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知识点说明周期问题:周期现象:事物在运动变化过程中,某些特征有规律循环出现;周期:我们把连续两次出现所经过的时间叫周期;解决有关周期性问题的关键是确定循环周期.分类:1.图形中的周期问题;2.数列中的周期问题;3.年月日中的周期问题.周期性问题的基本解题思路是:首先要正确理解题意,从中找准变化的规律,利用这些规律作为解题的依据;其次要确定解题的突破口。主要方法有观察法、逆推法、经验法等。主要问题有年月日、星期几问题等。⑴观察、逆推等方法找规律,找出周期.确定周期后,用总量除以周期,如果正好有整数个周期,结果就为周期里的最后一个;例如:1,2,1,2,1,2,…那么第18个数是多少?这个数列的周期是2,1829,所以第18个数是2.⑵如果比整数个周期多n个,那么为下个周期里的第n个;例如:1,2,3,1,2,3,1,2,3,…那么第16个数是多少?这个数列的周期是3,16351,所以第16个数是1.⑶如果不是从第一个开始循环,可以从总量里减掉不是循环的个数后,再继续算.例如:1,2,3,2,3,2,3,…那么第16个数是多少?这个数列从第二个数开始循环,周期是2,(161)271,所以第16个数是2.板块一、图形中的周期问题【例1】小兔和小松鼠做游戏,他们把黑、白两色小球按下面的规律排列:●●○●●○●●○…你知道它们所排列的这些小球中,第90个是什么球?第100个又是什么球呢?【解析】仔细观察图中球的排列,不难发现球的排列规律是:2个黑球,1个白球;2个黑球,1个白球;……也就是按“2个黑球,1个白球”的顺序循环出现,因此,这道题的周期为3(2个黑球,1个白球).再看看90、100里包含有几个这样的周期,若正好有整数个周期,结果为周期里的最后一个,若是有整数个周期多几个,结果就为下一个周期里的第几个.因为90330,正好有30个周期,第90个是白球.100333…1,有33个周期还多1个,所以,第100个是黑球.【巩固】美美有黑珠、白珠共102个,她想把它们做成一个链子挂在自己的床头上,她是按下面的顺序排列的:○●○○○●○○○●○○○……那么你知道这串珠子中,最后一个珠子应是什么颜色吗?美美怕这种颜色的珠子数量不够,你能帮她算出这种颜色在这串珠子中共有多少个吗?第十四讲:周期问题【例2】小倩有一串彩色珠子,按红、黄、蓝、绿、白五种颜色排列.⑴第73颗是什么颜色的?⑵第10颗黄珠子是从头起第几颗?⑶第8颗红珠子与第11颗红珠子之间(不包括这两颗红珠子)共有几颗珠子?【解析】⑴这些珠子是按红、黄、蓝、绿、白的顺序排列,每一组有5颗.73514(组)……3(颗),第73颗是第15组的第3颗,所以是蓝色的.⑵第10颗黄珠子前面有完整的9组,一共有5945(颗)珠子.第10颗黄珠子是第l0组的第2颗,所以它是从头数的第47颗.列式:59245247(颗)⑶第8颗红珠子与第11颗红珠子之间一共有14颗珠子.第8颗红珠子与第11颗红珠子之间有完整的两组(第9、10组),共l0颗珠子,第8颗红珠子后面还有4颗珠子,所以是14颗.列式:52410414(颗).【巩固】奥运会就要到了,京京特意做了一些“北京欢迎你”的条幅,这些条幅连起来就成了:“北京欢迎你北京欢迎你北京欢迎你……”依次排列,第28个字是什么字?【巩固】节日的校园内挂起了一盏盏小电灯,小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯.也就是说,从第一盏白灯起,每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯.那么第73盏灯是什么颜色的灯?【例3】节日的夜景真漂亮,街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接1盏黄灯,然后又是5盏红灯、4盏蓝灯、1盏黄灯、……这样排下去.问:⑴第150盏灯是什么颜色?⑵前200盏彩灯中有多少盏蓝灯?