第三章 随机变量的数字特征(概率论与数理统计课件-复旦大学)

§1数学期望第三章随机变量的数字特征解：算法一：8047039037524332平均成绩＝算法二：＝79.1743328070907512121212＝8070907578754.平均成绩＝＝1奖学金的评定数学经济英语政治学分4332成绩80709075平均成绩例是多少？1122nnmxmxmxN平均解：数...12n12nmmmxxxNNN...＝当试验次数N很大时，iiimxpN接近于＝发生的概率因此，平均值＝x1p1+…+xnpn12n12n12nNxxxmmmmmmN2进行次独立试验，频数其例中求的平均数。.........,kkkkk11Pxpk12xp定义离散型随机变量有概率函数。若级数绝对收敛，则称级数的和为的数学期望，简称期望或均值。(),(,,...)kkk1Exp记为的概率解：分布表为E01p1p()=p01E3若服从分布，求例。01P1ppE=10.4+20.1+30解：.5=2.1E10120630322....多次射击后，平均得分分别是2.1与2.2乙的技术较好。4甲乙两射手在一次射击中得分为甲123P0.40.10.5乙123P0.10.60.3比较甲、乙两例射手的技术。产品的产值是一个随解：机变量，E60.75.40.150.140.0600.045.48故产品的等级是随机变量E10720130140065004164......例5一批产品有一、二、三等品，等外品及废品5种，相应的概率分别为0.7，0.1，0.1，0.06及0.04。若其产值分别为6元，5.4元，5元，4元及0元。求产品的平均产值。654540P070101006004......12345P070101006004.....k1k1Ek(1p)p解：k1k1pk(1p)k1k1kx由于'kk1x'x1x21(1x)k12k11k(1p)p故1Ep射击命中率为0.2，平均要5次才能击中目标。若买彩票中大奖的概率为10-6则平均要买一百万张彩票才会中到大奖。6k-1设服从几何分布，P(=k)=(1-p)p,(k=1,2,...),求E例2(x),x(x)dxEx(x)dx+-定义设连续型随机变量的概率密度若积分绝对收敛，则称为的数学期望。1axbba0(：x=其它解):Ex(x)dx故ba1xdxbaab27服从区间a，b上的均匀分布，求E例。sinx0x(x)20E设其它例求8。:+-E=x(x)dx解：20xsinxdx20xdcosx2200xcosxcosxdx200sinx=1+-E=x(x)dx解：2x02xedx2x0xde2x2x00xeedx2x010e2122x2ex0(x)0x09设例求E:§2数学期望的性质(1)Ec=cP(=证：c)=1Ec1c故(2)E(c)Ecc:证令kkk(xc)p离散时，E=kkkkkxpcpEc(x)(xc)连续时，Ex(x)dxx(xc)dx令x-c=tE(tc)(t)dtt(t)dtc(t)dtEc(3)E(c)cEc0c(1)时是常数，由证：得证。c0时，若是离散的，=cEkkk(cx)pkkkcxpcEc(2)连续时，要求出的概率密度，与类似。(4)E(a+b)=aE+bE(ab)证：E(a)baEb(5)E()EE可推广为12n12nE(...)EE...E特别地，n个随机变量的平均值仍是随机变量。nniii1i111EEnn(6)EE()EE若与独立，则1n...也可推广到，，相互独立时，1n12nE(...)EE...E(7)f()设kk离散时，若P(=x)=p,(k=1,2,...)kkkEEf()f(x)p则,(x)连续时若:EEf()f(x)(x)dx则f(,)(8)设ijijP(x,y)p离散时，若ijiji,jEEf(,)f(x,y)p则(,)(x,y)连续时，若:EEf(,)f(x,y)(x,y)dxdy则解：E106203301...=1.5E103207..=1.7由性质(5)及(6)EEE()=1.5+1.7=3.2EEE()1517..=2.55PP0.30.7E()E()1已知与相互独立，且分布表为123120.60.30.1求与例22Exxdx解：()120x2xdx1302xdx1210Ex2xdx注意：232EEE因为与是不独立的。22x0x1x0E2已知其它例求():10x220(x)=其它解：由性质(7)E313x1xdx()()()2013x1dx2()22013xx22=4由于E=1E313E1()故311=4032设是区间上的均匀分布，求E(31)。例+[,]解：由性质(8)E()1001().1102().1303().2002().2101().2301().=2.9E()1001.1102.1303.2002.2101.2301.