．}99.0{n解：由计算器可算得51000103.499.0225000105.199.04410000102.299.08820000101.599.0由此猜想099.0limnn一般地，如果，那么1||a.0limnnaaannnalim数列是否存在极限若存在极限99.0nna100)(n1nan2nanna)1(14nnanaannlim存在不存在存在存在不存在41n000－20数列的极限是唯一的有穷数列没有极限099.0n)(lim为常数CCCnaannnalim数列是否存在极限若存在极限aannlimnan1nannann3)1(nna)31(59999.0nna如果，那么1||annalim0存在存在存在存在不存在5000na“无限”地趋近于一个常数an)31(n31n19999.0n0000)(lim)2(是常数CCnnn1lim)1(0C,)3(时当1a0limnna探索开放问题：试说出满足=2的几个数列。nnalimnan12nna)21(2……2na1、在数列的前面添加1，2，3，4，…，100构成新数列，则新数列极限发生了变化吗？n212、若数列{an}与{bn}的极限存在，它们的和、差、积、商构成的新数列极限存在吗？若存在，极限是什么？思考题：OK！课外阅读三国时的刘徽提出的的方法.他把圆周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、···这样继续分割下去,所得多边形的周长就无限接近于圆的周长.“割圆求周”割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.正三角形正六边形正十二边形2.刘徽割圆术:“割之弥细，所失弥少，割之又割，以致于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”直径为1的圆：如果变量X按照某一规律无限地接近一个常数C,则称C为X的极限.记作或定性描述limX=CX→ClimX=CX→ClimX=CX→C定量分析212345678…项号边数内接多边形周长241263授课教师：刘海滨2.5980762113533.0000000000003.1058285412303.132628613281483.139350203047963.1410319508911923.1414524722853843.141557607912……………nnc0180sin直径为1