折射和反射定律、菲涅耳公式

1第七、八次课、折射和反射定律、菲涅耳公式一、折射和反射定律二、菲涅耳公式三、根据Fresnel公式讨论反射波和透射波的性质内容2一、折射和反射定律1、折射和反射定律内容2、分析内容31、折射和反射定律的内容是：时间频率ω是不变的；反射波和折射波均在入射面内；反射角等于入射角。折射定律：折射介质折射率与折射角正弦之积等于入射介质折射率与入射角正弦之积。2、分析：图1θrθtOxzOθi12界面niErEikrktEtk)](exp[0trkiEEiiii)](exp[0trkiEErrrr)](exp[0trkiEEtttt4界面两侧的总电场为：100exp[()]exp[()]iriiirrrEEEEikrtEikrt20exp[()]ttttEEEikrt电场的边界条件0)(12EEn)](exp[)](exp[)](exp[000trkiEntrkiEntrkiEntttrrriii欲使上式对任意的时间t和界面上均成立，则必然有：rrkrkrktri(2)tri(1)可见，时间频率ω是入射电磁波或光波的固有特性，它不因媒质而异，也不会因折射或反射而变化；50)(rkkir0)(rkkit由于可以在界面内选取不同方向，上式实际上意味着矢量和均与界面的法线平行，由此可以推知，、、与共面，该平面称为入射面。r)(irkk)(itkknikrktkncnki/1cnkr/1cnkt/2θr=θi(3)n2sinθt=n1sinθi(4)rkrkrktri(2)写成标量形式，并约掉共同的位置量)2cos()2cos()2cos(ttrriikkk结论：反射波和折射波均在入射面内。反射角等于入射角折射定律6二、菲涅耳公式1、公式的推导2、公式的另外两种形式内容71、Fresnel公式的推导折、反射定律给出了反射波、折射波和入射波传播方向之间的关系。而反射波、折射波和入射波在振幅和位相之间的定量关系由Fresnel公式来描述。只推导反射波、折射波和入射波的电场的Fresnel公式。E方法和步骤的内旨电场是矢量，可将其分解为一对正交的电场分量，一个振动方向垂直于入射面，称为‘s’分量，另外一个振动方向在或者说平行于入射面，称为‘p’分量。E首先研究入射波仅含‘s’分量和仅含‘p’分量这两种特殊情况。当两种分量同时存在时，则只要分别先计算由单个分量成分的折射、反射电场；然后根据矢量叠加原理进行矢量相加即可得到结果。81)、单独存在s分量的情形规定：电场和磁场的s分量垂直于纸面，向外为正，向内为负。图2θtOθrθi12界面nisErsEikrktsEtkipHrpHtpH在界面上电场切向分量连续：0)(12EEn0)(12HHnstsrsiEEE000(5)tptrpripiHHHcoscoscos000(6)在界面上磁场的切向分量连续：9非磁性各向同性介质中、的数值之间的关系：EHEcnBH00EHtstrsrisiEnEnEncoscoscos020101(7)tptrpripiHHHcoscoscos000(6)stsrsiEEE000(5)s分量的透射系数titisisrsnnnnEErcoscoscoscos212100(8)010122coscoscostsisisitEntEnn(9)s分量的反射系数102)、单独存在p分量的情形规定：p分量按照其在界面上的投影方向，向右为正，向左为负。图3θtOθrθi12界面nipErpEikrktpEtkisHrsHtsHstsrsiHHH000(10)tptrpripiEEEcoscoscos000(11)E即：的p分量的切向分量一致向右EkH组成右手坐标系H的正方向如图所示EH根据的边界条件得：11再利用、的数值关系以及、之间的正交性，得到：EHEHititpiprpnnnnEErcoscoscoscos212100(12)010122coscoscostpipiptiEntEnn(13)公式(8)、(9)、(12)、(13)称为Fresnel公式：titisisrsnnnnEErcoscoscoscos212100(8)tiisisrsnnnEEtcoscoscos221100(9)ititpiprpnnnnEErcoscoscoscos212100(12)itipiprpnnnEEtcoscoscos221100(13)p分量的透射系数p分量的反射系数122、公式的另外两种形式titipiprpnnnnEErcoscoscoscos212100101202coscoscoscoscostpiipiptitnEtnnE(14)(15)令：isncos11(16)tsncos22(17)titisisrsnnnnEErcoscoscoscos212100(8)tiisisrsnnnEEtcoscoscos221100(9)ititpiprpnnnnEErcoscoscoscos212100(12)010122coscoscostpipiptiEntEnn(13)将它们变形ipncos11(18)tpncos22(19)13于是得Fresnel公式的另外一种形式：sssssisrsEEr212100ssssisrsEEt211002pppppiprpEEr212100010122coscostppipippptEtE(20)(21)(22)(23)14利用折射定律，Fresnel公式还可以写成如下的形式：)sin()sin(titisr)tan()tan(titipr)sin(sincos2titist)sin()sin(sincos2ititiipt(24)(25)(26)(27)15三、根据Fresnel公式讨论反射波和透射波的性质1.n1n2的情况2.n1n2的情况内容161.n1n2的情况在光学上，这种情况称为光从光疏媒质向光密媒质入射。