第三节格林公式

第三节一、格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件格林公式及其应用第十一章三、二元函数的全微分求积问题的提出)()()(aFbFdxxfba牛顿-莱布尼茨公式定积分可通过其原函数在区间端点上的函数值来表达xy0DL(,)ddDfxyxy问题：二重积分能否表达为某个函数在D的边界曲线L上的曲线积分？意义：设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD区域连通性的分类D复连通区域区域D分类单连通区域(无“洞”区域)多连通区域(有“洞”、点洞区域)单连通区域举例}0|),{(yxyx（1）}4|),{(22yxyx（2）}0|),{(yyx（3）（3）（2）（1）复连通区域举例}41|),{(22yxyx（1）}40|),{(22yxyx（2）LD当观察者在L上行走时，D内在他近处的部分总在他的左边。定理1.设闭区域D是由分段光滑正向曲线L围成,则有LDyQxPyxyPxQdddd(格林公式)函数在D上具有连续一阶偏导数,一、格林公式域的内部靠左域D边界L的正向:外边界的正向是逆时针内边界的正向是顺时针其中L是D的取正向的边界曲线。1)若D既是X-型区域,又是Y-型区域则yxxQDdddcyyyQd)),((2)()(21dyyxxQCBEyyxQd),(EACyyxQd),(dcyyyQd)),((1dcyddcyxoECBAbaD1()xy2()xy证:将格林公式分为:LDLDyQyxxQxPyxyPdddddd，LdyyxQ),(即同理可证①②①、②两式相加得:LDyQxPyxyPxQddddL1L2L3LD1D2D3Dxy0ABCEFG1()DQPdxdyxy2()DQPdxdyxy3()DQPdxdyxy2)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割为有限个上述形式的区域,如图yxyPxQDdd1()LBAPdxQdyPdxQdy2()LCBPdxQdyPdxQdy3()LACPdxQdyPdxQdy证毕LQdyPdx31LL2LQdyPdxGD3L2LFCE1LAB(3)若区域不止由一条闭曲线所围成.添加直线段AB,CE.则D的边界曲线由AB,2L,BA,AFC,CE,3L,EC及CGA构成.由(2)知DdxdyyPxQ)(CEAFCBALAB2{CGAECLQdyPdx)(}3231))((LLLQdyPdxLQdyPdx),(32,1来说为正方向对DLLL格林公式的实质:沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系.格林公式仍成立3L2L说明：若D为复连通区域：1L则曲线L应包括内外所有边界321LLLL并且它们对D均取正向。格林公式的实质：主要用途：实现曲线积分与二重积分之间的转换。而经常用来将复杂的曲线积分转化为二重积分。DLDyQxPyxyPxQdddd建立了平面上的曲线积分与二重积分的联系，是牛顿莱布尼茨公式在平面上的推广。格林公式LDyQxPyxyPxQddddLDQdyPdxdxdyQPyx若记则格林公式可表示为QPyxyPxQ格林公式的应用：（1）利用曲线积分计算平面区域的面积（2）利用格林公式求曲线或二重积分推论:正向闭曲线L所围区域D的面积LxyyxAdd21由格林公式例如,椭圆20,sincos:byaxL所围面积2022d)sincos(21ababab面积公式：若取,,QxPy11dd2dd2DDxyxyA同理，若取,0,PxQ则有LxdyA若取,,0yPQ则有LydxAyxyPxQyQxPDLdddd例1.设L是一条分段光滑的闭曲线,证明0dd22yxxyxL证:令,,22xQyxP则利用格林公式,得yxxyxLdd220ddDxy0例2.计算其中D是以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭域.解:2,0yexQP利用格林公式,有2dyOAABBOxeyyexOAyd2yeyyd102)1(211exyoyx)1,1(A)1,0(BD本题我们应用格林公式将二重积分化为曲线积分时,关键是要找到P(x,y)和Q(x,y),使得经观察OAABBOPdxQdy并且这样的P,Q在D边界上的曲线积分较简单可以直接利用二重积分的计算方法来计算。xyoABLL不是一条封闭的曲线，补充有向线段BO,OA,则L+BO+OA为封闭曲线，所围区域记为D，DAOOBLdyxDdxdyyPxQ)(Ddxdy241r解：方法1:用曲线积分法Lydx02)sin(cosrdr241r方法2：用格林公式0,PQx例3.计算dLxy,其中曲线L是半径为r的圆在第一象限限部分,方向顺时针.解：方法2：用格林公式AOOBLdyxDdxdyyPxQ)(Ddxdy241rAOOBLdyxLdyxOBdyxAOdyxxyoALDB在BO上，y=0,,0yd0OBdyx在OA上，x=0,,0AOdyxLdyx241rdyxL例3.计算dLxy,其中曲线L是半径为r的圆在第一象限限部分,方向顺时针.例4.计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解:记L所围闭区域为D，,022时则当yx(0,0),D由格林公式知()DQPdxdyxy？