第24章解直角三角形教案

1第24章解直角三角形24.1测量教学目标1、在探索基础上掌握测量。2、掌握利用相似三角形的知识教学重难点重点：利用相似三角形的知识在直角三角形中，知道两边可以求第三边。难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。教学过程当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题．图24.1.1如图25．1．1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以利用相似三角形的知识计算出旗杆的高度．如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识．试一试如图25．1．2所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．你知道计算的方法吗？图24.1.2实际上，我们利用图25．1．2（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？这就是本章要探究的内容．练习1．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．22．请你与你的同学一起设计切实可行的方案，测量你们学校楼房的高度．习题25．11．如图，为测量某建筑的高度，在离该建筑底部30．0米处，目测其顶，视线与水平线的夹角为40°，目高1．5米．试利用相似三角形的知识，求出该建筑的高度．（精确到0．1米）（第1题）（第3题）2．在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？3．如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度．小结与作业:利用相似三角形的知识在直角三角形中，知道两边可以求第三边作业:1.习题24.1；2.练习册同步教后反思:24.2直角三角形的性质教学目标：1.复习“直角三角形的两个锐角互余”定理和“勾股定理”。2.掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用。3.巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。教学重点与难点：重点：直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。难点：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。教学过程：一、复习引入（1）什么叫直角三角形？（2）直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质?①直角三角形的两个锐角互余。②勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方。3EDCBA二、新授：如图24.2.1，画Rt△ABC,并画出斜边AB上的中线CD,量一量，看看CD与AB有什么关系？发现：CD恰好是AB的一半。下面让我们用演绎推理证明这一猜想。提出命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明命题：（教师引导，学生讨论，共同完成证明过程）应用定理：例1：已知：如图24.2.3，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=300。求证：ABBC21∠A=30°，求BC，CD和DE的长证明：（教师引导，学生讨论，共同完成证明过程）推论：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。例2：已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD是∠BAC的平分线，E、F分别AB、AC的中点。求证：DE=DF分析：可证两条线段分别是两直角三角形的斜边上的中线，再证两斜边相等即可证得。（上一题我们是两个直角三角形的一条较长直角边重合，现在我们将图形变化使斜边重合，我们可以得到哪些结论？）练习变式：1、已知：在△ABC中，BE、CD分别是边AC、AB上的高，F是BC的中点。求证：FD=FE练习引申：（1）若连接DE，能得出什么结论？（2）若O是DE的中点，则DO与DE存在什么结论吗？上题两个直角三角形共用一条斜边，两个直角三角形位于斜边的同侧。如果共用一条斜边，两个直角三角形位于斜边的两侧我们又会有哪些结论？2、已知：∠ABC=∠ADC=90º，E是AC中点。你能得到什么结论？三、小结：通过今天的学习有哪些收获？1.直角三角形的两个锐角互余。2.勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方。3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。4.30°角所对的直角边为斜边的一半。四、作业：1.习题24.22.练习册同步五、教学反思：24.3锐角三角函数OFEDCBA424.3.1锐角三角函数（1）教学目标1.正弦、余弦、正切、余切的定义。2.正弦、余弦、正切、余切的应用教学重难点重点：正弦、余弦、正切、余切。难点：正弦、余弦、正切、余切的应用。教学过程一、复习引入：在§25．1中，我们曾经使用两种方法求出操场旗杆的高度，其中都出现了两个相似的直角三角形，即△ABC∽△A′B′C′．按5001的比例，就一定有5001ACCABCCB，5001就是它们的相似比．当然也有ACBCCACB．我们已经知道，直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，直角∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两条直角边分别为∠A的对边与邻边，用a、b表示（如图24.3.1）．图24.3.1前面的结论告诉我们，在Rt△ABC中，只要一个锐角的大小不变（如∠A＝34°），那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边的比值是一个固定的值．思考一般情况下，在Rt△ABC中，当锐角A取其他固定值时，∠A的对边与邻边的比值还会是一个固定值吗？图24.3.25观察图24.3.2中的Rt△11CAB、Rt△22CAB和Rt△33CAB，易知Rt△11CAB∽Rt△_________∽Rt△________，所以111ACCB＝_________＝____________．