力学10-转动定律,转动惯量,刚体绕定轴转动中的功、能量、功能关系

2020/1/231第五章刚体力学基础动量矩二、刚体定轴转动的微分方程OiriFifiiiiFfma取一质量元iiiiFfma切线方向2sinsiniiiiiiFrfrmr对整个刚体2sinsin()iiiiiiFrfrmr合内力矩=0合外力矩MimsinsiniiiiFfmr两边同乘ir2()iiiMmr外2iimrJ令（刚体对z轴的转动惯量）zzzMJ——刚体定轴转动定律2020/1/232第五章刚体力学基础动量矩zzzMJ刚体在总外力矩Mz的作用下，获得的角加速度β与总外力矩的大小成正比，与J成反比。讨论(1)刚体定轴转动动力学中的基本方程，是力矩的瞬时作用规律。(2)M、J、β必须对同一转轴定义。(5)与牛顿定律比较：amJFM,,(3)M正比于，力矩越大，刚体的越大。(4)力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同。转动惯量J反映了刚体转动时惯性的大小。2020/1/233第五章刚体力学基础动量矩三、转动惯量2iirmJ定义式质量不连续分布质量连续分布三个要素:(1)总质量(2)质量分布(3)转轴的位置(1)J与刚体的总质量有关例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量LzOxdxM2020231ddMLxLMxxxJLL木铁JJ•22ddJrmrV2020/1/234第五章刚体力学基础动量矩(2)J与质量分布有关例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量dlORLlRmRJπ20202dd23π202π2π2dmRRmRlRRmROmrdrd2πdSrrddmSRmRmrrRmmrJ0232022d2drRmrrrRmd2dπ2π22R2020/1/235第五章刚体力学基础动量矩OLxdxMz20231dMLxxJLLOxdxM2222121dMLxxJ/L/L四.平行轴定理及垂直轴定理zLCMz'2MLJJz'zz(3)J与转轴的位置有关1.平行轴定理'zJzJL:刚体绕任意轴的转动惯量:刚体绕通过质心的轴:两轴间垂直距离2020/1/236第五章刚体力学基础动量矩2121ML/Jz22123ZZLJJMML例均匀细棒的转动惯量2.(薄板)垂直轴定理yxzJJJzMLz例如求对圆盘的一条直径的转动惯量221mRJzyxzJJJyxJJ已知241mRJJyxyxz圆盘RCmx,y轴在薄板内；z轴垂直薄板。zxy2020/1/237第五章刚体力学基础动量矩五、转动定律的应用解题思路：确定研究对象分析运动状态隔离分析受力由牛顿定律列方程求解方程隔离分析力矩由转动定律列方程2020/1/238第五章刚体力学基础动量矩例求它由此下摆角时的OlmCx解mxggmxMdd取一质元CmxmxdCmgxM重力对整个棒的合力矩等于重力全部集中于质心所产生的力矩dmcos21mglMlgmlmglJM2cos33cos212tωddddmgθωlg00d2cos3dlgsin3一根长为l，质量为m的均匀细直棒，可绕轴O在竖直平面内转动，初始时它在水平位置2020/1/239第五章刚体力学基础动量矩例解若F＝2N，mg＝2N，相同的轮子，二轮的β相同吗？(1)分析受力mgTTmgTma1MTR1MmgR1()2MmgmaRRmaR(2)分析受力F22MFRR21MM212020/1/2310第五章刚体力学基础动量矩例已知:定滑轮解受力图RM轻绳不伸长无相对滑动求1）物体加速度a2）绳子的张力T3)滑轮转动的角加速度β1T1mg2Ta21TRTRJ222mgTma1m2m21mm设2T2mga111Tmgma1TaR得解212JMR2020/1/2311第五章刚体力学基础动量矩例如图，轮轴绕O轴转动。轮（R，J2），轴（r，J1），通过绳分别挂着m1，m2，求转动时轮轴的角加速度β解m2m1oRr规定正方向（顺时针为正）＋转动部分（轮＋轴）2mg1mg1T2T2112()TRTrJJ平动部分（m1、m2）①⑤2222mgTma1111Tmgma②③角量与线量的关系1ar2aR④五式联立，可解T1，T2，a1，a2，β2020/1/2312第五章刚体力学基础动量矩力的瞬时作用规律力矩的瞬时作用规律FmaMJ0F静止匀速直线0M静止匀角速转动m—平动时惯性大小的量度J—转动时惯性大小的量度总结力的持续作用规律：空间：22011d22Frmm时间：0dFtmm力矩的持续作用规律：空间：d?M时间：d?Mt2020/1/2313第五章刚体力学基础动量矩§5-3绕定轴转动刚体的动能动能定理一.