地下水动力学-第4章-地下水向完整井的非稳定运动

地下水动力学4.地下水向完整井的非稳定运动主讲杨国勇中国矿业大学资源学院2014.044.地下水向完整井的非稳定运动I内容：4.1承压含水层中的完整井流；4.2有越流补给的完整井流；4.3有弱透水层弹性释水补给的完整井流；4.4潜水完整井流。4.1承压含水层中的完整井流I内容：4.1.1定流量抽水时的Theis公式;4.1.2流量变化时的计算公式;4.1.3Theis公式的近似表达式;4.1.4Theis公式讨论;4.1.5利用Theis公式确定水文地质参数;4.1.6定降深井流的计算.4.1.1定流量抽水时的Theis公式模型假定条件：1)含水层均质各向同性、等厚，侧向无限延伸，产状水平；2)抽水前天然状态下水力坡度为零；3)完整井定流量抽水，井径无限小；4)含水层中水流服从Darcy定律；5)水头下降引起的地下水从贮存量中的释放是瞬时完成的。如图建立坐标系。抽水后会形成以井轴为对称轴的降落漏斗.含水层K,SMxz4.1.1定流量抽水时的Theis公式记𝑠=𝐻0−𝐻,数学模型：⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩𝜕2𝑠𝜕𝑟2+1𝑟𝜕𝑠𝜕𝑟=𝑆𝑇𝜕𝑠𝜕𝑡𝑡0,0𝑟∞𝑠(𝑟,0)=00𝑟∞𝑠(∞,𝑡)=0,𝜕𝑠𝜕𝑟⃒⃒⃒⃒𝑟→∞=0𝑡0lim𝑟→0𝑟𝜕𝑠𝜕𝑟=−𝑄2𝜋𝑇4.1.1定流量抽水时的Theis公式模型求解:Proof.模型可用分离变量法、Hankel积分变换或博尔兹门(Boltzmann)变换法求解。𝑠=𝑄4𝜋𝑇∫︁∞𝑢𝑒−𝑦𝑦d𝑦=𝑄4𝜋𝑇𝑊(𝑢)(1)式中，𝑢=𝑟2𝑆4𝑇𝑡,𝑊(𝑢)称为井函数,其级数形式：𝑊(𝑢)=−0.577216−ln𝑢+𝑢−∞∑︁𝑛=2(−1)𝑛𝑢𝑛𝑛·𝑛!(1)式称为Theis公式.4.1.2Theis公式的近似形式𝑊(𝑢)级数除前三项外为交错级数。当𝑢很小时，用−0.577216−ln𝑢代替𝑊(𝑢)时截断误差不超过2𝑢.𝑢≤0.1时相对误差≤5%;𝑢≤0.05时相对误差≤2%;𝑢≤0.01时相对误差≤0.25%.当𝑢≤0.05或𝑢≤0.01时，𝑊(𝑢)≈−0.577216−ln𝑢=ln2.25𝑇𝑡𝑟2𝑆有𝑠=𝑄4𝜋𝑇ln2.25𝑇𝑡𝑟2𝑆=0.183𝑄𝑇lg2.25𝑇𝑡𝑟2𝑆(2)(2)式称为Jacob公式(CooperandJacob,1946;Jacob,1950)。