3.2微分方程的经典求解方法

稳态响应正弦输入多项式输入第二节微分方程的经典求法稳态响应：正弦输入输入量r假设为：)cos(tBr待解的微分方程具有如下形式rcDAcDAcDAcDAcDAwwvvvv110011利用欧拉恒等式，可得cos()Re()Re(e)jjtjtrBtBeeB()cos()Re()Re()jjtjtssctCtCeeeC响应函数c(t)将具有如下形式c(t)ss的n阶微分为])Re[()(tjnssnejtcDC矢量)(21sin);(21costjtjtjtjeejteet2cossinjtetjt3()Re[()]nnjtssDctjeC101101Re(e)vvwjtvvwADcADcADcADcADcB11101()()()()vvwvvwAjAjAAjAjBC求解C)cos()Re()(tetctjssCC时间响应为：方程两边消去tjew为积分的最高阶次稳态响应稳态响应：正弦输入4当输入为正弦信号时，x=Xsint，则矢量方程为例:考虑xdDdDCLJDCKVJppmmmmB23注意，一个新词，频率传递函数G(j)，出现了。)()()()()()(23jxdjjdjjCLJjjCKVJppmmmmB矢量输出与矢量输入之比称为频率传递函数，通常用G(j)表示。考察]1))(/(]))(/)[((/)()()(2jCdLJjCdKVJjddjXjjGmmBmppm稳态响应稳态响应：正弦输入5!!2)(2210qtbtbtbbtcqqss微分方程的一般形式为!!2)(2210ktRtRtRRtrkk多项式输入信号具有幂级数形式：rcDAcDAcDAcDAcDAwwvvvv110011输入信号的最高阶项假设解与输入信号有相同的形式t0,r(t)=0稳态响应稳态响应：多项式输入6稳态响应：多项式输入系数b0,b1,……,bq可以通过令方程左右两端具有关于t的相同阶次项的相应系数相等而计算得到方程(*)右端，t的最高阶数是k，因此，tk肯定也出现在方程的左端方程左端t的最高阶数取决于最低阶微分项D-wc，并等于q加上最低阶微分项的阶数。在假设的解中，t的最高阶项的阶数是wkq0q输入信号与假设的解微分方程当方程(*)中的w=0时kqrcDAcDAcDAcDAcDAwwvvvv110011!!2)(2210ktRtRtRRtrkk!!2)(2210qtbtbtbbtcqqss稳态响应(**)(*)7阶跃函数输入信号：0)(btcss当w=0，q=k=0时00011RcDAcDAcDAvvvv0000)(ARbtcss01()()rtRut0k阶跃t)(tr00R稳态响应稳态响应：阶跃函数输入8tbbtcss10)(当w=0，q=k=1时斜坡函数输入信号：1()()rttut1ktcDAcDAcDAssssvvssvv0011t0:00011bAbAt1:110bAtAAAtcss02011)(2010110AAAbAb011Ab稳态响应稳态响应：斜坡函数输入暂态响应•经典方法•拉普拉斯变换方法10微分方程的解有两种方法求解线性微分方程的解（时间响应）第一，直接求解微分方程，分别得到方程的特解和通解，然后将两部分解相加，得到方程的全解另一种方法是利用拉普拉斯变换暂态响应11微分方程的解：经典方法线性微分方程的一般解（响应）：特解解的稳态分量：与输入有同样的形式解的暂态分量：相应齐次方程的解暂态响应的形式仅仅取决于特征方程的根通解+暂态响应12非线性微分方程的响应形式也取决于初始条件或边界条件、特征方程的根、以及稳态分量的瞬时值线性微分方程的全解（响应）：tsstctctc)()()(微分方程的解：经典方法暂态响应0110011cDbcDbcDbcDbcDbwwvvvv考察一般微分方程所对应的齐次方程：mtmteAtc)(假设方程的解有如下形式0)(011wwvvvvmtmmbbmbmbeA在任意时刻均不为零0)(011wwvvvvmbbmbmbmQ特征方程tmwvtmktmtmtwvkeAeAeAeAc2121如果所有的根mi均为单根i=1,2,…,v+w暂态响应：经典方法暂态响应13[s]ReIm解中的每一项emkt可被称为系统的一个模态如果所有的根均为单根，则方程的解具有如下形式：tmwvtmktmtmtwvkeAeAeAeAc2121C(s)的极点m可以画在S平面上。