罗尔中值定理

一、罗尔中值定理引理(费马):设y=f(x)在开区间(a,b)内有定义.在x0(a,b)处取得最大值(最小值),且f(x)在x0处可导,则f'(x0)=0.证:因f(x)在x0处可导..),()()(lim0000存在故xfxxfxxfx§4－5微分中值定理xxfxxfxxfxxfxx)()(lim)()(lim000000从而)(0xf设f(x0)为f(x)在开区间(a,b)内的最大值,即,x(a,b),有f(x)f(x0).故当|x|充分小时,有x0+x(a,b),从而f(x0+x)–f(x0)0因x0(a,b),(1)当x0时,,0)()(00xxfxxf由保号性定理,.0)()(lim)(0000xxfxxfxfx令x0+,(2)当x0时,,0)()(00xxfxxf由保号性定理,.0)()(lim)(0000xxfxxfxfx令x0–,综合(1),(2)有0f'(x0)0,故f'(x0)=0,类似可证f(x)在x0取最小值的情形.注1.因f'(x0)表示曲线y=f(x)上点M(x0,f(x0))处切线斜率.而f'(x0)=0表示该点处切线斜率为0.因此,引理在几何上表示:若y=f(x)在(a,b)内部某点x0处取最大(小)值,且在x0可导,则在M(x0,f(x0))处的切线平行于x轴.如图bMax0yx0Mx0y=f(x)注2.若f(x)在区间[a,b]的端点a(或b)处取得最大(小)值.不能保证f'(a)(或f'(b))=0.即,在端点M(a,f(a))或M(b,f(b))处切线不一定平行于x轴.如图.0abxyy=f(x)定理1.(罗尔中值定理).若y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b).则在(a,b)内至少存在一点,使得f.证:因f(x)在[a,b]上连续,从而可取得最大值M=f(x0)和最小值m=f(x1).其中,x0,x1[a,b](1)若m=M,因mf(x)M.即,Mf(x)M,所以f(x)=M.有f'x,故(a,b)有f'.(2)若mM,因f(a)=f(b).故在m,M中必至少有一个不等于f(a)(=f(b)),由引理,f'x0,记x0,即(a,b)使f'.不妨设M=fx0f(a)=f(b),故x0a,x0b,从而x0(a,b).bMax0yx0Mx0y=f(x)注1.几何意义:如图AB若连续曲线y=f(x)除端点外处处有不垂直于x轴的切线.且两端点的纵坐标相等.则在曲线上至少存在一点M.在M点的切线平行于x轴.也就是平行于弦AB.注2.从方程的角度看,f'表示是方程f'x的根.因此,罗尔定理的意义是若fx满足定理条件,则方程f'x在(a,b)内至少有一个根.注3.定理的条件f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,f(a)=f(b)不能减弱.否则,结论不对.比如,f(x)=|x|在[–1,1]上连续.在除x=0外的每一点x处都可导.且f(–1)=f(1),但是,不存在(–1,1),使得f'()=0.如图0xy11y=|x|例1.设函数f(x)=(x1)(x2)(x3),试判断方程f'x有几个实根,分别在何区间?解:因为f(1)=f(2)=f(3),且f(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,由罗尔定理,1(1,2),使f(1;同理,2,,使f'(2;又因f'(x是二次方程,至多两个实根,故f'(x有两个实根,分别位于(1,2)和(2,3)内.(1)修改:f(x)=(x1)(x2)(x3)(x4),结论如何?(2)修改:不解方程,问(x2)(x3)+(x1)(x3)+(x1)(x2)=0有几个实根,分别在何区间?二、拉格朗日中值定理在罗尔定理中,曲线上存在一点M,使得M点处切线平行于x轴.由于f(a)=f(b).从而该切线平行于弦AB.如果f(a)f(b),那么在曲线上是否仍然存在一点M,使得M点处切线平行于弦AB呢?定理2.若y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则至少存在一点(a,b),使得abafbff)()()(如图:分析:注意到ABKabafbf)()(因此,拉格朗日定理回答了上述问题.xyAa0BMby=f(x).)()()(abafbff要证只须证.0)()()(abafbff即.0)()()(xxabafbfxf若将括号内函数看作(x).则只须证'()=0即可.这就是罗尔定理的结论.因此,只须证明(x)满足罗尔定理条件即可.证:构造函数,令.)()()()(xabafbfxfx易见,(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.且.)()()()(,)()()()(aabafbfafababafbfbfb0)()()()()()()(ababafbfbfafab即(a)=(b).由罗尔定理,(a,b),使'.)()()(abafbff即注1.若f(a)=f(b),.0)()()(abafbff则这正是罗尔定理的结论.公式可改写为f(b)–f(a)=f'(b–a).(a,b),也可写为f(a)–f(b)=f'(a–b),(a,b),因此,以后使用这一公式时,不须考虑是ab,还是ab.但介于a,b之间.注2.若y=f(x)在[a,b]上满足拉格朗日定理条件.x(a,b),y=f(x+x)–f(x)=f'x=f'x+x)x其中|x|充分小,介于x和x之间.01.