保险精算学-总复习

保险精算学总复习利息理论与确定年金利息的度量•按照计息时刻划分：1.期末计息：利率2.期初计息：贴现率•按照积累方式划分1.线性积累（1）单利计息（2）单贴现计息2.指数积累（1）复利计息（2）复贴现计息-ti1ti11i11121i-2-10t21金额时间211iti1复利下的现值和累计值……d11-t0t1(1-d)t1-d-11td)1(1金额时间名义利率1i1i141)4(i2)4(41i3)4(41i4)4(41i)(miimimm11)(实际利率名义贴现率1d1d141)4(d2)4(41d3)4(41d4)4(41d)(mddmdmm11)(确定性年金公式推导211(1)1111(1)1(1)(1)11(1)(1)1(1)1(1)(1)(1)(1)11limlim11limlimnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnvvvavvvvivavviadiisiiiiisiiisdvaaiivaadddin1)1(例.确定季度转换的名义利率，使其等于月度转换6%名义贴现率。%0605.611206.014121413)4(12)12(4)4(idi变额年金的计算例某公司决定用五年时间建立一笔专用基金，办法如下：•每年初存入一笔款，数量为逐年等额递减2万元。•从第六年开始每年末提取1万元作为奖金。•假如年利率为3%，•求第一年初的存款额。解：设第一年存款额为X万元。分解与平衡01234567.....XX-2X-4X-6X-8011……..分解XXXXX0-2-4-6-811……..平衡点选择平衡关系式：收入现金流的终值=支出现金流的现值%3%34%35)(2asIsX生命表函数生命表中的基本函数总结•lx:0岁者活到x岁的人数•dx:0岁者在x岁与x+1岁之间死亡的人数•px:x岁的人在年内生存的概率•qx:x岁的人在年内死亡的概率•tpx:x岁的人能再存活t年的概率•tqx:x岁的人在未来t年内发生死亡的概率•tdx:0岁者在x岁与x+t岁之间死亡的人数生存年金转换函数01011............ttxxxxttxxxxxxxMMMRCCCMdvC寿险换算符号如下：0101............ttxxxxttxxxxxxxNNNSDDDNlvD下：生存年金的换算符号如......110xxxtxtxxCCMdtDC即时给付情况下：t确定性年金与生存年金的t年现值生存年金计算一般公式znDNNααz:需要计算价值的时间点：开始支付年金的年龄n：支付次数X+1454..寿险死者保单对全体保单共有财产的分享初始人数每人交的净保费t年末的投资积累死亡人数1元赔偿寿险现值与终值计算的一般公式zmnxmnxnxDDMMAx:计算价值的时间点n:延期年数特别：n=0m：定期年数特别：M∞=0双保险纯寿险10例某人30岁投保某一寿险，约定50岁之前死亡给付3000元，若50岁仍生存，则每年末可领取年金额960元的终身生存年金。求其趸缴纯保费。解：所求趸缴纯保费可看作保额3000元的20年定期寿险趸缴纯保费与保额为960元的20年延期终身生存年金趸缴纯保费之和。所以其趸缴纯保费30|20|02:3019603000aA4设有保额为1000元的10年限期缴费20年的两全保险，签发年龄为30岁，其附加费用如下：佣金：第一年按总保费的25%提取，第二年按10%，第三年按5%，以后均为2%;保费税：总保费的2%；管理费及承保费用：第一年5元，第二年以后每年2元，保费缴清后每年1元。试求其年缴总保费。年龄x=30x+1x+2x+3…x+9x+10…x+20趸缴纯保费佣金管理费及承保费用0.25G0.1G0.05G0.02G0.02G522221….保费税0.02G0.02G…..0.02G30:20|1000A费用开支列表：3132301030:2030303|710102010000.250.10.050.020.023DDGaAGGGDDGaGaaa：30：30：30：30：按上表所示的费用开支情况及在签单时收支平衡的原理，可得练习•对（25）购买的保险金额为10万元的40年两全保险保单，该保单的第一年费用为100元加上毛保费的25%，续年的费用为25元加上毛保费的10%。发生死亡给付时的理赔费用为100元，生存给付时不发生理赔费用。求净均衡年缴保费和毛保费。已知%60811675.0114592.0140254025iAA，，：：常见险种的期末付生存年金险种延付年金精算现值终身生存年金n年定期生存年金m年延期终身生存年金m年延期n年定期生存年金1xxAai::1xnxnAai::1()xxmxxmxmxmxmaaaEaAAi:::::1()xmxmnxmnxmxmnxmxmnaaaEaAAi答案45.856033425.015.09.02575100100000)1.025()15.075(100100000)2(85.7321000001000006422.151)1(140:2540:25140:2540:2540:25140:2540:2540:25140:2540:2540:2540:2540:2540:2540:2540:25GAAAaaAAGaGGAAaGaAPdAa%60811675.0114592.0140254025iAA，，：：死亡时刻即刻赔付及连续支付生存年金的情形1.n年定期寿险•定义–保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为n年死亡保险•假定：岁的人，保额1元n年定期寿险•基本函数关系)(x,0,1,0,0,tttttttvvtvtnzbvtnbtntn趸缴纯保费的厘定•符号：•厘定：1:nxAdtpedtpvdttfzzEAtxxtnttxxtntTnttnx0001:)()(现值随机变量的方差•方差公式•记•则方差等价为20222)()()()()(tnTttttzEdttfezEzEzVardttfeAnTtnx)(021:221:1:2)()(nxnxtAAzVar2、终身寿险•定义–保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种。•假定：岁的人，保额1元终身寿险•基本函数关系)(x,0,01,0tttttttvvtzbvvtbt趸缴纯保费的厘定•符号：•厘定：xA000()()xttTtttxxttxxtAEzzftdtvpdtepdt现值随机变量的方差•方差公式•记•所以方差等价为22220()()()()()ttttTtVarzEzEzeftdtEz220()txTAeftdt22)()(xxtAAzVar3.延期终身寿险•定义–保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种。•假定：岁的人，保额1元，延期m年的终身寿险•基本函数关系)(x,0,1,0,0,tttttttvvtvtmzbvtmbtmtm死亡即付定期寿险趸缴纯保费的厘定•符号：•厘定：xmA001:()()()()mxttTmmtTtTxxmAEzzftdtzftdtzftdtAA现值随机变量的方差•方差公式•记•所以方差等价于2222()()()()()ttttTtmVarzEzEzeftdtEz22()txTmmAeftdt22()()txxmmVarzAA例•假设（x）投保延期10年的终身寿险，保额1元。•保险金在死亡即刻赔付。•已知•求：0.040.06(),0xSxex，t10(1)(2)Var(z)xA答案0.040.060.040.110100.161020.120.041022()(1)()0.04()0.040.040.1470.04(2)0.040.050470.16()()0.0288tTtttxmtttxmtxxmmSxtfteSxAeedtedteAeedtVarzAA例设(x)投保终身寿险，保险金额为1元保险金在死亡即刻赔付签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为•计算1,060(t)600,Ttf其它0.90.91(2)()(3)Pr()0.9.xtAVarzz（）的答案0606002260220120602(1)()1160602()()1()6011()12060txTttxxtxAeftdteedtVarzAAedtAee（）答案0.90.90.90.90.90.960lnln660.90.9(3)Pr()Pr()ln=Pr(lnln)()lnln60ln()0.960ln6lnttTvzvtvPtvvftdtvve终身连续生存年金精算现值的估计一——综合支付技巧•步骤一：计算到死亡发生时间T为止的所有已支付的年金的现值之和,这一现值仅与利率有关•步骤二：计算这个年金现值关于时间积分所得的年金期望值，即终身连续生存年金精算现值，dttfaaEaTTTx)()(0TTva1dtvTt0txxtTptfi)(),1ln(相关公式dtpvdttfaaEatxxttTTTx001)()(1）（xxxttTxAaAzEvEaEa1)1(1)1()1()(2）（])([1)()(1)1()1()(32222xxTtttTAAaVarzVarzVarvVaraVar）（终身连续生存年金精算现值的估计二——当期支付技巧•步骤一：计算时间T所支付的当期年金的现值•步骤二：计算该当期年金现值按照可能支付的时间积分，得到期望年金现值Tv0()TtxtxaEvvpdt例已知个体(x)的未来生存时间T的密度为计算：终身连续生存年金精算现值及方差30,05.0,100,00,1)(xtttfT其他)(,30YVara答案458.1405.0277.011277.07005.01701)(458.147005.0105.0170105.01)()1(30307005.070005.07003027005.070005.070030AaedtedttfvAoredtedttfaatTttTt答案4.2605.0066.0)(1)(066.0277.01427269.0)()(1427269.01.0701701)()2(22223030277001.07002302ZVarZVarYVarAAZVaredtedttfvAtTt死亡即刻赔付与死亡年末赔付的关系（剩余寿命在分数时期均匀分布假定）xxiAA例•考虑第