ch4_3脉冲响应不变法和双线性变换法

数字信号处理(DigitalSignalProcessing)信号与系统系列课程组国家电工电子教学基地24.1模拟低通滤波器设计4.2模拟域频率变换4.3脉冲响应不变法4.4双线性变换法4.5利用MATLAB设计IIRDF2第4章IIR数字滤波器的设计(1)将数字滤波器的设计转换为模拟滤波器的设计。(2)设计满足技术指标的模拟滤波器。(3)将模拟滤波器转换为数字滤波器。IIR数字滤波器设计的基本思想Wp,Wswp,wsH(s)H(z)频率变换设计模拟滤波器脉冲响应不变法双线性变换法34问题的提出脉冲响应不变法的基本原理脉冲响应不变法设计DF的步骤4.3脉冲响应不变法(ImpulseInvariance)45问题的提出5如何将模拟滤波器转变为数字滤波器?1.脉冲响应不变法2.双线性变换法Wp,Wswp,wsH(s)H(z)频率变换设计模拟滤波器AF到DF的转换6脉冲响应不变法的基本原理6对模拟滤波器的单位冲激响应h(t)等间隔抽样来获得数字滤波器的单位脉冲响应h[k]kTtthkh)(][脉冲响应不变法由H(s)获得H(z)步骤:1．对H(s)进行Laplace反变换获得h(t)。2．对h(t)等间隔抽样得到h[k]。3．计算h[k]的z变换得到H(z)。7脉冲响应不变法的基本原理7H(s)h(t)h[k]H(z)拉氏反变换抽样t=kTz变换1111()[()]()lMMptlllllAhtLHsLAeutsp对h(t)等间隔抽样得1[]()[]lMpkTllhkhkTAeuk11(){[]}1lMlpTlAHzZhkez脉冲响应不变法由H(s)获得H(z)步骤:-lp模拟滤波器极点为lpTe数字滤波器极点为8脉冲响应不变法的基本原理8脉冲响应不变法由H(s)获得H(z)H(s)h(t)h[k]H(z)拉氏反变换抽样t=kTZ变换1()MlllAHssp11()1lMlpTlAHzez1111lpTlspez9脉冲响应不变法的基本原理9H(ejW)和H(jw)的关系12π12π()=()jnnnnHeHjHjTTTTwWW无混叠时：1()(),πjHeHjTTWWW数字滤波器在W点的频率响应和模拟滤波器在w点的频率响应只差一个常数因子1/T。数字频率W与模拟频率w的关系为WwT例1:设一阶模拟低通滤波器的系统函数为cc)(wwssH利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出AF与DF的幅度响应。cc1()1THzezwwcc()1jTjHeeeW解：cc()Hjj利用H(s)与H(z)的映射关系，可得AF与DF的频率响应分别为其中WwT，抽样频率为50，200Hz的幅度响应如下10例1:设一阶模拟低通滤波器的系统函数为cc)(wwssH利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出AF与DF的幅度响应。解：051015202500.20.40.60.81HzDFAFfsam=50Hz11例1:设一阶模拟低通滤波器的系统函数为利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出AF与DF的幅度响应。解：02040608010000.20.40.60.81HzDFAFfsam=200Hzcc)(wwssH1213脉冲响应不变法的基本原理13脉冲响应不变法的优缺点缺点：存在频谱混叠，故不能用脉冲响应不变法设计高通、带阻等滤波器。优点：数字滤波器和模拟滤波器的频率关系为线性WwT14脉冲响应不变法设计DF的步骤1.将数字滤波器的频率指标{Wk}转换为模拟滤波器的频率指标{wk}2.由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s)。3.利用脉冲响应不变法，将H(s)转换H(z)。kkTwWWp,Wswp,wsH(s)H(z)w=W/T设计模拟滤波器脉冲响应不变法1415脉冲响应不变法设计DF的步骤[numd,dend]=impinvar(numa,dena,Fs)numa,dena：AF分子、分母多项式的系数向量Fs=1/T：抽样频率numd,dend：DF分子、分母多项式的系数向量脉冲响应不变法的MATLAB实现15例2：利用AF-BWfilter及脉冲响应不变法设计一DF，满足Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap2dB,As15dB，T=1s。解：(1)将数字低通指标转换成模拟低通指标w=W/T。wp=0.2p,ws=0.6p,Ap2dB,As15dB(2)设计模拟低通滤波器（BW型）0.10.1101lg1012lg()psAApsNww=2c0.11/(2)(101)ppANww=0.718512)(1)(c2cLwwsssH20.51621.01610.5162ss16解：(3)将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器极点为s1=0.5081+0.5080j,s2=0.50810.5080j利用1111isTissez可得DF的系统函数为1120.2974()11.05140.3620zHzzzL120.50810.5081()jjHsssss17例2：利用AF-BWfilter及脉冲响应不变法设计一DF，满足Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap2dB,As15dB，T=1s。%DesignDFBWlow-passfilterusingimpulseinvariance%DFBWLPspecficationWp=0.2*pi;Ws=0.6*pi;Ap=2;As=15;Fs=1;%Samplingfrequency(Hz)%AnalogButterworthspecficationwp=Wp*Fs;ws=Ws*Fs;%determinetheorderofAFfilterN=buttord(wp,ws,Ap,As,'s');%determinethe3-dbcutofffrequencyofBWfilterfrompass-bandspecficationwc=wp/(10^(0.1*Ap)-1)^(1/N/2);%determinetheAF-BWfilter[numa,dena]=butter(N,wc,'s');18例2：利用AF-BWfilter及脉冲响应不变法设计一DF，满足Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap2dB,As15dB，T=1s。