22745-第5章一阶动态电路

第5章一阶动态电路•前面各章所讨论的是电阻电路的分析方法。•电阻电路是用代数方程来描述的。•实际上，许多实际电路不能仅用电阻电路来描述，在模型中往往不可避免地要包含电容元件和电感元件。•这两种元件的伏安关系都要通过电流、电压的微分或积分表达，我们称这种元件为动态元件。•电路中至少包含一个动态元件的电路称为动态电路。•任何一个电路不是电阻电路便是动态电路。•动态电路在任一时刻的响应与激励的全部过去历史有关，这与电阻电路完全不同。•也就是说动态电路是“有记忆”的。•本章将介绍电容元件和电感元件的定义、伏安关系。•一阶电路的零输入响应、零状态响应、全响应和一阶电路的三要素法。电容元件及其伏安关系5.1电感元件5.2动态电路的基本概念5.3一阶电路的零输入响应5.4一阶电路的零状态响应5.5一阶电路的全响应5.6一阶电路的三要素法5.75.1电容元件及其伏安关系5.1.1电容元件•电容器是电子设备中常用的元件之一，在调谐、耦合、滤波、脉冲等电路中常用到。•它的基本结构是用两块导体做极板，中间隔以电介质（如云母、绝缘纸、电解质等）组成。•电容器加上电源后，极板上分别聚集起等量异号电荷，在介质中建立起电场，并储存电场能量。•当电源断开后，电荷在一段时间仍继续聚集在极板上，内部电场继续存在，所以电容器是一种能够储存电场能量的元件。•在实际电容器中，电容器上电压的变化，引起介质极化程度的变化，使介质有一定的介质损耗；同时介质也不可能完全绝缘，多少还有一些漏电流。•质量优良的电容器，其介质损耗和漏电流都很小，可以忽略不计。•电容元件就是反映实际电容器这种物理现象的电路模型。•这样就可以用一个仅储存电场能量的理想元件即电容元件作为它的模型。电容元件的符号如图5-1-1所示。图5-1-1电容元件的图形符号•电容元件的定义如下：一个二端元件，如果在任一时刻，它的电荷q同它两端电压u之间的关系可以用u—q平面上的一条明确的曲线来确定，则此二端元件称为电容元件。•式中C是电容元件的参数，称为电容。•在国际单位制中，电容的单位为F（法拉，简称法）。()()qtCut•由于法拉这个单位太大，实际中常用微法（F）与皮法（pF）作为电容的计算单位。1F=10−6F1pF=10−12F•如果u—q平面上的特性曲线是一条通过原点的直线，如图5-1-2所示，则此电容元件称为线性电容元件。图5-1-2线性电容元件的库伏特性•我们常常将电容元件简称为电容，这样电容既代表一种元件的名称，同时也代表该元件的参数。5.1.2电容元件的伏安关系•电容元件上的伏安关系，即电压与电流的关系，在电路分析中是十分有用的，当电容两端的电压发生变化时，极板上的电荷也发生相应的变化，这时电容所在的电路中就有电荷的定向移动，形成了电流。•在图5-1-3中，选定电容上的电压uC与电路电流i的参考方向一致，电容电路中的电流为dd()d()dddqCututiCttt图5-1-3电容上电压与电流•式（5-1-2）表明，在某一时刻电容的电流取决于该时刻电容电压的变化率，而与该时刻的电容电压无关。•如果电压不变，那么，虽然有电压，电流也为零。Cd0dut•故电容在直流情况下其两端电压恒定，相当于开路，或者说电容有隔断直流（简称隔直）的作用。•电容电压变化越快，即越大，电流也越大。•该公式是分析线性电容的基本公式。•它是以电容电压与电流的参考方向一致为前提的。Cddut•若电压与电流的参考方向不一致，则。CdduiCt•假定时间的起始时刻为−∞，并且此时电容无电荷存储，由式（5-1-2）可得表达式为•表明电容的电压与以前所有时刻流过电容的电流有关。1()()dtutiC∞•时刻t0以后电容上电压与电流关系为000011()()d()d()1=()+()dtttutiiCCutiC∞•例5-1-1如图5-1-4（a）所示，电容与一电流源相接，电流源的波形如图5-1-4（b）所示，试求电容电压。