可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的．我们同样可以发现，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是唯一确定的．二、新授因此这几个比值都是锐角A的函数，记作sinA、cosA、tanA、cotA，即sinA＝斜边的对边A，cosA＝斜边的邻边A，tanA＝的邻边的对边AA，cotA＝的对边的邻边AA．分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A的三角函数．显然，锐角三角函数值都是正实数，并且0＜sinA＜1，0＜cosA＜1．根据三角函数的定义，我们还可得出AA22cossin＝1，tanA·cotA＝1．图24.3.3例1求出图24.3．3所示的Rt△ABC中∠A的四个三角函数值．解1728922ACBCAB，sinA＝178ABBC，cosA＝1715ABAC，tanA＝158ACBC，cotA＝815BCAC．练习:P107.1.2.3.三、小结:正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A的三角函数四、作业:练习册同步五、教后反思：624.3.1锐角三角函数（2）教学目标1、探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系。2、掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函数值。3、掌握三角函数定义式：sinA=斜边的对边A,cosA=斜边的邻边A,tanA=的邻边的对边AA,cotA=的对边的邻边AA教学重难点重点：三角函数定义的理解。难点：掌握三角函数定义式。教学过程一、探索根据三角函数的定义，sin30°是一个常数．用刻度尺量出你所用的含30°角的三角尺中，30°角所对的直角边与斜边的长，与同伴交流，看看常数sin30°是多少．通过计算，我们可以得出sin30°＝21斜边对边，图24.3.4即斜边等于对边的2倍．因此我们可以得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．思考上述结论还可通过逻辑推理得到．如图24.3．4，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，作∠BCD＝60°，点D位于斜边AB上，容易证明△BCD是正三角形，△DAC是等腰三角形，从而得出上述结论．二、做一做7在Rt△ABC中，∠C＝90°，借助于你常用的两块三角尺，或直接通过计算，根据锐角三角函数定义，分别求出下列∠A的四个三角函数值：（1）∠A＝30°；（2）∠A＝60°；（3）∠A＝45°．为了便于记忆，我们把30°、45°、60°角的三角函数值列表如下：αsinαcosαtanαcotα30°2145°1160°21三、练习求值：2cos60°＋2sin30°＋4tan45°．四、学习小结:记忆特殊角的函数值五、布置作业练习册同步六、教后反思：24.3.1锐角三角函数（3）教学目标1、进一步复习直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系。2、进一步掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函数值。3、掌握三角函数定义式：sinA=斜边的对边A,cosA=斜边的邻边A,tanA=的邻边的对边AA,cotA=的对边的邻边AA教学重难点重点：三角函数定义的理解。难点：掌握三角函数定义式。教学过程一、新授：例1求出如图所示的Rt△DEC（∠E＝90°）中∠D的四个三角函数值．8（第2题）sin30゜是一个常数.用刻度尺量出你所用的含30゜的三角尺中，30゜所对的直角边与斜边的长，sin30゜=21＝斜边对边即斜边等于对边的2倍.因此我们还可以得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30゜，那么它所对的直角边等于斜边的一半.做一做在Rt△ABC中，∠C＝90゜，借助于你常用的两块三角尺，根据锐角三角函数定义求出∠A的四个三角函数值：（1）∠A＝30゜（2）∠A＝60゜（3）∠A＝45゜.为了便于记忆，我们把30゜、45゜、60゜的三角函数值列表如下.（请填出空白处的值）二、课堂练习1.如图，在Rt△MNP中，∠N＝90゜.∠P的对边是__________,∠P的邻边是_______________;∠M的对边是__________,∠M的邻边是_______________;（第1题）（第2题）2.求出如图所示的Rt△DEC（∠E＝90゜）中∠D的四个三角函数值.3.设Rt△ABC中，∠C＝90゜，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，根据下列所给条件求9∠B的四个三角函数值.（1）a=3,b=4;（2）a=6,c=10.4.求值：2cos60゜+2sin30゜+4tan45゜.三、小结:记忆特殊角的函数值四、作业：练习册同步五、教后反思：24.3.2.用计算器求锐角三角函数值教学目标学会计算器求任意角的三角函数值。教学重难点重点：用计算器求任意角的三角函数值。难点：实际运用。教学过程一、新授拿出计算器，熟悉计算器的用法。下面我们介绍如何利用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角.（1）求已知锐角的三角函数值.例2、求sin63゜52′41″的值.（精确到0.0001）解先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：显示再按下列顺序依次按键：显示结果为0.897859012.所以sin63゜52′41″≈0.8979例3求cot70゜45′的值.（精确到0.0001）解在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出），按下列顺序依次按键：10显示结果为0.349215633.所以cot70゜45′≈0.3492.（2）由锐角三角函数值求锐角例4已知tanx=0.7410,求锐角x.（精确到1′）解在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出），按下列顺序依次按键：显示结果为36.53844577.再按键：显示结果为36゜32′18.4.所以，x≈36゜32′.例5已知cotx=0.1950,求锐角x.（精确到1′）分析根据tanx＝xcot1，可以求出