4.1.2Theis公式的近似形式𝑊(𝑢)的多项式逼近：当0𝑢≤1时，𝑊(𝑢)=−ln𝑢+𝑎0+𝑎1𝑢+𝑎2𝑢2+𝑎3𝑢3+𝑎4𝑢4+𝑎5𝑢5式中，𝑎0=−0.57721566𝑎3=0.05519968𝑎1=0.99999193𝑎4=−0.00976004𝑎2=−0.24991055𝑎5=0.00107857当1𝑢∞时，𝑊(𝑢)=𝑢4+𝑎1𝑢3+𝑎2𝑢2+𝑎3𝑢+𝑎4𝑢4+𝑏1𝑢3+𝑏2𝑢2+𝑏3𝑢+𝑏4·𝑒−𝑢𝑢式中，𝑎1=8.5733287401𝑏1=9.5733223454𝑎2=18.0590169730𝑏2=25.6329561486𝑎3=8.6347608925𝑏3=21.0996530827𝑎4=0.2677737343𝑏4=3.95849692284.1.3Theis公式讨论𝑊(𝑢)∼𝑢标准曲线：𝑊(𝑢)单调减小。因为𝑢=𝑟2𝑆4𝑇𝑡，时间𝑡与𝑢的变化方向相反，使用不方便。W(u)4.1.3Theis公式讨论𝑊(𝑢)∼1𝑢标准曲线：𝑊(𝑢)单调增加。𝑊(𝑢)∼1𝑢与𝑠∼𝑡变化规律一致，方便使用。W(u)4.1.3Theis公式讨论降深变化规律:𝑡一定时：𝑢=𝑟2𝑆4𝑇𝑡𝑟↗=⇒𝑢↗=⇒𝑊(𝑢)↘=⇒𝑠↘.𝑟→∞=⇒𝑠→0.tt1tt2t1rr2t1rr1trsr2r1t1t24.1.3Theis公式讨论降深变化规律:𝑟一定时：𝑢=𝑟2𝑆4𝑇𝑡𝑡↗=⇒𝑢↘=⇒𝑊(𝑢)↗=⇒𝑠↗.𝑡=0⇒𝑠=0.tt1tt2t1rr2t1rr1trsr2r1t1t24.1.3Theis公式讨论降深变化规律:𝑡→∞=⇒𝑠→∞？实际上，𝑠→∞不能出现，但降落漏斗会逐渐向远处扩展，为没有补给而完全消耗储存量的状态。tt1tt2t1rr2t1rr1trsr2r1t1t24.1.3Theis公式讨论等水头线方程：因为同一时刻，若𝑟相同则𝑠也相同。所以，等水头线是以井轴为圆心的同心圆。当𝑢≤0.05时，𝑠=𝑄4𝜋𝑇ln2.25𝑇𝑡𝑟2𝑆=⇒𝑥2+𝑦2=2.25𝑇𝑡𝑆𝑒−4𝜋𝑇𝑠𝑄4.1.3Theis公式讨论水头下降速度：𝜕𝑠𝜕𝑡=𝑄4𝜋𝑇·1𝑡𝑒−𝑟2𝑆4𝑇𝑡抽水初期：近处水头降速大，远处降速小。抽水后期：𝑡25𝑟2𝑆𝑇,𝑢0.01,𝑒−𝑟2𝑆4𝑇𝑡≈1抽水后期𝜕𝑠𝜕𝑡=𝑄4𝜋𝑇𝑡与𝑟无关，在一定范围内水位大致等幅下降。 4.1.3Theis公式讨论水头下降速度：𝜕𝑠𝜕𝑡=𝑄4𝜋𝑇·1𝑡𝑒−𝑟2𝑆4𝑇𝑡1𝑡关于𝑡单调减小，𝑒−𝑢关于𝑡单调增加;𝜕𝑠𝜕𝑡不是单调函数，𝑠−𝑡曲线有拐点。 4.1.3Theis公式讨论水头下降速度：I拐点出现时间：𝜕2𝑠𝜕𝑡2=𝑄4𝜋𝑇1𝑡2𝑒−𝑟2𝑆4𝑇𝑡(︂𝑟2𝑆4𝑇𝑡−1)︂=0*𝑟2𝑆4𝑇𝑡=1)𝑡𝑖=𝑟2𝑆4𝑇𝑟一定时，𝑡𝑡𝑖时，水头降速由小变大；𝑡𝑡𝑖时，水头降速由大变小。