第六章 信号与系统的时域和频域特性

Chapter8SystemFunction系统函数本章主要内容1.系统函数；2.系统的级联型与并联型结构；3.系统函数零极点分布对时域特性的影响；4.系统函数零极点分布对频率特性的影响；8.1系统函数:(TheSystemFunction)一.系统函数:前几章已涉及到系统函数的概念，以及用系统函数描述LTI系统的问题，也得到了一些重要的结论。归纳起来看，对连续时间LTI系统有：()()()()YsHshtXs1.3．若系统稳定，的ROC包括轴，此时j()Hsste()Hs是系统与特征函数相对应的特征值。2．（单位冲激响应的拉氏变换）()()sjHjHs当是有理函数时，系统的特性表现为：()Hs•因果：ROC是最右边极点的右边。•反因果：ROC是最左边极点的左边。•因果稳定：的全部极点位于左半S平面。()Hs对离散时间LTI系统相应有：1．)()()()(nhzXzYzH2．)(zHnz是系统与特征函数相对应的特征值。（单位脉冲响应的Z变换）)(zH的ROC包括单位圆，此时jezjzHeH)()(3．若系统稳定，当是有理函数时，系统的特性表现为：)(zH•因果：ROC是最外部极点的外部，且包括。||z•反因果：ROC是最内部极点的内部，且包括。0z二.系统互联时的系统函数：1．级联：•因果稳定：的全部极点位于单位圆内。)(zH)()()(21ththth)()()(21nhnhnh12()()()HsHsHs)()()(21zHzHzH1()th2()th1()nh2()nh()xt()yt()xn()yn在时域有：2．并联：)()()(21ththth)()()(21nhnhnh在时域有：()xt()xn1()th1()nh2()nh2()th()yt()yn12RRROC：包括12()()()HsHsHs)()()(21zHzHzH3．反馈联接：1()()()YsYsGs11()[()()]()YsXsYsHs11()()()()()XsHsYsGsHs1()Hs，ROC：1R()Gs，ROC：2R1()sY()Xs()Ys1()sH()Gs-由图可列出方程：ROC：包括12RR11()()()()1()()YsHsHsXsHsGsROC：包括12RR三.系统函数的作用：1.从系统函数可以求得或。)(th)(nh4.研究实现系统时的相关结构，进行系统综合。2.已知输入信号，可以求得系统响应，反之亦然。3.分析系统的频率特性。离散时间系统有与此完全对应的结果：11()()()()1()()HzYzHzXzHzGzROC：包括12RR8.2系统的级联与并联结构:(TheCascadeandParallel-FormStructuresofSystems)一.级联型：MkkkkNkkkkdttxdbdttyda00)()(由得NkkMkkNMNkkkMkkkssabsasbsH1100)()()(合并其中共轭成对的因子，可得:221011221011()()()()()pMpkkkkkMqNqNkkkkksssbHsasss若M＝N，p=q则：221021110()pNpNkkkkkNkkkbsssHsasss这表明：系统可以由p个二阶系统与N-2p个一阶系统级联而成。其中一阶基本节为：1()()()()()kkkkksdytdxtHsytxtsdtdt一阶基本节二阶基本节为：2102210()kkkkkssHsss对应的微分方程为：kk1121022102()()()()()()kkkkdytdytytdtdtdxtdxtxtdtdt11k1k0k0k1二阶基本节当N为偶数时，可以用个二阶系统级联而成/2N2/2/210221110()()NNNkkNkkkNkkkNbssbHsHsassa离散时间LTI系统的情况相类似，由差分方程00()()NMkkkkaynkbxnk00()MkkkNkkkbzHzaz可得12120121211101211()11pNpkkkkkkkkbzzzHzazzz将分子、分母因式分解，合并共轭成对的因子，当M=N，p=q时，可以得到：1111()()(1)()(1)1kkkkkzHzynynxnxnz其中一阶基本节为：Dkk11一阶基本节1212212121()1kkkkkzzHzzz1212()(1)(2)()(1)(2)kkkkynynynxnxnxn二阶基本节为：对应的差分方程为：11k12k2kk1DD二阶基本节DDDD()xn00ba112111211/2N2/2N1/2N2/2N()yn当N为偶数时，可以用个二阶系统级联而成/2N二.并联型：将系统函数展开成部分分式，可得到并联型结构。1()NNkkNkbAHsas(假定分子与分母同阶)若不含重阶极点，且M＝N，将极点共轭成对的项两两合并，可得到：21021110()pNpNkkkkkNkkkkbsAHsasss表明：系统可以由若干个一阶和二阶系统并联而成。