利用函数性质判断方程解的存在

①函数零点的定义对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。零点是一个点吗?是交点的横坐标②方程的根与函数零点的关系方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)有零点函数y=f(x)的图象与x轴有交点.导学达标xy-13412-2①在区间上零点（填“有”或“无”）f(-2)=，f(1)=＿＿＿，f(-2)·f(1)0,（填“”或“”）21，探究（一）(Ⅰ)观察二次函数f(x)=x2－2x-3的图象②在区间[2,4]上零点,f(2)=,f(4)=,f(2)·f(4)05-45有有-3导学达标返回目录若函数y=f(x)在闭区间［a,b］上的图像是，且，则在区间（a,b）内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间（a,b)内，函数f(x)有零点；即函数y=f(x)的图像或者方程f(x)=0.连续曲线f(a)f(b)＜0至少有一个实数解与x轴有交点有解端点函数值异号，则函数有零点函数图象连续ab0yx0abyxabxy0ab导学达标③零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)0,则函数在（a,b）内有零点。注:只有上述两个条件同时满足,才能判断函数在指定区间内存在零点。导学达标xy0ab下图中在区间内有几个零点?,ab探究（二）什么情况下只有唯一一个零点？端点函数值异号的单调函数五个导学达标③零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)0,则函数在（a,b）内有零点。•如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)﹤0,且是单调函数,那么这个函数在(a,b)内必有唯一的一个零点。导学达标9用一用例1:已知函数2()3xfxx=-，问：方程()0fx=在区间[-1，0]内有没有实数解？为什么?解：因为12002(1)3(1)0,(0)30103ff又的图象是连续的,所以在区间[-1,0]内有零点,即在区间[-1,0]内有实数解。()fx()fx()0fx分析：判定方程有没有实数解即可以等价转化为相应函数有没有零点新知应用10例2判定方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解,且一个大于5,一个小于2.解:构造函数f(x)=(x-2)(x-5)-1则f(5)=(5-2)(5-5)-1=-1f(2)=(2-2)(2-5)-1=-1又因为f(x)的图像是开口向上的抛物线,所以抛物线与横轴在(5,+∞)内有一交点,在(-∞,2)内也有一个交点.yx25-1O所以相应的方程(x-2)(x-5)-1=0有两个相异的实数解,且一个大于5,一个小于2新知应用返回目录1、判断下列函数在给定区间上是否存在零点.（2）f(x)=x3-x-1,x∈［-1,2］;解:(2)∵f(-1)=-10,f(2)=50,∴f(x)=x3-x-1,x∈［-1,2］存在零点.前提测评1、函数y＝f(x)的图象在[a,b]内是连续的曲线，若f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间(a,b)内（）A．只有一个零点B．至少有一个零点C．无零点D．无法确定B练一练前提测评2、若函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实数根，则f(－1)·f(1)的值（）A．大于0B．小于0C．无法判断D．等于零C前提测评3、不论m为何值，函数f(x)＝x2－mx＋m－2的零点有（）A．2个B．1个C．0个D．不确定A函数零点方程根，形数本是同根生。函数零点端点判，图象连续不能忘。1.2利用二分法求方程的近似解问题2．不解方程，如何求方程x2-2x-1=0的一个正的近似解（精度为0.1）?由图可知：方程x2-2x-1=0的一个解x1在区间(2,3)内，另一个解x2在区间(-1,0)内．xy1203y=x2-2x-1-1画出y=x2-2x-1的图象(如图)结论：借助函数f(x)=x2-2x-1的图象，我们发现f(2)=-10,f(3)=20，这表明此函数图象在区间(2,3)上穿过x轴一次，可得出方程在区间(2,3)上有惟一解.问题探究二二分法求方程的近似根对于在区间[a,b]上连续不断，且f(a)·f(b)0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点(或对应方程的根)近似解的方法叫做二分法．问题4：二分法实质是什么？用二分法求方程的近似解，实质上就是通过“取中点”的方法，运用“逼近”思想逐步缩小零点所在的区间。问题3．如何描述二分法？下列函数的图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求其零点的是（）Cxy0xy0xy0xy0巩固练习1．利用y＝f(x)的图象，或函数赋值法(即验证f(a)•f(b)＜0)，判断近似解所在的区间(a,b).2．“二分”解所在的区间，即取区间(a,b)的中点1abx.2二分法求方程近似根的步骤3．计算f(x1)：(1)若f(x1)＝0，则x0＝x1；(2)若f(a)•f(x1)＜0，则令b＝x1(此时x0∈(a,x1));(3)若f(x1)•f(b)＜0，则令a＝x1(此时x0∈(x1,b)).4．判断是否达到给定的精度，若达到，则得出近似解；若未达到，则重复步骤2～4．