𝑡=𝑡𝑖时最大；I拐点处降深：𝑠𝑖=𝑄4𝜋𝑇𝑊(𝑢)=𝑄4𝜋𝑇×0.2194=0.0175𝑄𝑇,(𝑢=1)4.1.3Theis公式讨论流量变化规律：𝜕𝑠𝜕𝑟=−𝑄4𝜋𝑇𝑒−𝑢𝑢𝑆4𝑇𝑡2𝑟=−𝑄2𝜋𝑇𝑟𝑒−𝑟2𝑆4𝑇𝑡距井r处过水断面流量：𝑄𝑟=−2𝜋𝐾𝑀𝑟𝜕𝑠𝜕𝑟=𝑄𝑒−𝑟2𝑆4𝑇𝑡当𝑟→0时，𝑄𝑟→𝑄，当𝑡25𝑟2𝑆𝑇时，𝑒−𝑟2𝑆4𝑇𝑡≈1离抽水井越近过水断面流量大。抽水延续到一定时间后各断面的流量近似相等。4.1.3Theis公式讨论流速变化规律：𝑣=−𝐾𝜕𝑠𝜕𝑟=𝑄2𝜋𝑀𝑟𝑒−𝑟2𝑆4𝑇𝑡=𝑣′𝑒−𝑟2𝑆4𝑇𝑡式中：𝑣′为稳定流渗流速度，且𝑣𝑣′。当𝑡25𝑟2𝑆𝑇(𝑢0.01)时，可认为达到似稳定状态。𝑟处出现似稳定的时间为𝑡=25𝑟2𝑆𝑇。4.1.3Theis公式讨论“影响半径”：无限、无越流承压含水层中不存在“影响半径”。只能确定某一时刻抽水的影响范围。对比Jacob公式与Dupuit公式，有𝑅=1.5√︁𝑇𝑡𝑆长时间抽水(𝑡25𝑟2𝑆𝑇，Jacob公式成立)，𝑟1、𝑟2处的降深为𝑠1=𝑄4𝜋𝑇ln2.25𝑇𝑡𝑟21𝑆,𝑠2=𝑄4𝜋𝑇ln2.25𝑇𝑡𝑟22𝑆𝑠1−𝑠2=𝑄2𝜋𝑇ln𝑟2𝑟1与稳定流的Thiem公式相同。4.1.3Theis公式讨论无限小井径和零天然水力坡度问题：井径无限小假设是为了满足边界条件：lim𝑟→0(︂𝑟𝜕𝑠𝜕𝑟)︂=−𝑄2𝜋𝑇抽水井流量为𝑄𝑤=𝑄𝑒−𝑟2𝑤𝑆4𝑇𝑡当𝑡25𝑟2𝑆𝑇时𝑄𝑤≈𝑄,误差不超过1%。所以，满足边界条件并不困难。一般情况下地下水水力坡度都比较小，所以水力坡度为零的假设也对计算结果影响不大。4.1.4流量变化时的计算公式将流量曲线概括为阶梯状折线。矩形面积应等于流量曲线与横坐标轴所围面积;每一个阶梯视为定流量，用叠加原理求出总降深値。t0t1t2t3tQQ1Q2Q3Q41234如图，概括为4个阶梯，分解为4个子问题：(1)𝑡0→𝑡以𝑄1抽水；(2)𝑡1→𝑡以𝑄2−𝑄1抽水；(3)𝑡2→𝑡以𝑄3−𝑄2注水；(4)𝑡3→𝑡以𝑄4−𝑄3抽水。4.1.4流量变化时的计算公式将流量曲线概括为阶梯状折线。矩形面积应等于流量曲线与横坐标轴所围面积；每一个阶梯视为定流量，用叠加原理求出总降深値。t0t1t2t3tQQ1Q2Q3Q41234如图，概括为4个阶梯，分解为4个子问题：(1)𝑠1=𝑄1−𝑄04𝜋𝑇𝑊(︁𝑟2𝑆4𝑇(𝑡−𝑡0))︁(2)𝑠2=𝑄2−𝑄14𝜋𝑇𝑊(︁𝑟2𝑆4𝑇(𝑡−𝑡1))︁(3)𝑠3=𝑄3−𝑄24𝜋𝑇𝑊(︁𝑟2𝑆4𝑇(𝑡−𝑡2))︁(4)𝑠4=𝑄4−𝑄34𝜋𝑇𝑊(︁𝑟2𝑆4𝑇(𝑡−𝑡3))︁总降深：𝑠=𝑠1+𝑠2+𝑠3+𝑠44.1.4流量变化时的计算公式一般形式(𝑛个阶段)：𝑠=14𝜋𝑇𝑛∑︁𝑖=1(𝑄𝑖−𝑄𝑖−1)𝑊[︂𝑟2𝑆4𝑇(𝑡−𝑡𝑖−1)]︂其中，𝑡𝑖−1𝑡𝑡𝑖,𝑡0=0，𝑄0=0。