转动动能zOirivim设系统包括有N个质量元,其动能为im221iikimEv2221iirm2221iikikrmEE刚体的总动能2221iirm221JP•绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半。结论取212m2020/1/2314第五章刚体力学基础动量矩二.力矩的功OrF'rrdd由功的定义ddAFrsindFrdrF——力矩作功的微分形式若刚体在外力F作用下，角坐标从θ1→θ221dMA若M=C)(12MAPdM——力矩作功的积分形式sindFs2020/1/2315第五章刚体力学基础动量矩讨论(2)合力矩的功iiiiiiAMMA2121dd(1)力矩对刚体的功就是力对刚体的功。(3)一对内力矩对刚体作功之和为零（平动中，一对内力作功之和一般不为零。）(4)力矩的瞬时功率ddddAMPMtt力的瞬时功率PF(5)功的正负M与同向，A0M与反向，A02020/1/2316第五章刚体力学基础动量矩三.定轴转动的动能定理MJddJt对于整个运动过程2211ddMJ22211122AJJkE在任一过程中作用在绕定轴转动刚体上所有外力矩所作功的总和，等于在该过程中刚体动能的增量。——绕定轴转动刚体的动能定理——力矩的持续作用规律设刚体在外力矩M作用下，角坐标由θ1→θ2，角速度ω1→ω2，由刚体转动定理：ddMJ2020/1/2317第五章刚体力学基础动量矩四.刚体的重力势能CmghJE221iipghmECiimghmhmmg刚体的机械能质心的势能对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立。ch0PECimih结论：刚体的重力势能即刚体的全部质量集中在质心上相对于势能零点具有的势能。2020/1/2318第五章刚体力学基础动量矩一根长为l，质量为m的均匀细直棒，可绕轴O在竖直平面内转动，棒在水平位置由静止释放，解一cos21mglM00dcos2dmglMA动能定理0212J0sin2lmglgsin32231mlJ21)sin3(/lgOlmCxmg例求细棒下摆至θ时的ω合外力矩+2020/1/2319第五章刚体力学基础动量矩OlmCxmg+解二功能原理研究对象：细棒＋轴＋地球∴系统机械能E守恒取O点所在位置为重力势能零点状态1：状态2：00(sin)2lmg212J211sin022Jmgl233sinsinsinmglmglgJlml213Jml2020/1/2320第五章刚体力学基础动量矩OlmCxmg+解三转动定律研究对象：细棒合外力矩：cos21mglMMJ21cos32cos123mglglmld3cosd2gtl3dcosd2gl00231sin22gl3singl2020/1/2321第五章刚体力学基础动量矩均质圆盘（M，R）系一质量为m的物体，在重力矩作用下加速运动。开始时系统处于静止。求物体下降距离为s时，滑轮的ω和β。解一例RMm转动定律+M转动：MgTmgT'212TRJMRm平动：mgTmaaR2(2)mgmMR22022sR222mgssRRmMT1（常量）2020/1/2322第五章刚体力学基础动量矩解二RMm动能定理+MgTmgT'T1研究对象：M＋m（转动＋平动）kAAE外内＝AAmgs外内221122kEmJ22221124mRMR22mgsRmM（并非匀速）ddt21d2d2mgsRmMts2(2)mgmMR2020/1/2323第五章刚体力学基础动量矩解三RMm功能原理+MgTmgT'T1研究对象：M＋m＋地球AAE外非内＝∴系统机械能守恒取m下落s处为重力势能零点msEP＝0状态1：状态2：PMEmgs221122PMmJE212JMRR22mgsRmM2(2)mgmMR2020/1/2324第五章刚体力学基础动量矩图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体A装在转动架上，转轴Z上装一半径为r的轻鼓轮，绳的一端缠绕在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为m的重物。重物下落时，由绳带动被测物体A绕Z轴转动。今测得重物由静止下落一段距离h，所用时间为t，例解01PE01kE22222/J/mEZkv)2()(222r/JmrZv分析（机械能）：mghEP2求物体A对Z轴的转动惯量JZ。设绳子不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴处的摩擦力矩忽略不计。2020/1/2325第五章刚体力学基础动量矩)(2222ZJmrrmghv)(21dd2dd22ZJmrrtthmgvvatthddddvv，)12(22hgtmrJZ22222121tJmrmgrathZ常量ZJmrmgra220)2()(222r/JmrmghZv机械能守恒