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当前位置:首页 > 临时分类 > TJU计算流体力学 第1章
1第1章计算流体力学的基本方程计算流体力学的基本方程就是流体力学的基本方程,将这些基本方程用于计算、模拟流体运动时,可以称为计算流体力学的基本方程。1.1流体力学方程的形成和研究方法流体力学方程的形成与水力学研究的发展密切相关。水力学是以实验为基础发展起来的研究水流宏观运动规律的科学。流体力学是以数学理论为基础研究流体宏观运动规律的科学。水力学的研究发展较早,如果将早期人们为生存抵御洪水、汲取生活用水和排放污水而修建的工程归入水力学研究的启蒙阶段,在这一时期人们只是被动的为适应自然环境对水流运动规律进行研究。历史上引水、治水的事例很多,如中国远古时代的大禹治水、春秋战国时代的李冰父子建设的都江堰、秦朝时期的郑国渠(公元前256-210年);阿基米德的论浮体(公元前250年)是世界上最早的论文;在中世纪,明渠输水系统已出现,如埃及与美索布达米亚的灌溉、罗马规模宏大的供水、欧洲城市的污水排放渠道等;埃及人利用重力流从尼罗河引水、美索布达米亚人从幼发拉底河向底格里斯河引水;在印度低地也发现了用管道和砖砌成的排水道。欧洲文艺复兴时代(Renaissance),莱昂纳多·达·凡奇(Leonardo·Da·Vinci)对河道水流运动,流速分布已有了正确理解;达西和巴辛(Darcy和Bazin)的管流与明渠流实验在1816年由杜·布勒(Du·Buat)进行了报告;明渠的阻力问题在1768年由谢才(Chezy)提出,1889年罗伯特·曼宁(Robert·Manning)完善了明渠阻力公式;1738年伯努利(Bernoull)记录了关于流体运动和阻力的备忘录;在18世纪中叶牛顿(Newton)、莱布尼兹(Leibniz)、伯努利和欧拉(Euler)等人已为流体运动微分方程的建立准备了充分的力学理论和数学方法。1822年Navier提出了流体运动与力的平衡关系,1843年Saint-Venant提出了流体应力状态,1845年Stokes提出了流体运动微分方程(即建立了应力状态与流体运动速度变化率的关系),形成了纳维尔—斯托克斯(Navier-Stokes)方程。与此同时水力学在实验的基础上也得到了长足的发展,由于当时用流体力学的势流解理论还不能解释水力学实验成果,有时甚至得出截然相反的结论,如在球的绕流问题上,势流解的结论是球的阻力为零,而实验证明球体绕流确实有阻力存在。流体力学与水力学的不协调,使流体力学与水力学形成两个独立的分支,流体力学面临的是如何提出新的理论和求解方法,去解释水力学的实验成果,因为完美的数学表达形式的生命力在于它能否正确的表达客观事物的存在规律。特别值得提到的是1880年的雷诺(Reynolds)实验,界定了流体运动的两种形态,为解决流体力学理论问题规划出新途径。水力学中的尼古拉斯实验、莫迪实验进一步丰富和完善了管流流态的划分。同时期考虑粘性影响的流体力学问题也得到了充分的研究,如1851年Stockes对小雷诺数的球体绕流问题得到了严格的理论解。这一时期前后的纳维尔—斯托克斯方程的解析解对以下问题有了研究成果:2(1)波依塞平面流动(1840~1846)平板间的压力剪切流(2)波依塞管内流动(1840~1846)圆管内的压力剪切流(3)简单古艾特流动(1840~1846)两平板错动的剪切流(4)蠕动流球绕流问题(1851)圆球绕流u图1-1纳维尔—斯托克斯方程的解析解(1)-(4)(5)一般古艾特流动(1890)压力梯度流(6)旋转古艾特流动(1890)轴承中的油膜运动(7)突然加速流动(1851)Stokes第1问题(8)平板震动流动(1851)Stokes第2问题uuu图1-2纳维尔—斯托克斯方程的解析解(5)-(8)(9)非定常古艾特流动(1911)Stokes-古艾特流动问题(10)管内起始流动(1930)齐曼斯基流动问题3a图1-3纳维尔—斯托克斯方程的解析解(9)-(10)(11)二维滞止区域流动(1911)卡麦茨流动问题(12)三维滞止区域流动(1936)霍曼妮流动(13)卡门旋转圆盘流动问题(1921)卡门流动(14)收缩,扩张管道流动问题(1916)海迈尔流动w图1-4纳维尔—斯托克斯方程的解析解(11)-(14)(15)管口射流问题(1944)朗道流动(16)线形漩涡扩散流动问题(1947)(17)起始剪切层流动问题(1947)卡斯洛——吉杰流动问题vu图1-5纳维尔—斯托克斯方程的解析解(15)-(17)4这一时期的迷惘是流体力学方程复杂,部分简单规则边界问题可以求解,对一些特殊情况和复杂边界的实际问题求解困难,有些解仅为势流解,缺乏实用价值。如对圆柱绕流问题无法求得解析解,出现whitehead详谬(待定系数多于边界条件)。1904年普朗特(Prandtl)提出了边界层理论(认为固壁边界上的流体无滑移运动)将流体运动在运动空间上划分为主流区和边界层两个区域,主流区采用势流解,边界层内采用粘性流解,提出分区求解的方法,为流体力学的研究提供了新思路,同时解释了水力学与流体力学相悖的实验和理论现象,为水力学与流体力学两个分支的统一奠定了基础。如果说雷诺在流体运动时间序列上对流体运动形态进行了界定,那么是否可以说普朗特在流体运动空间范围上对流体运动形式进行了界定。