•设u(0)=0。图5-1-4例5-1-1的图图5-1-5电压波形图5.1.3电容元件的储能1．瞬时功率•若电压和电流都是随时间变化的，则算得的功率也是随时间变化的。•则称每一瞬间的功率为瞬时功率，用符号p表示，当电容电压与电流的参考方向一致时，则CCCddupuiCut•当电容的功率为正值时，说明电容吸收功率或消耗功率，当电容的功率为负值时，说明电容提供或放出功率。2．电容的储能•电容元件所存储的能量为它从−∞到t时刻所吸收的能量。()22()11()d()()()22utuCuuCutCu∞∞Cd()()()d()()ddttuWuiCui∞∞•电容元件吸收的能量以电场能的形式储存在元件中。•若认为t=−∞时，u(−∞)=0，电容元件在任何时刻t储存的电场能量WC(t)将等于它吸收的能量，可写为2C1()()2WtCut•此式表明电容的能量总为正，但有时增加，有时减少。•电场能量的单位为焦耳，以J表示。Cd()()dwtptt＞0电容不断储能＜0电容向外电路释放能量•设时间从t1到t2对电容C充电，电容电压为u(t)，电流为i(t)，则在此期间电容元件吸收的能量为222111()C12()d(,)()ddddttutttutuWttpCuCuu22211[()()]2Cutut•由式（5-1-5）可知：在t1到t2期间电容储存或释放的能量只与t1、t2时刻的电压值有关，而与此期间内的其他电压值无关。•电容元件充电时，|u(t2)|＞|u(t1)|，WC(t2)＞WC(t1)，故在此时间内元件吸收能量；电容元件放电时，WC(t2)＜WC(t1)，元件释放能量。•若元件原来没有充电，则在充电时吸收并储存起来的能量一定又在放电完毕时全部释放，它不消耗能量。•所以，电容元件是一种储能元件。•同时，由公式可知WC(t)≥0，电容元件不会释放出多于它吸收或储存的能量，所以它又是一种无源元件。5.1.4电容的串联和并联•为了满足所需要的电容量和工作电压，常常将不同容量和不同额定电压的电容组合起来使用。1．电容的并联•图5-1-6所示为3个电容元件的并联情况，即所有电容处在同一电压U之下。•各电容极板上的电量为图5-1-6电容的并联•电源供给极板上的总电量为。•根据等效条件，如果有一电容在同样电压之下，所充电量为，那么此电容为3个并联电容的等效电容。123qqq123qqqq即123312123qqqqqqqCCCCuuuuu123CCCC•几个电容并联时其等效电容等于各个电容之和。•电容并联时相当于极板面积的增大，所以增大了电容。•因为并联使用的电容，它们的工作电压相等，所以外加的工作电压应该等于其中耐压最小的工作电压。2．电容的串联•图5-1-7所示为3个电容相串联的情况。•因为只有最外面两块极板与电源连接，电源对这两极板充以相等的异号电荷，中间极板上因静电感应也出现等量异号电荷。图5-1-7电容的串联根据KVL，而每个电容上的电压为故123uuuu123qqquCCC根据等效条件，等效电容上的电压为所以得quC123qqqqCCCC1231111CCCC•即电容串联时的等效电容的倒数等于各电容倒数之和。•电容串联时，其等效电容比每一个电容都小。•因为电容串联时相当于加大了极板间的距离，从而减少了电容。•当每个电容的额定电压小于外加电压时，可将电容串联使用。•电容串联使用时，由每个电容上的电压可推出：123123111::::uuuCCC•电容串联时，各电容的电压与电容成反比，即电容小的所承受的电压高些，这一点在工作中应该特别注意。•在工作实践中为了获得所需要的电容和耐压，常常采用既有并联、又有串联的混联接法。•例5-1-2有两只电容器，，，耐压分别为450V及250V。•求（1）并联使用时的等效电容及工作电压；（2）串联使用时的等效电容及允许的端电压。