%determinetheDFfilter[numd,dend]=impinvar(numa,dena,Fs);%plotthefrequencyresponsew=linspace(0,pi,1024);h=freqz(numd,dend,w);norm=max(abs(h));numd=numd/norm;plot(w/pi,20*log10(abs(h/norm)));xlabel('Normalizedfrequency');ylabel('Gain,dB');%computerApAsofthedesignedfilterw=[WpWs];h=freqz(numd,dend,w);fprintf('Ap=%.4f\n',-20*log10(abs(h(1))));fprintf('As=%.4f\n',-20*log10(abs(h(2))));19例2：利用AF-BWfilter及脉冲响应不变法设计一DF，满足Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap2dB,As15dB，T=1s。00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-18-16-14-12-10-8-6-4-20NormalizedfrequencyGain,dBAp=1.72dBAs=14.2dB20例2：利用AF-BWfilter及脉冲响应不变法设计一DF，满足Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap2dB,As15dB，T=1s。21双线性变换法的基本原理双线性变换法设计DF的步骤4.4双线性变换法2122双线性变换法的基本原理22原理：利用数值积分将模拟系统变换为数字系统)()(d)(dtxtaytty(1)(1)(1)d()()()dkTkTkTkTkTkTytdtaytdtxtdttassH1)(]1[][kyky{[][1]}2Tykyk{[][1]}2Txkxk用梯形面积近似积分23原理：利用数值积分将模拟系统变换为数字系统双线性变换法的基本原理23(1)[](1)[1][][1]222aTaTTykykxkxk1111(2)(1)1()21(12)(12)1TzHzzaTaTzaTz将H(z)和H(s)比较可得)()(d)(dtxtayttyassH1)(11211()()zsTzHzHs24双线性变换法的基本原理24稳定性分析11112zzTssTsTz222222(2)(2)TzTww令s=+jw，则有25双线性变换法的基本原理2510,|z|1S域左半平面映射到z域单位圆内20,|z|=130,|z|1S域虚轴映射到z域单位圆上S域右半平面映射到z域单位圆外因果、稳定的AF系统映射为因果、稳定的DF系统稳定性分析2222(2)(2)TzTww26双线性变换法的基本原理2611112zzTs1212TszTs令s=jw，z=ejW，则有22222122tan12jΩjΩjΩjΩjΩjΩeeejjTeTeeTwW2tan()2ΩTwW和w的关系为W和w的关系27双线性变换法的基本原理)2/tan(2WTwWp)(WjeH)(wjHpWsWWpwsww27双线性变换的频率非线性对DF幅度响应的影响28双线性变换法的基本原理28双线性变换法的优缺点缺点：幅度响应不是常数时会产生幅度失真优点：无混叠29双线性变换法设计DF的步骤1.将数字滤波器的频率指标{Wk}转换为模拟滤波器的频率指标{wk}2.由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s)。3.利用双线性变换法，将H(s)转换H(z)。)2tan(2kkTWw11112)()(zzTssHzH2930Wp,Wswp,wsH(s)H(z)设计模拟滤波器双线性变换[numd,dend]=bilinear(numa,dena,Fs)numa,dena：AF分子、分母多项式的系数向量Fs：抽样频率numd,dend：DF分子、分母多项式的系数向量利用MATLAB2tan()2TwW11211()()zsTzHzHs30双线性变换法设计DF的步骤解：设双线性变换中的参数为T(1)将DF的频率指标转换为AF的频率指标)2tan(2ppWwT(2)设计3dB截频为wp的一阶BW型模拟低通滤波器，即N=1,wc=wp1()1cHssw11psw故112tan(2)psTW31例3：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一个3dB截频为Wp的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的DF比较。解：设双线性变换中的参数为T(3)用双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤波器结论：参数T的取值和最终的设计结果无关。为简单起见，一般取T=2。1()12tan(2)pHssTW11tan(2)(1)()1tan(2)tan(2)1pppzHzzWWW11112zzTs32例3：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一个3dB截频为Wp的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的DF比较。解：双线性变换法设计的DF的系统函数为脉冲响应不变法设计的DF的系统函数为pp11()1eHzezWW脉取Wp0.6p，令z=ejW，可分别获得两者的幅度响应。33例3：