新授4 解三角形应用举例

1.2.1应用举例基础知识复习1、正弦定理2、余弦定理2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC2sinsinsin()abcRABCR其中为外接圆的半径1、分析：理解题意，画出示意图2、建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中3、求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这些三角形，求得数学模型的解。4、检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。实际问题→数学问题（三角形）→数学问题的解（解三角形）→实际问题的解解斜三角形应用题的一般步骤是：:多应用实际测量中有许正弦定理和余弦定理在(1)测量距离.(2)测量高度..)3(测量角度解斜三角形中的有关名词、术语：–（1）坡度：斜面与地平面所成的角度。–（2）仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。–（3）方位角：从正北方向顺时针转到目标方向的夹角。–（4）视角：由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角:多应用实际测量中有许正弦定理和余弦定理在(1)测量距离.例1.设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55cm，∠BAC＝51o，∠ACB＝75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形sinsinABACCB＝解：根据正弦定理，得答：A,B两点间的距离为65.7米。sinsinsin55sinsinsin55sin7555sin7565.7()sin(1805175)sin54ABACACBABCACACBACBABABCABCm变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？例2.A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并且在C、D两点分别测得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ.在ADC和BDC中，应用正弦定理得计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离sin()sin()sin()sin180()sinsinsin()sin180()aaACaaBC222cosABACBCACBC变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=，ACD=，CDB=，BDA=60304560求A、B两点间距离.注：阅读教材P12，了解基线的概念练习1.一艘船以32.2nmile/hr的速度向正北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔6.5nmile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？11545sin2016.1sin207.787()sin45sin45,sin657.06()6.5ASBSBASABSBnmileSABhhSBnmilehnmile解：在中，＝，，由正弦定理得设点到直线的距离为则此船可以继续沿正北方向航行答：此船可以继续沿正北方向航行练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．（1）什么是最大仰角？最大角度最大角度最大角度最大角度（2）例题中涉及一个怎样的三角形？在△ABC中已知什么，要求什么？CAB练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．最大角度最大角度最大角度最大角度已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m，夹角∠CAB＝66°20′，求BC．解：由余弦定理，得答：顶杆BC约长1.89m。CAB222222cos1.951.4021.951.40cos66203.5711.89(m)BCABACABACABC:多应用实际测量中有许正弦定理和余弦定理在(2)测量高度.测量垂直高度1、底部可以到达的测量出角C和BC的长度，解直角三角形即可求出AB的长。..,.3的方法物高度设计一种测量建筑为建筑物的最高点不可到达的一个建筑物是底部例ABABAB图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，求什么？想一想BEAGHDC2、底部不能到达的例3AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高。由解直角三角形的知识，只要能测出一点C到建筑物的顶部A的距离CA,并测出由点C观察A的仰角，就可以计算出建筑物的高。所以应该设法借助解三角形的知识测出CA的长。BEAGHDC)sin(sinaAChahAChAEAB)sin(sinsinsin解：选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上。由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α，β，CD=a,测角仪器的高是h.那么，在ACD中，根据正弦定理可得例3.AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法BEAGHDC).1(,3.27'.150,'4054,.400mDCmBCACAB精确到求出山高部分的高为塔已知铁角处的俯处测得在塔底的俯角面上一点处测得地铁塔上在山顶如图例分析：根据已知条件，应该设法计算出AB或AC的长)(177)1504054sin(4054sin150cos3.27)sin(sincossin,''''mBCBADABBDABDRt得解CD=BD-BC≈177-27.3=150(m)答：山的高度约为150米。)sin(cos)sin()90sin(BCBCAB所以，)90sin()sin(ABBC解：在⊿ABC中，∠BCA=90°+β,∠ABC=90°-α,∠BAC=α-β,∠BAD=α.根据正弦定理，例3：如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北150的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在西偏北250的方向上,仰角为80,求此山的高度CD分析：要测出高CD,只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长。根据已知条件，可以计算出BC的长。例5一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角8°，求此山的高度CD.解：在⊿ABC中，∠A=15°,∠C=25°15°=10°.根据正弦定理，CABABCsinsin).(4524.710sin15sin5sinsinkmCAABBCCD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m)答：山的高度约为1047米。变式：某人在M汽车站的北偏西200的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公路的走向是M站的北偏东400。开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？:多应用实际测量中有许正弦定理和余弦定理在.)3(测量角度).01.0,1.0(,,.0.5432,,5.6775,,.6000nmileCACnmileBBnmileA确到距离精角度精确到需要航行多少距离航行此船应该沿怎样的方向出发到达航行直接从如果下次后到达海岛的方向航行东沿北偏出发然后从后到达海岛航行的方向沿北偏东出发一艘海轮从如图例例6一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5nmile后到达海岛B,然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0nmile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到0.1°,距离精确到0.01nmile）?解：在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，根据余弦定理，15.113137cos0.545.6720.545.67cos22222ABCBCABBCABAC练习1．如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在CB位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A处，设连杆AB长为340mm，由柄CB长为85mm，曲柄自CB按顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离）（精确到1mm）AA0已知△ABC中，BC＝85mm，AB＝340mm，∠C＝80°，求AC．解：（如图）在△ABC中，由正弦定理可得：2462.034080sin85sinsinABCBCA因为BC＜AB，所以A为锐角，A＝14°15′∴B＝180°－（A＋C）＝85°45′又由正弦定理：)(3.3449848.05485sin340sinsinmmCBABAC解题过程)(817.803.344)85340()(00mmACBCABACCAAA答：活塞移动的距离为81mm．解题过程解：如图，在△ABC中由余弦定理得：784)21(201221220cos222222BACACABABACBCA2.我舰在敌岛A南偏西50°相距12海里的B处，发现敌舰正由岛沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行．问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？CB405010∴我舰的追击速度为14海里/小时，28BC　　练习又在△ABC中由正弦定理得：1435sinsinsinsinBCAACBABCBAC故38B故我舰航行的方向为北偏东5038123.3.5m长的木棒斜靠在石堤旁，棒的一端离堤足1.2m的地面上，另一端沿堤上2.8m的地方，求地对地面的倾斜角。63.77总结实际问题抽象概括示意图数学模型推理演算数学模型的解实际问题的解还原说明