根据折射定律可知：θiθt。(1)、反射和透射系数的变化：图4tptsrprsn2/n1=2.01)、两个透射系数ts和tp都随着入射角θi增大而单调降低，即入射波越倾斜，透射波越弱，并且在正向规定下，ts和tp都大于零。172)、rs始终小于零，其绝对值随着入射角单调增大。根据正方向规定可知，在界面上反射波电场的s分量振动方向始终与入射波s分量相反。位相跃变(半波损失))sin()sin(titisr负号写成在界面上任何一点，反射波s分量与入射波s分量间都有一个π的位相差别。图4n2/n1=2.0exp()i||exp()ssrri00exp[()]isisiEEikrt0000exp[()]||exp[()]rsissrissrEErikrtErikrt位相跃变srprstpt这样，位相差π相当于电磁波(光)传播半个波长的距离，所以该现象又可称为半波损失。0exp[()]rikrt2||rkrr||2r18图4n2/n1=2.0srprstpt3)、对于rp，它的代数值随着入射角θi单调增大，但是经历了一个由负到正的变化。)tan()tan(titiprθi=特定值θB，rp=0布儒斯特定律利用折射定律121nntgB90iB布儒斯特角(28)1如果平面波以布儒斯特角入射，则不论入射波的电场振动如何，反射波不再含有p分量，只有s分量；2如果平面波以布儒斯特角入射，反射角与折射角互为余角，所以rtkk193、当θi较小时，rp0，Eip和Erp中平行于界面的成分较多，此时两者的主要成分相反向；当θi较大时，Eip和Erp中垂直于界面的成分为主要成分，此时尽管rp0，但因它们的正向规定基本相反，所以实际上仍有Eip和Erp的主要成分相反向；因此说，n1n2时，反射波电场方向总与入射波电场方向相反或接近相反。图3θtOθrθi12界面nikrktpEtkisHrsHtsHipErpErpE20θi=0°的情形是一个特殊的情况，称为正入射。这时，折射角θt=0°，由Fresnel公式容易算出在正入射时s和p分量的差别消失，用r0和t0分别表示正入射时的反射和透射系数，则有：21210nnnnr(29)21102nnnt(30)(29)、(30)两式可以看出，两媒质折射率的差别越大，r0的绝对值越大，而t0值越小。从图4可以看出，四条曲线在θi=0°处的斜率都是零，所以公式(29)、(30)还可以用来估计小θi(15°)处的系数。例如，对于n2/n1=1.5，r0=-0.2，t0=0.8，在θi=10°时，直接由Fresnel公式计算可得到：rs=-0.2041，rp=-0.1959，ts=0.7969，tp=0.7973，可见它们分别与r0和t0接近。4)、θi=0°和90°的情况图4n2/n1=2.0srprstpt对于n2/n1=2.0，r0=-0.33，t0=0.67θi=90°的情形也是一个特殊的情况，此时，rs=-1，rp=1。ts=tp=0，这表示电磁波仅仅在界面上‘掠过’，并未真正进入第二媒质里因此称这种入射为掠入射。这些数值画出了图4各曲线的终点。21(2)、反射率和透射率的变化波的横截面面积与投射在界面上的面积存在着关系12As2001||2siisEcnI(31)Wis=IisA0cosθi(32)2001||2sttsEcnIWts=ItsA0cosθtAtAitiA02001||2srrsEcnIWrs=IrsA0cosθr=IrsA0cosθi定义：s分量的反射率Rs为Wrs与Wis之比；s分量的透射率Ts为Wts与Wis之比。22于是有：2||sisrsisrssrIIWWR212||coscoscoscossitistsitistsstnnIIWWT(33)(34)类似地，当入射波只含有p分量的时，可以求出p分量的反射率Rp和透射率Tp：2||piprpiprpprIIWWR(35)212||coscoscoscospitiptpitiptpptnnIIWWT(36)将Fresnel公式代入上面四式，即可分别得到Rs、Rp、Ts、Tp与入射角θi的函数关系。23图6TpTsRpRsRs与Ts之间、Rp与Tp之间均存在‘互补’关系，即：Rs+Ts=1(37)Rp+Tp=1(38)这表明，在界面处，入射波的能量全部转换为反射波和折射波的能量。条件：界面处没有散射、吸收等能量损失。24当入射波同时含有s分量和p分量时，由于两个分量的方向互相垂直，所以在任何地点、任何时刻都有：222||||||ipisiEEE从而有：Ii=Iis+IipWi=Wis+Wip类似地，有：Wr=Wrs+WrpWt=Wts+Wtp可以定义反射率R和透射率T为：irWWRitWWT注意：入射光波的s分量(p分量)只对折射率、反射率的s分量(p分量)有贡献如