自1950年以后几乎没有再找到严格的解析解,普朗特提出边界层理论后,可以将流动区域化为两部分求解,特别是计算机与计算方法的发展使数值解广泛应用,解析解不再是从理论上研究流体运动问题的唯一手段。近似解法一般采用奇异摄动理论方法求解。目前主要采用的方法有:小参数展开法、匹配(WKB)方法、多重尺度法、PLK(Poincare-Lighthill和郭永怀)方法、合成展开法(自变量和因变量同时展开)。1965年Harlow(美国)发表“流体力学的计算机实验”,模拟卡门涡街。同年,Macagno(法国)发表“水力学模拟的某些新方向”,计算突然扩大管流。20世纪70-80年代计算机技术的发展为计算流体力学的应运而生提供了条件。计算流体力学是伴随着计算机应用和计算方法完善而发展起来的流体力学的一个重要分支。计算流体力学研究的三大基础是:流体力学方程,计算方法和程序设计。流体力学方程的类型用表1-1列出:表1-1流体力学方程的类型流动形式方程类型位势流非定常可压缩无粘流非定常可压缩粘性流非定常不可压缩无粘流非定常不可压缩粘性流定常亚音速流定常超音速流定常跨音速流拉普拉斯双曲型(一般情况)抛物形(一般情况)双曲型(一般情况)抛物形(一般情况)椭圆型双曲型混合型(附:二阶偏微分方程类型的判别)数值计算方法一般有差分法、有限元法、边界元法、有限体积法和无网格法等。设计程序一般采用Basic、Fortran和C语言。计算流体力学的发展概况?51.2流体力学方程的表达方式在研究计算流体力学的方法之前,我们首先要认识的就是流体力学微分方程。流体力学微分方程的表达形式依赖于选取哪一种坐标系和用哪一种数学方法来表示。1.2.1坐标系常用的坐标系有笛卡儿坐标系,柱坐标系(在平面问题时转化为极坐标系),球坐标系,曲线坐标系和贴体坐标或仿边界坐标等。笛卡儿坐标系下的连续方程为:0)()()(zwyvxut(1-1)(附:用六面体微元推导连续方程)第一项为微元体积内相对t时间的密度变化量;第二项为通过微元体x方向法线断面的单位面积密度流量相对x长度的变化量;第三、四项意义同第二项。笛卡儿坐标系下实际(可压缩)流体运动微分方程为:)(3)(1)(3)(1)(3)(1222222222222222222zwyvxuzzwywxwzpZzwwywvxwutwzwyvxuyzvyvxvypYzvwyvvxvutvzwyvxuxzuyuxuxpXzuwyuvxuutu(1-2)其中第一个方程中,第一项为时变(当地)加速度;第二、三、四项为位变(迁移)加速度;第五项为单位质量力;第六项为x方向法线断面的单位面积压力相对x长度的变化量;第七、八、九项为对应速度u的粘性项,为运动粘性系数;第十、十一、十二项为x方向法线断面的体积相对变化量相对x长度、相对dt时间的变化量,3为第二粘性系数。因为从(1-1)得0)(zwyvxuwzvyuxt或0)(zwyvxudtd6则0)(dtzwyvxud又因为0)(Vddm则0VddV有VdVd代入变形后的连续方程得dtzwyvxuVdV)(则zwyvxu为相对体积变化量相对于dt的变化量,或称为相对体积的变化速率。笛卡儿坐标系下的N-S方程(不可压缩流体运动微分方程)为:)(1)(1)(1222222222222222222zwywxwzpZzwwywvxwutwzvyvxvypYzvwyvvxvutvzuyuxuxpXzuwyuvxuutu(1-3)柱坐标系下的不可压缩流体的连续方程01)(1zwvrrurr(1-4)柱坐标系下的不可压缩流体的N-S方程:)211(12222222222vrruzuurrurrurpXrvzuwurvruutur7)211(1222222222rvurzvvrrvrrvprXruvzvwvrvrvutv(1-5))11(12222222zwwrrwrrwzpXz球坐标系下的不可压缩流体的连续方程:0sin1)(sinsin1)(12222222wrvrrurrr(1-6)球坐标系下的不可压缩流体的N-S方程:]sin2sinsin2sin1)(sinsin11[sin1sin]sin2sin2sin1)(sinsin11[1sin]sin2222sin1)(sinsin11[1sin222222222222222222222222222222222vctgrrwurwrwrrwrrrprXrvwctgruwwrwwrvrwutwwctgrrvurvrvrrvrrrprXrctgwruvvrwvrvrvutvwrrvctgvrruururrurrrrpXrwvurwurvruutur(1-7)直角坐标系下的欧拉运动方程(不可压缩流体无粘运动微分方程或称为不可压缩流体理想运动微分方程)见(1-36)。为适应不同的边界条件和流动形式,可以取不同的坐标系求解N-S方程。但从以上的表达式可以看出,方程本身的表示很繁杂,如果以此种形式进行推导和计算,更需列出冗长的表达式,所以有必要研究方程的简洁表达形式。1.2.2向量表达方式a向量运算设A,B是任意向量,起点为坐标原点O,终点坐标为),,(321AAA和8),,(321BBB,kji,,表示x,y,z方向的单位向量,则kAjAiAA321,kBjBiBB
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