第2章 控制系统的状态空间描述.ppt2

第二章控制系统的状态空间描述2.1引言2.2状态空间模型2.3状态空间表达式的建立2.4系统状态方程的线性变换2.5由状态空间表达式求传递函数阵2.6离散时间系统的状态空间表达式2.7利用MATLAB进行系统数学模型的转换小结2.1引言20世纪60年代,人们将状态空间的概念引入控制理论，产生了以状态空间描述为基础,最优控制为核心的现代控制理论。系统动态特性的状态空间描述由两个数学方程组成，一个是反映系统内部状态变量和输入变量间因果关系的状态方程;另一个是表征系统内部状态变量及输入变量与输出变量转换关系的输出方程。状态空间法具备如下优点：（1）在数字计算机上求解一阶微分方程组或者差分方程组，比求解与它相当的高阶微分方程或差分方程要容易。（2）状态空间法引入了向量矩阵，大大简化了一阶微分方程组的数学表示法。（3）在控制系统的分析中，系统的初始条件对经典法感到困难的问题，采用状态空间法就迎刃而解了。（4）状态空间法能同时给出系统的全部独立变量的响应，不但反映了系统的输入输出外部特性，而且揭示了系统内部的结构特性，既适用单输入单输出系统又适用多输入多输出系统。（5）状态空间法可利用计算机进行分析设计以及实时控制，所以可应用求解大量的非线性系统、时变系统、随机过程和采样系统。（6）利用现代空间法进行系统综合时，是非常有利的。建立动态系统的状态空间模型是状态空间分析和综合的基本问题和前提,本章2.3节在介绍状态空间分析法基本概念的基础上，讨论动态系统状态空间表达式建立问题;2.4节介绍动态系统数学模型的等效变换,包括状态向量的线性变换与状态空间表达式标准型、系统的高阶微分方程描述化为状态空间描述、系统的传递函数描述化为状态空间描述、由系统状态空间表达式求传递函数阵;2.2~2.5节以连续系统为研究对象,2.6节讨论离散系统的状态空间模型;2.7节介绍应用MATLAB进行系统模型变换。1.系统的基本概念2.动态系统的两类数学描述3.状态的基本概念2.2状态空间模型2.2.1状态空间的基本概念1.系统的基本概念■系统:是由相互制约的各个部分有机结合，且具有一定功能的整体。■静态系统:对于任意时刻t，系统的输出惟一地取决于同一时刻的输入，这类系统称为静态系统。静态系统亦称为无记忆系统。静态系统的输入、输出关系为代数方程。■动态系统:对任意时刻，系统的输出不仅与t时刻的输入有关，而且与t时刻以前的累积有关(这种累积在t0(t0t)时刻以初值体现出来)，这类系统称为动态系统。由于t0时刻的初值含有过去运动的累积，故动态系统亦称为有记忆系统。动态系统的输入、输出关系为微分方程。2.动态系统的两类数学描述(1)外部描述外部描述通常称为输入、输出描述，这种描述把系统的输出取为系统外部输入的直接响应，显然这种描述回避了表征系统内部的动态过程即把系统当成一个“黑匣”，认为系统的内部结构和内部信息全然不知，系统描述直接反映了输出变量与输入变量间的动态因果关系。考察图2－1所示的n级RC网络。图中虚线框内为具有放大器隔离的n级RC电路,设放大器的输入阻抗为无穷大，输出阻抗为零，放大倍数为1。图2－1n级RC网络buyayayaynnnn)1(1)1(1)(（2-1）系统以输入u、输出y作为变量的外部描述为式(2-1)所示的高阶线性常系数微分方程,即(2)内部描述状态空间描述是内部描述的基本形式，这种描述是基于系统内部结构分析的一类数学模型。其由两个数学方程组成:一个是反映系统内部状态变量x1,x2,…,xn和输入变量u1,u2,…,ur间因果关系的数学表达式，称为状态方程，其数学表达式的形式对于连续时间系统为一阶微分方程组，对于离散时间系统为一阶差分方程组;另一个是表征系统内部状态变量x1,x2,…,xn及输入变量u1,u2,…,ur与输出变量y1,y2,…,ym转换关系的数学表达式，称为输出方程,其数学表达式的形式为代数方程。重新考察图2-1的电网络，利用电路知识容易得到如下一阶微分方程组x)1(122222211111111dd11dd11ddncnncnnncncccccuCRuCRtuuCRuCRtuuCRuCRtu（2-2）及cnLLuRRRy0(2-3)在已知输入u的情况下，解方程式（2-2）、式（2-3）,不仅可求出输出响应y，而且能得知系统内部电容上电压随时间变化的动态过程信息。因此,式（2-2）、式(2-3)是图2-1所示电网络系统的一种完全描述。3.状态的基本概念(1)状态状态是完全地描述动态系统运动状况的信息，系统在某一时刻的运动状况可以用该时刻系统运动的一组信息表征，定义系统运动信息的集合为状态。(2)状态变量定义完全表征动态系统时间域运动行为的信息组中的元素为状态变量。状态变量组常用符号x1(t),x2(t),…,xn(t)表示，且它们相互独立（即变量的数目最小）。【例2】确定图2－2所示电路的状态变量。图2－2RLC电路要惟一地确定t时刻电路的运动行为，除了要知道输入电压u(t)外，还必须给出流过电感上的初始电流i(t0)和电容上的初始电压uC(t0)，或者说uC(t)和i(t)这两个变量可用来完全地描述该电路的运动行为，且它们之间是独立的，故uC(t)和i(t)是该电路的状态变量。(3)状态向量设x1(t),x2(t),…,xn(t)是系统的一组状态变量，把这些状态变量看做向量x(t)的分量，则x(t)就称为状态向量，记为)()()(1txtxtnx(4)状态空间以x1(t),x2(t),…,xn(t)为坐标轴构成的一个n维欧氏空间，称为状态空间。