【解析】⑴街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接1盏黄灯,这样一个周期变化的,实际上一个周期就是54110(盏)灯.150(541)15,150盏灯刚好15个周期,所以第150盏应该是这个周期的最后一盏,是黄色的灯.⑵如果是200盏灯,就是200(541)20的周期.每个周期都有4盏蓝灯,20480(盏)前200盏彩灯中有80盏蓝灯.【巩固】在一根绳子上依次穿2个红珠、2个白珠、5个黑珠,并按此方式反复,如果从头开始数,直到第50颗,那么其中白珠有多少颗?【巩固】小莉把平时积存下来的200枚硬币按3个1分,2个2分,1个5分的顺序排列起来.⑴最后1枚是几分硬币⑵这200枚硬币一共价值多少钱?【巩固】桌子上摆了很多硬币,按一个一角,两个五角,三个一元的次序排列,一共19枚硬币.问:最后一个是多少钱的?第十四个是多少钱的?【巩固】有249朵花,按5朵红花,9朵黄花,13朵绿花的顺序轮流排列,最后一朵是什么颜色的花?这249朵花中,什么花最多,什么花最少?最少的花比最多的花少几朵?【例4】如图所示,每列上、下两个字(字母)组成一组,例如,第一组是“我,A”,第二组是“们,B”……我们爱科学我们爱科学我……ABCDEFGABCD……⑴写出第62组是什么?⑵如果“爱,C”代表1991年,那么“科,D”代表1992年……问2008年对应怎样的组?【解析】(1)要求第62组是什么数,我们要分别求出上、下两行是什么字(字母),上面一行是以“我们爱科学”五个字为一个周期,下面一行则是以“ABCDEFG”七个字母为一个周期62512……2,6278……6,所以第62组是“们,F”⑵2008是1991之后的第17组,现在上面一行按“科学我们爱”五个字为一个周期,下面一行则按“DEFGABC”七个字母为一个周期:2008199117(组),1753……21772……3,所以2008年对应的组为“学,F”.【巩固】在图所示的表中,将每列上、下两个字组成一组,例如第一组为(新奥),第二组为(北林),那么第50组是什么?新北京新奥运新北京新奥运新北京新奥运……奥林匹克运动会奥林匹克运动会奥林匹克运动会……【例5】如右图,是一片刚刚收割过的稻田,每个小正方形的边长是1米,A、B、C三点周围的阴影部分是圆形的水洼。一只小鸟飞来飞去,四处觅食,它最初停留在0号位,过了一会儿,它跃过水洼,飞到关于A点对称的1号位;不久,它又飞到关于B点对称的2号位;接着,它飞到关于C点对称的3号位,再飞到关于A点对称的4号位,……,如此继续,一直对称地飞下去。由此推断,2004号位和0号位之间的距离是多少米?【解析】0米。根据题上给出的条件,动手画出,就可以了!四次再次回到0号位置!2004是4的倍数,所以第2004号位和0号位之间的距离是0米。板块二、数列中的周期问题【例6】小和尚在地上写了一列数:7,0,2,5,3,7,0,2,5,3…你知道他写的第81个数是多少吗?你能求出这81个数相加的和是多少吗?【解析】⑴从排列上可以看出这组数按7,0,2,5,3依次重复排列,那么每个周期就有5个数.81个数则是16个周期还多1个,第1个数是7,所以第81个数是7,81516…1⑵每个周期各个数之和是:7025317.再用每个周期各数之和乘以周期次数再加上余下的各数,即可得到答案.17167279,所以,这81个数相加的和是279.【巩固】根据下面一组数列的规律求出51是第几个数?1、2、3、4、6、7、8、9、11、12、13、14、16、17……【例7】⑴44……4(25个4),积的个位数是几?⑵24个2相乘,积末位数字是几?【解析】⑴按照乘数的个数,积的末位数字的规律是:4,6,4,6,4,6,……,奇数个4相乘得数的末位数字是4,偶数个4相乘得数的末位数是6,所以25212…1,25个4相乘,积的末位数字是4.⑵按照乘数的个数,末位数字的规律是2,4,8,6,2,4,8,6,……,4个一组2446,所以24个2相乘,积末位数字是6.【巩固】紧接着1989后面写一串数字,写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数.