第2章(打印A4)

1第二章流体静力学本章研究的问题：流体处于静止状态下的力学规律及其在工程中的应用。思考1挡水墙的静水压强按什么规律分布?挡水墙所受的总压力是多少?思考2提升闸门需要多大的力?思考3珠穆朗玛峰顶上的压强只有0.3个大气压，空气密度只有海平面空气密度的0.4倍。这是为什么?2思考4海面下108m深处水的压强是多少?§2-1流体静压强的特性本节研究的问题：静止流体的应力有什么特征?流体静止时，表面力只有压应力(压强)，切应力为零。静止流体内部的压强称为流体静压强。流体静压强具有两个基本特性：特性一:静止的流体不能承受拉应力，只能承受压应力（压强）。流体静压强的方向为受压面的内法向。特性二:静止流体内部任一点各个方向的压强值的大小相等。(证明如下)我们证明,当图中的四面体缩成一点时，四个面上的压应力相等。作用在四面体内的流体的外力和为零。其静力平衡方程为：061212121fzyxndApkyxpjxzpizypnnzyx061),cos(21zyxρfxndApzypxnnxzyxndAn21),cos(061)(21zyxfppzyxnx031)(xfppxnxnxppx,0时当同理：nypp，nzpp3nzyxppppo点，有：故，对于§2-2流体静止的微分方程一.流体静止的微分方程：边长分别为dx,dy,dz的微元平行六面体受表面力和质量力的共同作用而保持静止。微元体的中心为A点，左表面的中心为B点，右表面的中心为C点。A点的压强为p(x,y,z)。x方向的静力平衡：0)21()21(dxdydzρfdydzdxxppdydzdxxppxxpρfx1同理：zpρfypρfzy11这就是流体静止的微分方程(亦称Euler平衡微分方程)。它反映了流体处于静止状态时，单位质量流体所受的质量力与表面力彼此平衡。二.等压面：流体中，两个相邻点的压强差为：)(dzfdyfdxfρdzzpdyypdxxpdpzyx等压面的定义：流体中压强相等的点所组成的面。等压面方程：0dzfdyfdxfzyxkdzjdyidxdlkfjfiffdlfzyx；这里：。即0,上式表明：流体质点沿等压面作任意位移时，质量力所做的功为零。故：等压面与质量力正交。三.质量力有势的概念：4如果：zπfyπfxπfzyx,,则：为质量力的势函数。),,(zyxππ在重力场中：gzfyfxfzyx,0,0数。为重力场质量力的势函gzπ§2-3静止液体的压强分布一.水静力学基本方程：均质液体ρ=常数，质量力只有重力。取Z轴为海拔高度方向，则：gfffzyx,0,0dzγgdzρdp.:,constpzczp或故：.,:CzCp时当显然即：在重力场中，处于静止（平衡）状态的不可压缩液体内部，等压面就是等高面。淹深。或：：。则时在液面上又hhpzzpppzpzppzz0000000)(,:,。称为水静力学基本方程或：hγppcγpz0,既可为液体表面上中的注意，式：00phγpp体内部某点的压强。某点的压强，也可为液hγpp0二.压强的计量单位和表示方法：1.压强的计量单位：51）、应力单位：N/m2(Pa)，或KN/m2(Kpa)。2）、大气压的倍数：标准大气压，工程大气压。3）、液柱高度表示：米水柱(mH2O)或毫米水银柱(mmHg)。1标准大气压=10.33米水柱=760mmHg=10.13104N/m21工程大气压=10米水柱=735mmHg=9.8104N/m22.绝对压强，相对压强，真空度：绝对压强的定义：以绝对真空作为零点计量的压强值，称为绝对压强。相对压强的定义：以当地大气压作为零点计量的压强值，称为相对压强。真空度（真空压强、真空值）的定义：当液体中某点的绝对压强小于当地大气压时，当地大气压与该点绝对压强的差值，称为该点的真空度。若用p表示液体内部某一点的绝对压强，pa表示当地大气压的绝对压强值。则：该点的相对压强（表压强）：p－pa该点的真空度（真空压强）：pa－p(当ppa时)三.水静力学基本方程的物理意义和几何意义：1.物理意义：Z——单位重量液体所具有的位置势能（相对于某基准面）。p/——单位重量液体所具有的压强势能。Z+p/——单位重量液体所具有的总势能。方程的物理意义：静止液体内部任一点的单位重量液体所具有的位置势能和压强势能之和为常数。2.测压管：测压管液柱高度：hγppa用开口管测压强，液柱高度为：γpphaHγp用真空管测压强，液柱高度为：γpH6工程中的测压管都是开口管。3.几何意义：Z——液体中某点相对于某基准面的位置高度，称为位置水头（单位：m）。p/——压强水头（单位：m）。Z+p/——测压管水头（p为相对压强）。方程的几何意义：静止液体中任一点的位置水头和压强水头之和为常数。§2-4液柱式压差计一.U形管压差计：点1的压强：p1界面3的压强：)(3113zzγpp界面4的压强：)(')(343114zzγzzγpp点2的压强：))(')(42343112zzγzzγzzγpphzzzz3421，hγγpp)'(21二.Π形管（倒U形管）压差计：21zz这里：7)(')(43131zzγzzγp)(242zzγp可忽略。，故由于)(''43zzγρρhγpp21例1：用复式水银压差计测量密封容器内水面的相对压强，如图所示。已知：水面高程z0=3m,压差计各水银面的高程分别为z1=0.03m,z2=0.18m,z3=0.04m,z4=0.20m,水银密度3/13600mkgρ，水的密度3/1000mkgρ。