3-2矩阵的秩

.,数是唯一确定的梯形矩阵中非零行的行梯形，行阶把它变为行阶变换总可经过有限次初等行任何矩阵nmA.,,12阶子式的称为矩阵阶行列式，的中所处的位置次序而得变它们在不改元素处的个），位于这些行列交叉列（行中任取矩阵在定义kAkAknkmkkkAnm一、矩阵秩的概念矩阵的秩..)(0102等于零并规定零矩阵的秩的秩，记作称为矩阵的最高阶非零子式，数称为矩阵，那末于）全等阶子式（如果存在的话，且所有式阶子的中有一个不等于设在矩阵定义ARArADrDkA.)(子式的最高阶数中不等于零的是的秩矩阵AARAnm，对于TA).()(ARART显有.个阶子式共有的矩阵knkmCCkAnm例1.174532321的秩求矩阵A解中，在A，阶子式只有一个的又AA3.03221，且0A.2)(AR例2.00000340005213023012的秩求矩阵B解行，其非零行有是一个行阶梯形矩阵，3B.4阶子式全为零的所有B,0400230312而.3)(BR例3，求该矩阵的秩．已知510231202231A,022031102120231502320231解计算A的3阶子式，,0,0510312223512310221,0,0.0.2AR做初等变换，对矩阵510231202231A另解,000031202231~510231202231显然，非零行的行数为2，.2AR此方法简单！.,梯形等行变换把他变为行阶总可经过有限次初因为对于任何矩阵nmA问题：经过变换矩阵的秩变吗？.,~1BRARBA则若定理证二、矩阵秩的求法).()(BRARBA则，经一次初等行变换变为先证明：若.0)(rDrArAR阶子式的某个，且设时，或当BABAkrrriji时，分三种情况讨论：当BAjikrr,.rrDDB相对应的子式中总能找到与在,rrrrrrkDDDDDD或或由于.)(0rBRDr，从而因此行；行但不含第中含第）（行；行和第中同时含第）（行；中不含第）（jiDjiDiDrrr321.)(,0)2(),1(rBRDDDBrrr故子式对应的中与两种情形，显然对，对情形)3(,ˆrrjijirDkDrkrkrrD,0ˆrD若,ˆ非零子式阶行的中有不含第行知中不含第因riAiDr.)(rBR,0ˆrD若).()(BRARBA，则经一次初等行变换变为若,AB为也可经一次初等变换变又由于.)(,0rBRDDrr也有则).()(BRAR因此).()(ARBR故也有经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．).()(,BRARBA也有经初等列变换变为设,BA经初等列变换变为设).()(),~(,BRARBABA则即经有限次初等变换变为若综上,TTBA经初等行变换变为则),()(TTBRAR),()(),()(TTBRBRARAR且).()(BRAR证毕初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例4．的一个最高阶非零子式秩，并求的求矩阵设AAA,41461351021632305023阶梯形矩阵：作初等行变换，变成行对A解41461351021632305023A0502335102163234146141rr41461351021632305023A050233510211340414614241rrrr128121601179120113404146141461351021632305023A4241rrrr141332rrrr8400084000113404146100000840001134041461由阶梯形矩阵有三个非零行可知.3)(AR233rr244rr34rr.的一个最高阶子式求A,3)(AR.3阶的最高阶非零子式为知A阶子式共有的3A.403534个CC阶梯形矩阵为的行则矩阵记),,(),,,,,(42154321aaaBaaaaaA的行阶梯形矩阵，考察A000400140161,3)(BR的前三行构成的子式计算B.3阶非零子式中必有故B.4个且共有6235025231106502523116522.016则这个子式便是的一个最高阶非零子式.A，阶可逆矩阵设An,0A,AA的最高阶非零子式为,)(nAR.~,EAEA的标准形为单位阵故.为满秩矩阵，故称可逆矩阵可逆矩阵的秩等于阶数.奇异矩阵为降秩矩阵例54321,6063324208421221bA设.)(的秩及矩阵求矩阵bABA解),~,~(~bABB的行阶梯形矩阵为设分析：的行阶梯形矩阵，就是则AA~).()()~,~(~BRARbAB及中可同时看出故从46063332422084211221B13600512000240011221131222rrrr143rr10000500000120011221000001000001200112212322rrr243rr53r34rr.3)(,2)(BRAR三、小结(2)初等变换法1.矩阵秩的概念2.求矩阵秩的方法(1)利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);思考题?)()(,是否相等与为任一实矩阵设ARAARAT思考题解答答相等.,0x因为对于任一实向量,0时当Ax,0AxAT必有有时反之当,0AxAT0AxAxTT即0AxAxT;0Ax由此可知,00同解与AxAAxT.ARAART故