挑战中考数学压轴题

挑战压轴题马学斌·编著1目录第一部分函数图象中点的存在性问题1.1因动点产生的相似三角形问题例12015年上海市宝山嘉定区中考模拟第24题例22014年武汉市中考第24题例32012年苏州市中考第29题例42012年黄冈市中考第25题例52010年义乌市中考第24题例62009年临沂市中考第26题1.2因动点产生的等腰三角形问题例12015年重庆市中考第25题例22014年长沙市中考第第26题例32013年上海市虹口区中考模拟第25题例42012年扬州市中考第27题例52012年临沂市中考第26题例62011年盐城市中考第28题1.3因动点产生的直角三角形问题例12015年上海市虹口区中考模拟第25题例22014年苏州市中考第29题例32013年山西省中考第26题例42012年广州市中考第24题例52012年杭州市中考第22题例62011年浙江省中考第23题例72010年北京市中考第24题1.4因动点产生的平行四边形问题例12015年成都市中考第28题例22014年陕西省中考第24题例32013年上海市松江区中考模拟第24题例42012年福州市中考第21题例52012年烟台市中考第26题例62011年上海市中考第24题例72011年江西省中考第24题1.5因动点产生的梯形问题例12015年上海市徐汇区中考模拟第24题例22014年上海市金山区中考模拟第24题例32012年上海市松江中考模拟第24题例42012年衢州市中考第24题例52011年义乌市中考第24题1.6因动点产生的面积问题例12015年河南市中考第23题例22014年昆明市中考第23题挑战压轴题马学斌·编著2例32013年苏州市中考第29题例42012年菏泽市中考第21题例52012年河南省中考第23题例62011年南通市中考第28题例72010年广州市中考第25题1.7因动点产生的相切问题例12015年上海市闵行区中考模拟第24题例22014年上海市徐汇区中考模拟第25题例32013年上海市杨浦区中考模拟第25题1.8因动点产生的线段和差问题例12015年福州市中考第26题例22014年广州市中考第24题例32013年天津市中考第25题例42012年滨州市中考第24题第二部分图形运动中的函数关系问题2.1由比例线段产生的函数关系问题例12015年呼和浩特市中考第25题例22014年上海市徐汇区中考模拟第25题例32013年宁波市中考第26题例42012年上海市徐汇区中考模拟第25题2.2由面积公式产生的函数关系问题例12015年上海市徐汇区中考模拟第25题例22014年黄冈市中考第25题例32013年菏泽市中考第21题例42012年广东省中考第22题例52012年河北省中考第26题例62011年淮安市中考第28题第三部分图形运动中的计算说理问题3.1代数计算及通过代数计算进行说理问题例12015年北京市中考第29题例22014年福州市中考第22题例32013年南京市中考第26题3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例12015年杭州市中考第22题例22014年安徽省中考第23题例32013年上海市黄浦区中考模拟第24题第四部分图形的平移翻折与旋转4.1图形的平移挑战压轴题马学斌·编著3例12015年泰安市中考第15题例22014年江西省中考第11题4.2图形的翻折例12015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第18题例22014年上海市中考第18题4.3图形的旋转例12015年扬州市中考第17题例22014年上海市黄浦区中考模拟第18题4.4三角形例12015年上海市长宁区中考模拟第18题例22014年泰州市中考第16题4.5四边形例12015年安徽省中考第19题例22014年广州市中考第8题4.6圆例12015年兰州市中考第15题例22014年温州市中考第16题4.7函数图像的性质例12015年青岛市中考第8题例22014年苏州市中考第18题声明选自东师范大学出版社出版的《挑战压轴题·中考数学:精讲解读篇》（含光盘）一书。该书收录当年全国各地具有代表性的中考数学压轴题，并把它们分为4部分、24小类。该书最大的特色是用几何画板和超级画板做成电脑课件，并为每一题录制了视频讲解，让你在动态中体验压轴题的变与不变，获得清晰的解题思路，完成满分解答，拓展思维训练。《挑战压轴题·中考数学:精讲解读篇》自出版以来广受读者欢迎，被评为优秀畅销图书,成为“中考压轴题”类第一畅销图书。在上海、北京、江苏、浙江等省市的名牌初中的毕业班学生中，几乎人手一本，成为冲刺名牌高中必备用书。由于格式问题，该书最具特色的电脑课件和视频文件在此无法一并附上，敬请原谅。挑战压轴题马学斌·编著4第一部分函数图象中点的存在性问题1.1因动点产生的相似三角形问题例12015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2,m)．（1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点B(n,2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15宝山嘉定24”，拖动点E在射线CB上运动，可以体验到，△ACE与△ACD相似，存在两种情况．思路点拨1．直线AD//BC，与坐标轴的夹角为45°．2．求△ABC的面积，一般用割补法．3．讨论△ACE与△ACD相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程．满分解答（1）将点A(2,m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2,4)．将点A(2,4)代入kyx，得k＝8．（2）将点B(n,2)，代入8yx，得n＝4．所以点B的坐标为(4,2)．设直线BC为y＝x＋b，代入点B(4,2)，得b＝－2．