第三节函数的单调性与极值

二函数的极值一函数的单调性第三节函数的单调性与极值xyo)(xfyxyo)(xfyabAB0)(xfabBA若在区间（a,b)上单调上升)(xfy若在区间（a,b)上单调下降)(xfy0)(xf一、函数的单调性0)x(f0)x(f定理1.],[)(0)(),()2(],[)(0)(),(1.),(],[)(上单调减少在，那末函数内如果在上单调增加；在，那末函数内如果在）（内可导上连续，在在设函数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy1单调性的判别法证),,(,21baxx,21xx且应用拉氏定理,得)())(()()(211212xxxxfxfxf,012xx,0)(),(xfba内，若在,0)(f则).()(12xfxf.],[)(上单调增加在baxfy,0)(),(xfba内，若在,0)(f则).()(12xfxf.],[)(上单调减少在baxfy函数在内单调增加.,0解函数的定义域为.,0，01xy例1判断函数的单调性.xlnyxylnyxo1例2.的单调性判断函数xeyx函数单调减少；,),0(内在,0y.函数单调增加注1:要用导数在区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．解.1xey,)0,(内在,0y).,(:D又-3-2-11232345注2：函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．1、单调区间定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．2、单调区间的划分2单调区间的求法.,)x(f)x(f)x(f数的符号然后判断区间内导的定义区间来划分函数不存在的点的根及用方程0例3.31292)(23的单调区间确定函数xxxxf解).,(:D12186)(2xxxf)2)(1(6xx得，解方程0)(xf.2,121xx时，当1x,0)(xf上单调增加；在]1,(时，当21x,0)(xf上单调减少；在]2,1[时，当x2,0)(xf上单调增加；在),2[单调区间为，]1,(，]2,1[).,2[例4.)(32的单调区间确定函数xxf解).,(函数的定义域为)0(,32)(3xxxf.,0导数不存在时当x,0)(xf上单调增加；在),0[时，当x0时，当0x,0)(xf上单调减少；在]0,(单调区间为，]0,().,0[32xy3单调性的应用例5.132,1成立试证时当xxx)1(111)(22xxxxxxf则,0)(),1(,),1[)(xfxf可导，且上连续在上单调增加；故在),1[,0)1(f证xxxf132)(设时，当1x0)(xf.132,1成立时当xxx31292)(23xxxxf上单调增加；在]1,(上单调减少；在]2,1[上单调增加；在),2[二、函数的极值是函数的分界点2121x,x;)(f)x(f,xx均成立邻域内的任何点去心的一个去心邻域，对此因此，存在着点11;)(f)x(f,xx均成立的任何点去心邻域内的一个去心邻域，对此存在着点22oxyab)(xfy1x2x3x4x5x6xoxyoxy0x0x一般地1.函数极值的定义.)()(,)()(,,,;)()(,)()(,,,,),(,),()(000000000的一个极小值是函数就称均成立外除了点任何点对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点的一个极大值是函数就称均成立外除了点任何点对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点内的一个点是内有定义在区间设函数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.31292)(23xxxxf函数注1：极值是函数的局部性概念，与最值不同；注2：极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.设)(xf在点0x处具有导数,且在0x处取得极值,那末必定0)(0'xf.定理1(必要条件)例如,,3xy,00xy.0不是极值点但x由费马引理易得函数取得极值的必要条件，.,)(是极值点但函数的驻点却不一定点的极值点必定是它的驻可导函数xf注2:2.函数极值的求法注1:的驻点.f(x)做函数的实根)叫0(x)f程使导数为零的点(即方(1)如果),,(00xxx有;0)('xf而),(00xxx,有0)('xf，则)(xf在0x处取得极大值.(2)如果),,(00xxx有;0)('xf而),(00xxx有0)('xf，则)(xf在0x处取得极小值.(3)如果当),(00xxx及),(00xxx时,)('xf符号相同,则)(xf在0x处无极值.定理2(第一充分条件)xyoxyo0x0x0)(xf0)(xf0)(xf0)(xfxyoxyo0x0x0)(xf0)(xf0)(xf0)(xf求极值的步骤:);()1(xf求出导数;0)()()2(的根的全部驻点，即方程求出xfxf;,)()3(判断极值点在驻点左右的正负号考察xf.)4(值求出各极值点处的函数(不是极值点情形)例6.593)(23的极值求函数xxxxf解)3)(1(3963)()1(2xxxxxf，令0)()2(xf.3,121xx得驻点极大值x)1,(),3()3,1(13)(xf)(xf00000极小值)3(593)(23xxxxf图形如下)3(f极小值.22)1()4(f极大值,10MN定理3(第二充分条件)异号，与故xxfxxf)()(00时，当0x)()(00xfxxf有,0时，当0x)()(00xfxxf有,0所以,函数)(xf在0x处取得极大值证)1(xxfxxfxfx)()(lim)(0000,0设)(xf在0x处具有二阶导数,且0)(0'xf,0)(0''xf,那末(1)当0)(0''xf时,函数)(xf在0x处取得极大值;(2)当0)(0''xf时,函数)(xf在0x处取得极小值.（2）同理可以证明当0)(0xf函数)(xf在0x处取得极小值时得寸进尺：0)(0xf？？？解例7.1)1()(32的极值求出函数xxf，令0)()2(xf.1,0,1321xxx得驻点)15)(1(6)()3(22xxxf06)0()4(f0)0(f故极小值第二充分条件失效。,)(f)(f0115;)x(fx01左侧邻近的值时，取当;)x(fx01右侧邻近的值时，取当点没有极值。在故1x)x(f点也没有极值。在同理1x)x(f.1)1()(32的图形如下函数xxf-2-1120.511.522.5解例8.)2(1)(32的极值求出函数xxf31)2(32)(2xxfx时，当.)(,2不存在时当xfx时，当2x;0)(xf时，当2x.0)(xf.)(1)2(的极大值为xff注3:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.M