即格林公式的条件：P、Q在D上具有一阶连续偏导数xyoLDL1Drlyxo1()0DQPdxdyxy,)0,0(时当D在D内作圆周,:222ryxl取顺时针方向,,对应用格记L和lˉ所围复连通区域为林公式,得1D1Dcos:,sinxrlyr0起点，2终点dsincos2022222rrr2L1DrlyxoAxyoLDLyxxydyxd22DdxdyyPxQ)(0(1)当D)0,0(时,(2)当D)0,0(时,Llyxxydyxdyxxydyxd22222例4.计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解:记L所围闭区域为D，该方法俗称“挖洞法。”思考：为什么要用小圆周222ryx去“挖洞”？参考题：计算Lyxxydyxd224其中L是以(1,0)为中心，R为半径的圆周(R1),取逆时针方向例5.求[sin()]d(cos)dxxLIeymxyxeymy其中L是以(a,0)为中心，a为半径的上半圆周，逆时针方向，m为常数。解：分析被积函数比较复杂，无论L的方程取什么形式，直接用曲线积分的方法都比较困难。故考虑用格林公式),(sinyxmyePx,cosmyeQxyPxQyexcos)cos(myexm表达式简单问题：L不是封闭的曲线，不符合格林公式的条件yx0a2a22xaxyLA补充有向线段OA，形成闭曲线，满足条件yx0a2a22xaxyLAD[sin()](cos)LAxxOeymxydxeymdy()DdxxdyQPyDdxdmy22ma解：22maI[sin()](cos)xxOAeymxydxeymdyQPmxy在OA上，y=0，dy=0，x从0变到2a2202amaImxdx232ma该方法俗称“封口法”例5.求[sin()]d(cos)dxxLIeymxyxeymy关于格林公式小结（1）“挖洞法”和“封口法”是格林公式应用中两类常见的典型方法。（2）当曲线积分中，函数P、Q使得yPxQ等于零、常数或比较简单时，要考虑用格林公式。作业二、平面上曲线积分与路径无关的条件:,,),(),(,21都有与意两条曲线的任到内从及、两个点内任意指定的如果对于导数内具有一阶连续偏在、是一个区域设LLBAGBAGGyxQyxPG.,,否则便说与路径有关内与路径无关在曲线积分则称G恒成立.GyxoAB1L2L什么叫平面上曲线积分与路径无关？1LQdyPdx2LQdyPdxLQdyPdx问题：什么样的曲线积分与路径无关？定理2.设D是单连通域,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线L,有.0ddLyQxP(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分(3)yQxPyxudd),(d(4)在D内每一点都有.xQyPLyQxPdd与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为证明(1)(2)设21,LL21ddddLLyQxPyQxP21ddLLyQxPAB1L2L2ddLyQxP为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1))BAyQxPddAByQxPdd证明(2)(3)在D内取定点因曲线积分),(),(yxuyxxuux则),(yxPxuxuxx0lim),(lim0yxxPx),(),(ddyxxyxyQxP),(),(dyxxyxxPxyxxP),(同理可证yu),,(yxQ因此有yQxPuddd和任一点B(x,y),与路径无关,),(yxxC),(yxB),(00yxA有函数证明(3)(4)设存在函数u(x,y)使得yQxPuddd则),(),,(yxQyuyxPxuP,Q在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有xQyP证明(4)(1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,DD(如图),上因此在DxQyP利用格林公式,得yxxQxQyQxPLDdd)(ddDDL0所围区域为证毕注意：在应用该定理时，一定要保证定理的条件：（1）G是一个单连通区域（2）P、Q在G内具有一阶连续偏导数yx说明:根据定理2,若在某区域内,xQyP则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求du=Pdx+Qdy在域D内的原函数:Dyx),(00及动点,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00xxxyxP0d),(0或yyyyxQyxu0d),(),(00y0x则原函数为yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;例6.证明曲线积分证明：显然整个xoy面是一个单连通区域，2Qxx又由定理2，曲线积分22Lxydxxdy在整个xoy面内与路径无关(,)2Pxyxy在整个xoy面内恒成立。2(,)Qxyx,Py22Lxydxxdy在整个xoy面内与路径无关。它们均在整个xoy面内具有一阶连续偏导数。例7.计算曲线积分在第一象限部分到A(1,1)的路经。cos1Qyx(sin)(cos1)Lyydxxydy其中L为从点O(0,0)沿圆周Py222xyxyx0122xxy