所以点C的坐标为(0,－2)．由A(2,4)、B(4,2)、C(0,－2)，可知A、B两点间的水平距离和竖直距离都是2，B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4．所以AB＝22，BC＝42，∠ABC＝90°．图2所以S△ABC＝12BABC＝122422＝8．（3）由A(2,4)、D(0,2)、C(0,－2)，得AD＝22，AC＝210．挑战压轴题马学斌·编著5由于∠DAC＋∠ACD＝45°，∠ACE＋∠ACD＝45°，所以∠DAC＝∠ACE．所以△ACE与△ACD相似，分两种情况：①如图3，当CEADCAAC时，CE＝AD＝22．此时△ACD≌△CAE，相似比为1．②如图4，当CEACCAAD时，21021022CE．解得CE＝102．此时C、E两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E(10,8)．图3图4考点伸展第（2）题我们在计算△ABC的面积时，恰好△ABC是直角三角形．一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法．如图5，作△ABC的外接矩形HCNM，MN//y轴．由S矩形HCNM＝24，S△AHC＝6，S△AMB＝2，S△BCN＝8，得S△ABC＝8．图5例22014年武汉市中考第24题如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．挑战压轴题马学斌·编著6图1图2动感体验请打开几何画板文件名“14武汉24”，拖动点P运动，可以体验到，若△BPQ可以两次成为直角三角形，与△ABC相似．当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP．PQ的中点H在△ABC的中位线EF上．思路点拨1．△BPQ与△ABC有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程．2．作PD⊥BC于D，动点P、Q的速度，暗含了BD＝CQ．3．PQ的中点H在哪条中位线上？画两个不同时刻P、Q、H的位置，一目了然．满分解答（1）Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．△BPQ与△ABC相似，存在两种情况：①如果BPBABQBC，那么510848tt．解得t＝1．②如果BPBCBQBA，那么588410tt．解得3241t．图3图4（2）作PD⊥BC，垂足为D．在Rt△BPD中，BP＝5t，cosB＝45，所以BD＝BPcosB＝4t，PD＝3t．当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP．所以ACCDQCPD，即68443ttt．解得78t．图5图6（3）如图4，过PQ的中点H作BC的垂线，垂足为F，交AB于E．挑战压轴题马学斌·编著7由于H是PQ的中点，HF//PD，所以F是QD的中点．又因为BD＝CQ＝4t，所以BF＝CF．因此F是BC的中点，E是AB的中点．所以PQ的中点H在△ABC的中位线EF上．考点伸展本题情景下，如果以PQ为直径的⊙H与△ABC的边相切，求t的值．如图7，当⊙H与AB相切时，QP⊥AB，就是BPBCBQBA，3241t．如图8，当⊙H与BC相切时，PQ⊥BC，就是BPBABQBC，t＝1．如图9，当⊙H与AC相切时，直径2222(3)(88)PQPDQDtt，半径等于FC＝4．所以22(3)(88)8tt．解得12873t，或t＝0（如图10，但是与已知0＜t＜2矛盾）．图7图8图9图10例32012年苏州市中考第29题如图1，已知抛物线211(1)444byxbx（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B在x轴的正半轴上运动，可以体验到，点P到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB的面积等于2b的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B，可以体验到，存在∠OQA＝∠B的时刻，也存在∠OQ′A＝∠B的时刻．挑战压轴题马学斌·编著8思路点拨1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等．2．联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示．3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上．满分解答（1）B的坐标为(b,0)，点C的坐标为(0,4b)．（2）如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC．因此PD＝PE．设点P的坐标为(x,x)．如图3，联结OP．所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝1152428bxbxbx＝2b．解得165x．所以点P的坐标为(1616,55)．图2图3（3）由2111(1)(1)()4444byxbxxxb，得A(1,0)，OA＝1．①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．当BAQAQAOA，即2QABAOA时，△BQA∽△QOA．所以2()14bb．解得843b．所以符合题意的点Q为(1,23)．②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。因此△OCQ∽△QOA．当BAQAQAOA时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°．所以