例如,8972,在9后面写2,9218,在2后面写8……得到一串数字:19892868…,问:这串数字从1开始,往右数,第l999个数字是几?这1999个数字的和是多少?【例8】12个同学围成一圈做传手绢的游戏,如图.⑴从1号同学开始,顺时针传l00次,手绢应在谁手中?⑵从1号同学开始,逆时针传l00次,手绢又在谁手中?⑶从1号同学开始,先顺时针传l56次,然后从那个同学开始逆时针传143次,再顺时针传107次,最后手绢在谁手中?121110987654321【解析】⑴因为一圈有l2个同学,所以传一圈还回到原来同学手中,现在,从1号开始,顺时针传l00次,我们先用除法求传了几圈、还余几次.100128(圈)……4(次)从1号同学顺时针传4次正好传到5号同学手中.⑵与第一小题的道理一样,先做除法.100128(圈)……4(次)这4次是逆时针传,正好传到9号同学手中(如图).⑶先顺时针传156次,然后逆时针传l43次,相当于顺时针传15614313(次);再顺时针传l07次,与13次合并,相当于顺时针传13107120(次),1201210(圈),手绢又回到l号同学手中.121110987654321【巩固】8个队员围成一圈做传球游戏,从⑴号开始,按顺时针方向向下一个人传球.在传球的同时,按顺序报数.当报到72时,球在几号队员手上?87654321【巩固】如图,电子跳蚤每跳一步,可从一个圆圈跳到相邻的圆圈.现在,一只红跳蚤从标有数字.的圆圈按顺时针方向跳了1991步,落在一个圆圈里.一只黑跳蚤也从标有数字.的圆圈起跳,但它是沿着逆时针方向跳了1949步,落在另一个圆圈里.问:这两个圆圈里数字的乘积是多少?01110987654321【巩固】如右图,把1~8八个号码摆成一个圆圈,现有一个小球,第一天从1号开始按顺时针方向前进329个位置,第二天接着按逆时针方向前进485个位置,第三天又顺时针前进329个位置,第四天再逆时针前进485个位置……如此继续下去,问至少经过几天,小球又回到原来的1号位置?【巩固】如右图,有16把椅子摆成一个圆圈,依次编上从1到16的号码.现在有一人从第1号椅子顺时针前进328个,再逆时针前进485个,又顺时针前进328个,再逆时针前进485个,又顺时针前进136个,这时他到了第几号椅子?【例9】甲、乙两人对一根3米长的木棍涂色。首先,甲从木棍的端点开始涂黑色5厘米,间隔5厘米不涂色,再涂5厘米黑色,这样交替做到底。然后,乙从木棍同一端点开始留出6厘米不涂色,然后涂6厘米黑色,再间隔6厘米不涂色,交替做到底,最后木棍上没有被涂黑色部分的总长度是多少?【解析】此题最好画图为同学们示意:在前30厘米内未被涂黑的是:1,3,5,在31-60厘米内的是:4,2,因此60厘米一个周期:(1+3+5+4+2)×300/60=75厘米.【例10】右图中,任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是891,那么B代表多少?【解析】根据“任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是891”,可知任意一个小圆圈中的数和与它相隔2个小圆圈的小圆圈中的数是相同的.于是:B=891÷(9×9)=11.【巩固】课外活动时,甲、乙、丙、丁四人排成一个圆圈依次报数.甲报“1”,乙报“2”,丙报“3”,丁报“4”,这样每人报的数总比前一个人多1.问“34”是谁报的?“71”是谁报的?【例11】实验室里有一只特别的钟,一圈共有20个格.每过7分钟,指针跳一次,每跳一次就要跳过9个格,今天早晨8点整的时候,指针恰好从0跳到9,问:昨天晚上8点整的时候指针指着几?【解析】昨晚8点至今早8点,共经历6012720(分钟),72071026,说明从今早8点整起,7分钟,7分钟…往回数,昨晚8点后,第1次指针跳是8点6分,直到今早7点53分,指针正好跳到“0”位,指针共跳了102次.由于每次跳9格,所以共跳了9102918(格).每20格一圈,91
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