如果所有的mk0，则系统是稳定的，但即使只有一个极点mi0，则系统是不稳定的。mjmimtmteAtc)(LT()mtACssm注意：每一项0)(011wwvvvvmbbmbmbmQ对于特征方程暂态响应：经典方法暂态响应1415由于暂态解中的系数是必须由初始条件决定，因此为了确定这些系数，必须要求提供v+w个已知的初始条件注意，如果特征方程存在复根mk、mk+1（复根总是成对出现，称为共轭复根）dkkjm1,那么，响应ct=???如果存在p重根mq，则系统暂态响应将相应地包含如下形式的函数121qqqpmtmtmtpqqqAeAteAte0)(011wwvvvvmbbmbmbmQ对于特征方程暂态响应：经典方法暂态响应衰减振荡频率,有阻尼振荡频率系统暂态响应将相应地包含如下形式的函数)(1tjktjktddeAeAe)sincos(21tBtBeddt利用欧拉恒等式tjteddtjdsincos)sin(tAedt其中，2221BBA21BBarctg，tjktjkddeAeA)(1)(dkkjm1,对于共轭复根衰减系数sincoscossin)sin(2221BBA1B2B暂态响应：经典方法暂态响应16kA与是共轭复数1kA17这一项函数称为指数衰减正弦曲线，如果是负数，则函数曲线如右图所示，系统时间响应总是在包络线的两条分支之间变化。如果特征方程存在共轭复根，则系统暂态响应将包含如下图所示形式的函数只有当是负数时，系统才是稳定的；如果是正数，则系统不稳定，这是我们要避免的情况。)sin(tAedttAe（欠阻尼）（过阻尼）tAe暂态响应暂态响应：经典方法00122bmbmb阻尼比和无阻尼振荡频率n当系统特征方程的根是一对共轭复根时，方程将具有二次方程式形式0212bbb阻尼常数的临界值方程的根为djbbbbjbbm222102212,1442021112bbbbb定义阻尼比：20bbn和无阻尼振荡频率（自然频率）：令其为零系统的有效阻尼常数暂态响应181922,11nndjjm00122bmbmb用和n分析欠阻尼(01)二阶系统标准形式)1sin()sin(2tAetAentdtn系统暂态为：012112201202mmmbbmbbnn暂态响应阻尼比和无阻尼振荡频率n0222nnmm20)sin(tAedttAetAe（欠阻尼）（过阻尼）21,1nndkkjjm•n越大，则系统暂态衰减越快问题：1)当=0时，暂态响应将是如何的？当0或0时呢？2)分别当0和0时，暂态相应有什么区别？暂态响应阻尼比和无阻尼振荡频率n21当01时，系统特征方程具有共轭复根，系统暂态是如形式的衰减正弦函数，欠阻尼当1时，系统特征方程具有实根，系统响应是过阻尼当0时，系统暂态随时间衰减，响应曲线c(t)将趋向于稳态值，这意味着系统是稳定的当0时，系统暂态将随时间增加，响应是不稳定的，这意味着系统不稳定20bbn无阻尼振荡频率n定义为系统暂态持续振荡时的振荡频率，此时阻尼为零(b1=0)暂态响应阻尼比和无阻尼振荡频率nsin()tdAet思考题：给定一个二阶系统，在过阻尼情况下，1）试证明：系统的输出响应函数是单调函数；2）请问：输出曲线是否一定是单调减的？请说明原因。22时间常数定义暂态项具有指数形式Aemt，当m=-a(a0)为负实数时，Ae-at具有如图3.3所示的曲线形式（假定A=1）ImRe[s]平面m=-a图3.3指数项e–at的图形及极点在S平面中的位置时间常数T：使e的指数部分等于–1的时间值。因此有，11aTTa及时间常数定义t1.0ate0T2T0.36823t1.0ate0T2T0.368在一个时间常数所对应的时间区间内，指数函数e-at的值将从1下降至0.368从几何上看，Ae-at曲线在t=0处的切线与时间轴的相交点的值等于时间常数T00.511.522.533.544.5500.10.20.30.40.50.60.70.80.91time1et=t例：1,1aAT的图解测定时间常数定义时间常数定义24时间常数定义当m=+jd时，系统暂态响应函数为Aetsin(dt+)。对于阻尼正弦情况，时间常数通过表征包络线Aet的参数来定义。时间常数T等于tAetAe（欠阻尼）（过阻尼）)sin(tAedt21,1nndkkjjmnT11时间常数定义