1250μFC250μFC•例5-1-33只电容器连接如图5-1-8所示，其中，。•它们的耐压都是50V。•求（1）等效电容；（2）它们总的端电压u不能超过多少。1100μFC2350μFCC图5-1-8例5-1-3的图5.2电感元件5.2.1电感元件•电感元件是实际电感器的理想模型。•将一根导线绕成线圈，当线圈内的电流发生变化时，就会引起其磁通量的变化，使线圈周围建立磁场，储存磁场能量。•若磁通与线圈匝相交链时，形成磁链Ψ。•图5-2-1所示为一个线圈，其中的电流i产生的磁通Φ与N匝线圈交链，则磁链为Ψ=NΦ。图5-2-1电感线圈•不考虑其他作用，只体现能够建立磁场、储存磁能这一物理特性的电路模型就是电路理论中的电感元件，简称为电感。•定义：一个二端元件，如果在任一时刻，它的电流i同它的磁通链之间的关系可以用平面上的一条曲线来确定，则此二端元件称为电感元件。•电流i同电感磁链Ψ的关系为()()ΨtLit•式中，L是电感元件的参数，称为电感，电感的单位为H（亨利，简称亨）。•在电子技术中，常采用较小的单位，如mH（毫亨）和H（微亨）。图5-2-2电感元件的符号图5-2-3线性电感元件的韦安特性图5-2-4实际电感器模型5.2.2电感元件的伏安特性•电感元件虽然是根据Ψ−i关系来定义的，但在电路分析中常常使用其伏安特性。•如果通过电感的电流随时间变化，磁链也相应地跟随变化，根据电磁感应定律，线圈两端产生感应电压，如果通过电感的电流不变化，磁链也不发生变化，虽有电流却没有电压。•当电压与磁链参考方向符合右手螺旋法则时，则ddut•将式（5-2-2）代入式（5-2-1）可得电感上电压、电流符合关联参考方向。d()()ditutLtd()()ditutLt•式（5-2-3）表明，在某一时刻电感的电压取决于该时刻电感电流的变化率，而与该时刻的电感电流无关。•如果电流不变，那么，虽然有电流，电压也为零。d()0ditt•故电感在直流情况下其两端电压为零，相当于短路，或者说电感有通直流的作用。•电感电流变化越快，即越大，电感电压也越大。•该公式是分析线性电感的基本公式。•它是以电感电压与电流的参考方向一致为前提的。d()ditt•若电感电压、电流是非关联参考方向，则关系式前要加负号，即d()()ditutLt•对式（5-2-3）积分，则电感电流i可表示为电压u的函数，即1()()dtituL∞•表明，某一时刻t的电感电压不仅取决于该时刻的电压值，还取决于t之前，从−∞到t的所有时间里的电压值，因此，电感电流能记忆电压的历史，电感元件也是个记忆元件。5.2.3电感的储能•当电感电流、电压为关联参考方向时，任一时刻电感吸收的瞬时功率为()()putit•其中p(t)表示瞬时功率，当p＞0时，电感吸收能量，当p＜0时，电感释放能量。•从t=−∞到t时刻，电感吸收的磁场能量为•由于t→−∞时，i(−∞)=0，所以21()()2wtLit•上式表明，当线圈通有电流时，线圈中就要储存磁场能量，通过线圈的电流越大，储存的能量也越多，通电线圈从外界吸收能量；在通有相同电流的线圈中，电感越大的线圈，储存的能量越多，因此，线圈的电感就反映它储存磁场能量的能力。•从时间t0到t1，线性电感元件吸收的磁场能量为L01L1L0(,)()()WttWtWt•电感元件不消耗能量，所以说电感元件仅是储能元件。•它也不会释放出多于所吸收或储存的能量，是一种无源元件。5.2.4电感元件的串联、并联1．电感的串联•若有几个电感串联，如图5-2-5所示，根据KVL，总电压为•其中，为等效电感，是各串联电感的总和。S12nLLLL图5-2-5电感元件的串联2．电感的并联•若有几个电感并联，如图5-2-6所示，根据KCL，总电流为图5-2-6电感元件的并联•其中，为等效电路电感的初始电流，是各并联电感初始电流的代数和。12(0)(0)(0)(0)niiiip121