使得=x+x,.xx即如图xabx+xx注3.定理的条件f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导不能减弱.推论1.若f(x)在(a,b)内的导数恒为0,即x(a,b).有f'x=0.则f(x)在(a,b)内是一个常数.即x(a,b),f(x)=C(常数).证:取定x0(a,b).只须证明x(a,b),有f(x)=f(x0)即可.因f(x)在(a,b)内可导,从而在(a,b)内连续.故f(x)在[x0,x](a,b)(或[x,x0](a,b))上满足拉格朗日定理的条件.f(x)–f(x0)=f'(x–x0)=0,介于x和x0之间.即,x(a,b),有f(x)=f(x0)例2.)11(.2cosarcarcsinxxx证明证:记f(x)=arcsinx+arccosx.在(–1,1)内可导.且从而在(–1,1)内,f(x)=C.(常数).取x=0,得.01111)(22xxxf.220)0(fC故当–1x1时,有.2cosarcarcsinxx当x=–1或x=1时,仍然有.2cosarcarcsinxx从而,当–1x1时,有.2cosarcarcsinxx例3.设f(x)=x2+x.在[–1,1]上验证拉格朗日中值定理的正确性.解:(1)f(x)=x2+x在[–1,1]上连续,在(–1,1)内可导.(2)看是否存在(–1,1),使得f(1)–f(–1)=f'()·2即2(2+1)=2–0或4=0.=0(–1,1).故=0(–1,1),使得f(1)–f(–1)=f'()·2.例4.证明当x0时,.)1ln(1xxxx证:改写原式,.1)1ln(11xxx利用公式)()()(fabafbf证不等式时,往往要把待证式中的一部分写成的形式,以便构造函数f(x).abafbf)()(0)01ln()1ln(00)1ln()1ln(xxxxxx所以,记f(t)=ln(1+t),知f(t)在[0,x]上满足拉格朗日中值定理的条件.且0)01ln()1ln()1ln(xxxx)(f),0(,11x因)0(1111)(,111)(xxff)0(.1)1ln(11xxxx故三、柯西中值定理定理3.若f(x),g(x)都在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且g'(x)0.则至少存在一点(a,b),使得.)()()()()()(gfagbgafbf分析:若分别对f(x),g(x)用拉格朗日中值定理,可得上式左端.)()(21gf但1,2不一定相同,故不能用这一方法.,)()()()()()(gfagbgafbf要证只须证0)()()()()()(gagbgafbff即.0)()()()()()(xxgagbgafbfxf证:)()()()()()()(xgagbgafbfxfx记知(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.且)()()()()()()(bgagbgafbfbfb)()()()()()()(agagbgafbfafa从而(b)–(a)=0.由罗尔中值定理,(a,b),使'()=0,).,(.)()()()()()(,bagfagbgafbf即例5.设f(x)在(–,+)内可导.f(0)=0.证明(–,+),使得2f()·f'()=32·f2(1)证:这一类问题,往往可考虑用中值定理解决.变形..3)()(2)1(22fff注意到,xxxxfff3223,)()()(2左端,.01)0()1()1(33222fff.3)()(2)1(22fff从而,待证式为.)()(01)0()1(323322xxxfff故,记F(x)=f2(x),g(x)=x3在[0,1]上连续,在(0,1)内可导.由柯西中值定理,(0,1),使得.3)()(2)1(22fff若修改例5为:…f(0)=0,f(1)=0,证明,(–,+),使得f()·f'()=0.则可用罗尔定理证.四、泰勒中值定理在近似计算和理论分析中,对于复杂函数f(x).常希望用一个多项式P(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn来近似表示f(x).比如,当|x|很小时,ex1+x,sinx..111xnxn都是用一次函数表示函数f(x)的例子.缺陷:(1)精度不高,误差仅为o(x)(2)没有误差估计式.从几何上看,缺陷(1)是由于我们在x=0附近用直线代替曲线,精度当然不高.能否改用二次曲线,三次曲线,…,代替?精度是否能提高,或者说,曲线的吻合程度是否会更好些呢?y=ex–1y=1+x2211xxy看图.1x0y21我们要解决的问题是:设f(x)在x=x0的某邻域内有直到n+1阶导数.(1)试求一个关于x–x0的n次多项式Pn(x)=a0+a1(x–x0)+a2(x–x0)2+…+an(x–x0)n使Pn(x)能在x0的附近近似表示f(x).即,f(x)和Pn(x)在x=x0处的函数值以及k阶(kn)导数值都相等.即,f(x0)=Pn(x0),f'(x0)=P'n(x0),f''(x0)=P''n(x0),…f(n)(x0)=P(n)n(x0).(2)误差f(x)–Pn(x)的表达式.首先解决问题(1),即设f(x)在x=x0的某邻域U(x0)内有直到n+1阶导数.求Pn(x)=a0+a1(x–x0)+a2(x–x0)2+…+an(x–x0)n.满足f(x0)=