1()kkkAHss其中一阶基本节为：()()()kkdytytAxtdt对应的微分方程为：10kAk一阶基本节1kAk或102210()kkkkkksHsss二阶基本节为：对应的微分方程为：210102()()()()()kkkkdytdytdxtytxtdtdtdt01k0k1k1k0二阶基本节1k1k00k1k或N为偶数时又可将任意两个一阶项合并成二阶项，由此可得出系统的并联结构。离散时间系统的情况类似，将展开为部分分式()Hz若不含重阶极点，将极点共轭成对的项两两合并有：12011211112()11pNpNkkkkkNkkkbzAHzazzz11()1kkkAHzz其中一阶基本节为：()(1)()kkynynAxn11()1NNkkNkbAHzaz(假定分子与分母同阶)AkDk1一阶基本节10121212()1kkkkkzHzzz二阶基本节为：1201()(1)(2)()(1)kkkkynynynxnxn对应的差分方程为：1/2001121012()1NkkkkkbzHzazz当N为偶数时，将其它一阶项也两两合并，可得到由个二阶系统并联而成的结构。/2N0k1k1k12kDD二阶基本节DD()xn11212/2N1/2N()yn/NNbaDD1/2N0/2N0111前面已看到在H(s)或H(z)是有理函数的情况下，总能根据其零极点的分布，将系统函数表示为：8.3零极点分布对时域特性的影响：01()NiiiszHsHsp10111()1NiiizzHzHpz将H(s)或H(z)展开成部分分式时，每个极点对应一项。这表明在h(t)或h(n)中一定有一项与H(s)或H(z)的一个极点相对应，而每一项的系数则与零点有关。可见系统函数的零极点布局决定了系统的特性。一.连续时间系统:00()()()MkkkNkkkbsNsHsDsas1.当时，有：MN20121()()MNMNHsCCsCsCsHs此时，中必含有冲激和冲激的各阶导数。()ht其中是有理真分式。1()Hs111()()()NsHsDs分子阶数低于分母阶数a.若全部极点均为单阶，则有：11()()NNkkkkkAHsHssp如果系统因果，有：1()()kNptkkhtAeutb.当有重阶极点时，设为r阶极点，则有：111()()()rNkkkkkrkBAHsspsp1p2.当是有理真分式时，分子的阶数低于分母阶数，将其展开成部分分式：()Hs()()dXstxtds()htAt11112123111()()()()2!1()()1!kptptptNptptrrkkrhtBeutBteutBteutBteutAeutr（）3.极点分布与系统时域特性的关系：①负实轴上的单阶极点()()kAHsasa()()atkhtAeutja极点越远离轴,衰减越快。()htj②左半平面的共轭单阶复数极点220()()kAHsasa00()[sin]()atkAhtetutajaj)(]cos[)(0tuteAthatk零点的引入只改变了的幅度和相位。sa()kht220()()()kAsaHsasa若220()()kAsBHsasa更一般的情况：BAj00222200()/()()()()kBAaAsaHssasa000()cossin()atatkBAahtAetetut0sin()()atketut220()BAakA10tgABAa其中：③S=0的单阶极点()0kAHss()()khtAutj()khtAt④轴上的单阶共轭极点j222222000()kAsBAsBHssss0000()cossin()sin()()kBhtAttutKtutjBA对左半平面重阶极点的情况，可以按类似方法分析。•对重阶实极点有以下信号模式：21();();;();atatratteutteutteut对重阶复极点有以下信号模式：200sin()();sin()();atattetuttetut10sin()();rattetut2200()ABKA10tgAB其中：二.离散时间系统:采用类似的方法讨论:1.当MN时，有:12()0121()()MNMNHzCCzCzCzHz其中是有理真分式1()Hz111()()()NzHzDz分子阶数低于分母阶数我们只讨论MN的情况。在中必含有和它的移位。)(n()hn此时，2.MN时，将展开成部分分式()Hza)H(z)只含单阶极点的情况：11()1NkkkAHzPz1()()()NnkkkhnPunAb)H(z)有r阶重阶极点的情况：P1当H(z)在有r阶极点时，11111()1(1)rNkkkkkrkBAHzPzPz()()dXznxnzdz（假定系统是因果的）与连续时间的情况一样，H(z)的极点决定了系统的时域特性模式，零点决定其幅度和相位。11213111(1)(2)()()(1)()()2!(1)(2)....(1)()()(1)!nnnNnnrkkkrnnhnBpunBnpunBpunnnnrBpunApunr3.单位圆内的极点:一阶实极点的情况：1()1kkkAHzaz()()()nkkkhnAauna0时，单调指数衰减;()hn()hnn()hnnReImjaReImja()hna0时，摆动指数衰减。极点越靠近原点，衰减得越快。()hn共轭极点的情况：0011()11kjjAAHzrezrez