试求水面的相对压强p0。(书上P29的例2-2)解：apzzγzzγzzγp)(')(')(3412100)()('1034120zzγzzzzγp例2：用如图所示的倾斜微压计测量两条同高程水管的压差。该微压计是一个水平倾角为θ的Π形管。已知测压计两侧斜液柱读数的差值为L=30mm，倾角θ=30∘，试求压强差p1–p2。(书上P29的例2-3)解：21zz这里：224131)()(pzzγzzγpθLγzzγppsin)(43218例3：用复式压差计测量两条气体管道的压差（如图所示）。两个U形管的工作液体为水银，密度为ρ2，其连接管充以酒精，密度为ρ1。如果水银面的高度读数为z1、z2、z3、z4，试求压强差pA–pB。。解：点1的压强：pA)(21222zzγppA的压强：点)()(33211223zzγzzγppA的压强：点BApzzγzzγzzγpp)()()(3423211224)()(32134122zzγzzzzγppBA§2-5静止大气压强分布一.国际标准大气：国际标准大气的定义：1、基准面：国际标准大气取海平面为基准面：海平面上的大气参数:T0=15°C=288K,ρ0=1.225kg/m³,p0=101325Pa(760mmHg)。2、对流层：从海平面到海拔11km的高空为对流层。对流层大气温度的变化：海拔高度每增加1000m，大气温度降低6.5度，即T=T0-0.0065z=T0-βZ大气服从状态方程：p=ρRT2、同温层：从海拔11km到25km的高空为同温层。同温层中，大气的温度保持不变。为：)(5.216110000065.028801KZβTT4、电离层：9海拔25km以上的高空为电离层。二．对流层的压强分布：)(dzfdyfdxfρdzzpdyypdxxpdpzyxgdzRTpgdzρdpzzβTT0065.02880又zppzTdzRgpdp000065.00取：g=9.807m/s²，=0.0065K/m，R=287N•m/Kg•K，T0=288K。则：2565.5004430811zzTppRg§2-6静止液体作用在平面上的合力确定液体作用在平面上的总压力的大小、方向和作用点。一.解析法：1.合力的大小：dAθyγpdAdFdAθyγhγpdAsinsin上液体作用的合力为：上的相对压强：AhγAyθγydAθγdAθyγdFFccAAAsinsinsin平面所受的液体总压力的大小F，等于平面形心处的压强乘以平面的面积。上式的应用条件：1）常密度液体；2）质量力仅为重力；3）液体表面相对压强为零；4）受压面只有一侧有液体。2.合力的方向：10合力的方向为受压面的内法向。3.合力的作用点(即压力中心)D：由于工程实际中的受压面都是轴对称平面，合力的作用点(即压力中心）D必在对称轴上，只需yD即可确定D点的位置。方法：合力矩定理：AAADdAyθγdAθyγyydFyF2sinsin轴的惯性矩。为受压面对令：oxdAyJAx2AyθγFcsin因：xDcJθγyAyθγsinsin故：AyJycxDAyJJccxx2又：AyJyyccxcD故：4.两种对称平面图形的Jcx之值：1).矩形平板：122322/02bhbdyydAyJhAcx2).园形平板：442rπdAyJAcx二.图解法：主要适用于矩形受压平面，利用受压面的相对压强分布图来求解。11由水静力学基本方程知：受压平面上的相对压强呈线性分布。1).合力F的大小等于压强分布体的体积，即F=•b；2).合力F的方向为垂直指向受压面；3).合力F的作用线通过压强分布体的形心，作用线与受压面的交点即为D点。例4：已知：一块平板宽为B，长为L，倾角，顶端与水面平齐。求：总压力及作用点。解：总压力：LBθLγAhγFc2sin压力中心D：方法一：dAθyγyydFdMsin3sinsinsin3022LBθγBdyyθγdAyθγMLADFyMLFMyD32/方法二：62212123LLBLLBLLAyJyyccxcD例5：如图：已知一平板，长L，宽B，安装于斜壁面上，可绕A转动。已知L，B，L1，θ。求：启动平板闸门所需的提升力F。（书上P35的例2-6）解：BLθgLρfsin211BLθgLρfsin1212LfLfθFL212132cos闸门启动时，有：212132cos1ffθF例6：平板AB,可绕A转动。长L=2m，宽b=1m,θ=60°，H1=1.2m，H2=3m。为保证平板不能自转，求自重G。（书上P35~36的例2-7）解：NθHbgHρF8153sin21111NbLθgLρF16986sin212NbLθLHgρF24870)sin(2302132sin3cos23211LFLFθHLFθLG要平板不能自转，则：NG69954例7：与水平面成45°倾角的矩形闸门AB(图1)，宽1m，左侧水深h1=3m，右侧水深h2=2m，试用图解法求作用在闸门上的静水总压力的大小和作用点。解：如图2所示，作出闸门两侧的静水压强分布图，并将其合成。AEhhmEBhm122451451414452452828sinsin.()sinsin.()°°°°图113PbhhAEbKNADAEm111211212983214141693232314140943().()..()..()PbhhBEbKN22129832282812771