当𝑡−𝑡𝑖≥25𝑟2𝑆𝑇(𝑖=1,2,···,𝑛)时的Jacob形式为：𝑠=0.183𝑇𝑛∑︁𝑖=1(𝑄𝑖−𝑄𝑖−1)lg2.25𝑇(𝑡−𝑡𝑖−1)𝑟2𝑆4.1.5利用Theis公式确定水文地质参数Theis公式可用于承压含水层中完整井抽水时的水位预测，在允许降深条件下可预测井的涌水量。Theis公式另一个重要应用，就是根据抽水试验资料确定含水层水文地质参数。求参方法：配线法：根据Theis标准曲线求参；Jacob直线图解法：根据Jacob近似公式求参；水位恢复试验法：根据水位恢复试验资料求参。4.1.5利用Theis公式确定水文地质参数4.1.5.1配线法原理:函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象向右平移𝑎(𝑎0)，再向上平移𝑏(𝑏0)得到新图象，记(𝑥,𝑦)为函数𝑦=𝑓(𝑥)图象上的任意一点，(𝑥′,𝑦′)为新图像上相应的点，则{︃𝑥′=𝑥+𝑎𝑦′=𝑦+𝑏新图像的解析式为𝑦=𝑓(𝑥−𝑎)+𝑏。y=by=bx=ax=aOy=f(x)y=f(x)+by=f(x-a)+bxy4.1.5利用Theis公式确定水文地质参数4.1.5.1配线法原理：如果两函数图像形状相同，则由一函数的图像通过水平及垂直的平行移动可以得到另一函数的图像。y=by=bx=ax=aOy=f(x)y=f(x)+by=f(x-a)+bxy4.1.5利用Theis公式确定水文地质参数4.1.5.1配线法★“降深-时间(𝑠∼𝑡)”配线法:𝑠=𝑄4𝜋𝑇𝑊(𝑢),𝑡=𝑟2𝑆4𝑇·1𝑢等式两边取对数：lg𝑠=lg𝑊(𝑢)+lg𝑄4𝜋𝑇lg𝑡=lg1𝑢+lg𝑟2𝑆4𝑇在双对数坐标纸上，曲线𝑠∼𝑡与𝑊(𝑢)∼1𝑢形状相同，位移为(lg𝑟2𝑆4𝑇,lg𝑄4𝜋𝑇)；因此，通过水平方向与垂直方向的平移量可计算出𝑇与𝑆。𝑠∼𝑡配线法可使用一个观测孔不同时刻的降深值求参。4.1.5利用Theis公式确定水文地质参数4.1.5.1配线法★“降深-时间(𝑠∼𝑡)”配线法:若以距离抽水井𝑟的观测孔降深观测资料(𝑡𝑖,𝑠𝑖),𝑖=1,2···𝑛在双对数坐标纸上绘制𝑠∼𝑡曲线，则曲线与𝑊(𝑢)∼1𝑢形状相同，位移为(lg𝑟2𝑆4𝑇,lg𝑄4𝜋𝑇)；步骤：1)在双对数坐标纸上绘制𝑊(𝑢)∼1𝑢标准曲线；2)在另一张模数相同的透明双对