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1常系数非齐次线性微分方程第八节型)(e)(xPxfmxxxPxflxcos)([e)(型]sin)(~xxPn一、二、2)(xfyqypy),(为常数qp二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为Yy*y非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法3)([exQx)()2(xQp])()(2xQqp)(exPmx一、型)(e)(xPxfmx为实数,)(xPm设特解为,)(e*xQyx])()([e*xQxQyx])()(2)([e*2xQxQxQyx代入原方程,得为m次多项式.)(xfyqypy(1)若不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为Q(x)为m次待定系数多项式.)(e*xQymx其中为待定多项式,)(xQ4(2)若是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为(3)若是特征方程的重根,,02p)(xQ则是m次多项式,故特解形式为xmxQxye)(*2小结对方程①,)2,1,0(e)(*kxQxyxmk此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.)(xQ)(xPm)()(2xQqp即即当是特征方程的k重根时,可设特解5例1.的通解.解:本题特征方程为,0652rr其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为xbxbxy210e)(*得xbbxb01022,2代入方程比较系数,得1,2110bb6比较系数,得1,2110bb因此特解为.e)121(*2xxxy所求通解为.e)21(22xxx7.1)1()1(,2yyexeyyyxx求特解例2解特征方程,0122rr特征根,121rr对应的齐次方程的通解为.)(21xexCCY设原方程的特解为,)(2*xebaxxy,]2)3([)(23*xebxxbaaxy则,]2)46()6([)(23*xebxbaxbaaxy代入原方程比较系数得将)(,)(,***yyy,21,61ba原方程的一个特解为,2623*xxexexy故原方程的通解为.26)(2321xxxexexexCCy8,1)1(y,1)31(21eCC,]6)1()([3221xexxCCCy,1)1(y,1)652(21eCC,31121eCC,651221eCC由解得,121,61221eCeC所以原方程满足初始条件的特解为.26])121(612[23xxxexexexeey9例3.的一个特解.解:本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得31,110bb于是所求特解为0,010例4.求解定解问题0)0()0()0(123yyyyyy解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故21232CC故对应齐次方程通解为1CYxCe2xC23e原方程通解为1CyxCe2xC23e由初始条件得,011于是所求解为xyxx21e41e432解得41143321CCC12思考:设0()e()d,(0)0,xxxxxuu解:对积分换元,,uxt令则有解初值问题:特征方程为其根为1,对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为13代入方程得14二、型xxPxxPxfnlxsin)(~cos)(e)(利用欧拉公式将f(x)变形xxfe)(i2)(~2)(xPxPnlx)i(ei2)(~2)(xPxPnlx)i(exmxPxf)i(e)()(xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(则令,,maxlnm)(xPl2eeiixx)(~xPni2eeiixx15求如下两方程的特解i是特征方程的k重根(k=0,1),xmkxQxy)i(1e)())((次多项式为mxQm故xmxPyqypy)i(111e)()()(等式两边取共轭:xmxPyqypy)i(111e)(1y这说明为方程③的特解.xmxPyqypy)i(e)(②xmxPyqypy)i(e)(③设则②有特解:16根据叠加原理,为原方程11*yyyexkxxmxmQQiieeyqypyxxPxxPnlxsin)(~cos)(exkxe)sini(cosxxQm)sini(cosxxQmexkxxRmcosxRmsin~mmRR~,其中均为m次实系数多项式.xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(11*yyy的特解。xmkxmkxQxxQx)i()i(e)(e)(xkxe()cosmmQQx()sin)mmiQQx17小结:xxPxxPnlxsin)(~cos)(e对非齐次方程yqypy),(为常数qpxRxRxymmxksin~cose*则可设特解:其中为特征方程的k重根(k=0,1),i上述结论也可推广到高阶方程的情形.18例5.的一个特解.解:本题特征方程,2,0故设特解为不是特征方程的根,代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,)(xxPl,0)(~xPn比较系数,得94,31da于是求得一个特解13a043cb03c043ad0cb19解对应齐次方程通解作辅助方程代入辅助方程14,39ABi,12cossin,YCxCx2,ixyyxe2i不是特征方程的根*2(),ixyAxBe设43031AiBA*214(),39ixyxie例5.的一个特解.20所求非齐方程特解为(取实部)14()(cos2sin2)39xixix1441cos2sin2(cos2sin2),3993xxxxxxi14cos2sin2,39yxxx分别是的实部注意:cos,sinxxAexAex()ixAe和虚部.*214()39ixyxie21例6.的通解.解:特征方程为,092r其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得特解为)3sin33cos5(*xxxy代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解为为特征方程的单根,)3sin33cos5(xxx因此设非齐次方程特解为若非齐次项为提示:如何处理?22).2cos(214xxyy求解方程例7解特征方程,042r特征根,22,1ir对应的齐方的通解为.2sin2cos21xCxCY设原方程的特解为.*2*1*yyy,)1(*1baxy设,)(*1ay则,0)(*1y,得代入xyy214,xbax2144由,04b,214a解得,0b,81a;81*1xy23),2sin2cos()2(*2xdxcxy设,2sin)2(2cos)2()(*2xcxdxdxcy则,2sin)44(2cos)44()(*2xdxcxcxdy,得代入xyy2cos214故通解为.2sin81812sin2cos21xxxxCxCy,2cos212sin42cos4xxcxd由,04c,214d即,81d,0c;2sin81*2xxy24解对应齐次方程通解作辅助方程代入上式所求非齐方程特解为原方程通解为(取虚部)例8.求方程的通解.4sinyyx12cossin,YCxCx4,ixyyei是单根*,ixyAxe24Ai2,Ai*22sin(2cos),ixyixexxxxi2cos,yxx12cossin2cos.yCxCxxx25思考与练习时可设特解为xy*xbxacos)(*yxdxcxbxa2sin)(2cos)(xk2e时可设特解为提示:xdcxsin)(1.(填空)设]sin)(~cos)([xxRxxRmm26解答***12yyy则所求特解为(重根)CBxAx2设的特解为2446yyyx*1y设的特解为2448xyyye*2y2440rr特征根1,22r*21yAxBxC*222xyDxe224468xyyyxe2.写出方程待定特解的形式..22xeDx273.且满足方程xttftxxxf0d)()(sin)(.)(xf求解:,d)(d)(sin)(00xxttftttfxxxf则xxfcos)()(sin)(xfxxfxttf0d)()(xfx)(xfx问题化为解初值问题:xxfxfsin)()(,0)0(f1)0(f最后求得284..已知二阶常微分方程xcybyaye有特解2(1e),exxyx求微分方程的通解.解:将特解代入方程得恒等式xxxxcxbaabaee)1(e)2(e)1(比较系数得01baca201ba0a1b2c故原方程为对应齐次方程通解:xxCCYee21xxxyee原方程通解为xxCCyee21xxe29内容小结xmxPyqypye)(.1为特征方程的k(=0,1,2)重根,xmkxQxye)(*则设特解为]sin)(~cos)([e.2xxPxxPyqypynlx为特征方程的k(=0,1)重根,ixkxye*则设特解为]sin)(~cos)([xxRxxRmm3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.
本文标题:同济第六版高数上册第六章课件855713893
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