(5)状态轨迹状态向量的端点在状态空间中的位置代表了某一特定时刻系统的状态。系统的状态是时间t的函数。在不同时刻，系统状态不同，则随着t的变化,状态向量的端点不断移动，其移动的路径就称为系统的状态轨迹。(6)状态方程描述系统状态变量间或状态变量与系统输入变量间关系的一个一阶微分方程组(连续系统)或一阶差分方程组（离散系统）,称为状态方程。【例3】建立图2－2所示RLC电路的状态方程。取电容上的电压uC(t)和电感中的电流i(t)作为状态变量，根据电路原理有d()()dd()()()()dccutCittitLRitututt将上式中状态变量的一阶导数放在方程左边，其余项移至方程右边，整理得一阶微分方程组为)(1)()(1d)(d)(1d)(dtuLtiLRtuLttitiCttucc上式即为图1所示电路的状态方程,并将其写成向量-矩阵形式，即)(10)()(110d)(dd)(dtuLtituLRLCttittucc(2－4)式（2-4）可简写为)(),(21tixtuxc21xxx21d)(dxxttxx令，记，，uBAxx(2－5)式中,LRLC110AL10B,(7)状态空间表达式状态方程和输出方程合起来构成对一个动态系统完整的描述，称为动态系统的状态空间表达式。图2－1所示电路,若uC(t)为输出,取x1=uC(t),x2=i(t)作为状态变量,则其状态空间表达式为2121210110110xxyuLxxLRLCxx(2-6)2.2.2系统的状态空间表达式的一般形式一、状态方程：描述系统状态与输入之间关系的、一阶微分方程（组）：()()()xtAxtBut()()()ytCxtDut、输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关系的数学表达式：二状态空间表达式——描述系统u(t)、X(t)、Y(t)之间关系的状态方程和输出方程总合。构成了对系统动态行为的完整描述。1.非线性系统用状态空间表达式描述非线性系统的动态特性，其状态方程是一组一阶非线性微分方程，输出方程是一组非线性代数方程，即),,,,,,,,(),,,,,,,,(),,,,,,,,(2121212122212111tuuuxxxfxtuuuxxxfxtuuuxxxfxrnnnrnrn(2-7)),,,,,,,,(),,,,,,,,(),,,,,,,,(2121212122212111tuuuxxxgytuuuxxxgytuuuxxxgyrnnmrnrn2.线性系统的状态空间描述若向量方程中和的所有组成元都是变量和的线性函数，则称相应的系统为线性系统。而线性系统的状态空间描述可表示为如下形式：（2－8）式中，各个系数矩阵分别为（2－9）(,)tx=fx,u(,)tygx,u12,,,nxxx12,,,ruuu()()()()ttttx=AxBuyCxDu1111111111111111()()()()(),()()()()()()()()()(),()()()()()nrnnnnnrnrmmnmmratatbtbtttatatbtbtctctdtdtttctctdtdtABCD3．线性时变系统的状态空间描述()()()()ttttx=AxBuyCxDu（2－10）一个动态系统的状态向量、输入向量和输出向量自然是时间的函数，而矩阵、、和的各个元素如果与时间有关，则称这种系统是线性时变系统。()tA()tB()tC()tD4．线性定常系统的状态空间描述矩阵，，和的各个元素如果与时间无关，则称这种系统是线性定常系统()tA()tB()tC()tD式中的各个系数矩阵为常数矩阵。()()()()ttttx=AxBuyCxDu0D=0Dx=AxBuyCx当系统的输出与输入无直接关系（即）时，称为惯性系统；相反，系统的输出与输入有直接关系（即）时，称为非惯性系统。大多数控制系统为惯性系统，所以，它们的动态方程为（2－11）5．离散系统的状态空间描述当系统的各个变量只在离散的时刻取值时，这种系统称为离散时间系统简称离散系统。其状态空间描述只反映离散时刻的变量组之间的因果关系和转换关系。是用来表示离散的时刻，那么离散系统状态空间描述的最一般形式为：0,1,2,k(1)((),(),),0,1,2,()((),(),),kkkkkkkkkxfxuygxu（2－12）对于线性离散时间系统，则上述状态空间描述还可进一步化为如下形式：(1)()()()(),0,1,2,()()()()(),kkkkkkkkkkkxGxHxyCxDu（2－13）6.单输入单输出线性定常连续系统设单输入单输出线性定常n阶连续系统，n个状态变量为x1(t),x2(t),…,xn(t),其状态方程的一般形式为ubxaxaxaxubxaxaxaxubxaxaxaxnnnnnnnnnnn2211222221212112121111输出方程的一般形式为Duxcxcxcynn2211则其向量-矩阵方程形式的状态空间表达式为Duxxxcccyubbbxxxaaaaaaaaaxxxnnnnnnnnnnn2121212121222211121121上式简记为DuyuCxBAxx式中,T21nxxxx为n维状态向量;nnnnnnaaaaaaaaa212222111211A称为系统矩阵或状态矩阵;nbbb21B称为输入