=1.9EE4已知的联合分布表为01310.10.20.320.20.10.1求与例(,)()()ii设表示第名射手所需解：子弹数目。99ii=1表示名射手所需子弹数目，则＝i故E=10.8+20.16+30.04＝1.24由性质(5)9ii1EE19E9124.=11.16119E9E9ii=1注意：若由＝得出是错的。9i1i19因为例5有一队射手共9人，技术不相上下，每人中靶概率均为0.8。进行射击，各自打中靶为止，但限制每人最多只打3次，问他们平均需要多少发子弹？i123P08016004...ii用表示售出第张彩票的解：收入，则6i6611E212101010可见＝11n总收入=＋...1n1EEEnE=...6n410=时，66E4101410例6发行福利彩票，为简化，假定只有一种奖，即百万大奖。中奖率为百万分之一。若售出4百万张彩票，每张彩票2元，问可以筹集到多少福利资金？6i66221011P11010解：为简便，假定硬币都是一元的。iE10999a100010001a1().()..i0赌场设立奖金时，希望E从而a1000nii1n若有人次参赌，总所得nii1EE1nE=n(0.001a-1)例7赌场设立一台老虎机，投一枚硬币进去，若出现特殊图案，可以获得很多硬币。若出现特殊图案的可能性为0.001，奖金应设为多少？iia用表示第名赌客的所得，奖金设为元。i1a1P09990001..ii表示公司从第个参保者身上解：所得收益。iE0,公司期望获益即iEa1pabp()()＝＝a-bp0abp因此例8保险公司设立汽车盗窃险，经统计调查，一年内汽车的失窃率为p。参保者交保险费a元，若汽车被盗，公司赔偿b元。b应如何定才能使公司期望获益？若有N个人参保，公司可期望获益多少？iaabP1ppn若有个人参保，获益元。nii=1＝nii1EE1nE=n(a-bp)保险公司按以上策略经营，很可能破产！有两种原因：(1)投保者是相对不安全地区的车主。——信息不对称(2)投保者会放松对车的看管。——道德风险它们使投保者中车辆的失窃率p大大提高。12E1(|)故21013313只要能够写出条件概率分布，条件期望的计算与无条件期望相同。§3条件期望例1两封信随机往编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的四个邮筒内投，ξi表示i个邮筒内信的数目(i=1,2)。求第二个邮筒内有一封信的条件下第一个邮筒内信的数目的平均值。1120121P133解：(|)解：首先求出边缘概率表013101020320201021E32已知的联合分布表为例求及E()(,)......(|)|12P0604..013P030304...3时的条件分布为1243故E(|=3)=1454＝2＝时的条件分布为113E2013244(|)故=11231Pk344(|)013111Pk|2244()i,xi对于二元离散型随机变量()，在＝x的条件下，求的数学期望，称为给定＝时的条件期望。iEx(|)记作ijjijExyPyx(|)(|)ijj1jipyp()类似地jiijiEyxPxy(|)(|)iji2ijpxp()对于二元连续型随机变量。Exyyxdy(|)(|)Eyxxydx(|)(|)11axbxba0其它解：()11cydxyyxdcx0(,)(|)()其它dc1Exydydc(|)cd2其含义见右图1axbcydbadcxy03Ex例已知其它求,()()(,)(,)(|):daxbc§4方差、协方差(一)方差的概念188599510P0202020202.......2858899295P0202020202.........两者的平均长度是相同的，均为9第二批零件更好。因为它的误差相对较小。例1两批零件的长度有如下的分布律11012012012512512513013513514090100120125130130135140145145第一批第二批平均抗拉强度都是126若最低抗拉强度要求为110，第二批质量较差。在平均值或期望值相同的情况下，随机变量的离散程度也是分布的一个特征。E一般考虑随机变量对的偏离程度。例2有两批钢筋，每批10根，它们的抗拉强度指标如下：1EE定义如果随机变量的数学期望存在，称为随机变量的离差。EE0()由于2EE()改用来衡量与的偏差。22定义随机变量离差平方的数学期望，称为随机变量的方差，记作D或。2DEE()在实际问题中，由于数据单位的要求。D一般用衡量离散程度。()称之为的标准差或根方差。随机变量的方差是一个非负数。E取值密集在附近时，方差较小。E取值与较分散时，方差较大。若时离散型随机变量，kkPxpk12()(,,...)2kkkDxEp()若是连续型随机变量，x()概率密度为2DxExdx()()12已知E=E解：=9222122D89028590299029590210902().(.)