3.1不等关系与不等式(一)

问题1．限速10km/h的路标，指示司机前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过10km/h.写成不等式是V≤10不等式用不等号（＜、＞、≤、≥、≠）表示不等关系的式子叫不等式。“不等号”是英国数学家哈里奥特（T.Harriot）于1631年开始使用的，但当时并没有被数学界所接受，直到100多年后，才逐渐成为标准的应用符号。二、用不等式（组）来表示不等关系问题2今天的天气预报说：明天早晨最低温度为9℃，明天白天的最高温度为16℃，那么明天白天的温度t℃满足什么关系？答案：9≤t≤16用不等式（组）来表示不等关系二、用不等式（组）来表示不等关系问题2某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？2.5(80.2)200.1xx问题3某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两种规格。按照生产的要求，600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？分析：设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根二、用不等式（组）来表示不等关系**50060040003xyxyxNyN新课讲授2.文字语言与数学符号间的转换.文字语言数学符号文字语言数学符号大于至多≤小于至少≥大于等于≥不少于≥小于等于≤不多于≤三、不等式基本原理a-b0=aba-b=0=a=ba-b0=ab比较两实数大小的方法—作差比较法：比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a-b的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号．比较两数（式）的大小的最基本和首选的方法：判断符号变形作差归纳逻辑过程：例1.)4)(2()5)(3(的大小与比较aaaa解:)4)(2()5)(3(aaaa)82()152(22aaaa.07).4)(2()5)(3(aaaa比较两个数(式)的大小的方法:作差,与零比较大小..11,02422的大小与比较已知xxxx练习：?,x,:关系如何　　　那么两式的大小这个条件如果没有在上例中想一想0选讲【分析】采用作差比较法，要注意运用幂的运算性质对差式进行化简，并运用指数函数的性质判断差值与零的大小关系.设mn0,a0,比较am+a-m与an+a-n的大小.【解析】【评析】作差法比较大小，关键是判断差的符号，应注意应用函数性质.1:()性质对称性abbaabacbc2:()性质传递性:()性质3加法的单调性abacbc:推论abacbdcd:()性质4乘法的单调性,0abcacbc:推论100abacbdcd:推论2*0(,2)nnababnNn*0(,2)nnababnNn(同向不等式的可乘性)(可乘方性、可开方性)例1.应用不等式的性质，证明下列不等式：（1）已知ab，ab0，求证：；11ab证明：（1）因为ab0，所以10ab又因为ab，所以11ababab即11ba因此11ab例1已知0ab,0c,求证:cabcab解:法一:作差比较法∵()()cabccbababaccbaababab∵0,0,0ababab∵0c∴()0cbaab作差变形定符号确定大小∴cabcab例1已知0ab,0c,求证:cabcab解:法二:巧用不等式的性质(综合法)∵0ab,0c,∴0ab∴11ababab即11ba∴ccba(两边同乘以一个负数不等号方向要改变)从已知出发运用不等式的性质变形继续变形∴cabcab∴ccab∴11ccab这里的关键是活用各种变形,那么有哪些变形是要熟记的?不等式的性质例5.对于实数a，b，c，判断下列命题的真假.(1)若ab,则acbc；(2)若ac2bc2,则ab；(3)若ab0,则a2abb2；(4)若ab0,则|a||b|；(5)若cab0,则.(6)若ab,,则a0,b0.ba11bcbaca注意：若要判断命题是真命题，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等；若判断命题是假命题,只需举一反例.学点四应用不等式的性质讨论范围已知,求,的范围.2222【分析】已知的不等式相当于所以本题其实就是已知单角范围求和角、差角范围，所以要进行不等式的加减.但我们只有这样的性质：同向不等式可相加，那么要进行不等式相减怎么办？那只有将其转化为同向不等式再相加..,22,22例.【解析】【评析】两个不等式要相减时，不能直接相减，而要转化为同向相加：α-β=α+(-β).同时要注意，本题中的取不到等号，而左边可以取到等号，这一点极易出错.222022例.（1）如果30x36，2y6，求x－2y及的取值范围。18x－2y32，518xy（2）若－3ab1，－2c－1，求(a－b)c2的取值范围。因为－4a－b0，1c24，所以－16(a－b)c20学点四应用不等式的性质讨论范围xy课堂练习）（立的是，则下列不等式成，、、若baRcba1.||||.D11.C.B11.A2222cbcacbcababaC课堂练习）（取值范围是的，则满足若22、2.02.D22.C0.B.AB4(1)1,1(2)5ff)3(f求:的取值范围.已知:函数,)(2caxxf解：因为f(x)=ax2－c,所以(1)(2)4facfac解之得1[(2)(1)]314(2)(1)33affcff所以f(3)=9a－c=85(2)(1)33ff4(1)1,1(2)5ff因为所以8840(2)333f≤≤5520(1)333f≤≤两式相加得－1≤f(3)≤20.还有其它解法吗?提示:整体构造(3)(1)(2)fff利用对应系数相等,.求的与从而求其范围本题中a与c是一个有联系的有机整体,不要割断它们之间的联系注意:练习：已知－4≤a－b≤－1，－1≤4a－b≤5，求9a－b的取值范围。解：设9a－b=m(a－b)+n(4a－b)=(m+4n)a－(m+n)b，令m+4n=9，－(m+n)=－1，解得，58,33mn所以9a－b=(a－b)+(4a－b)5383由－4≤a－b≤－1，得5520()333ab≤≤由－1≤4a－b≤5，得8840(4)333ab≤≤以上两式相加得－1≤9a－b≤20.例11.甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食（同一品种），两次粮食的价格不同，两位采购员的购粮方式也不同.其中，甲每次购买1000kg,乙每次购粮用去1000元钱，谁的购粮方式更合算？解：设两次价格分别为a元，b元，则甲的平均价格为元，乙的平均价格为.∴乙合算.2bam0)(2)(22,20001000100022bababaabbanmbaabban1.不等关系a≤b或a≥b的含义是什么？不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”，其含义是指“或者ab，或者a=b”等价于“a不大于b”，即若ab或a=b之中有一个正确，则a≤b正确.如23正确，则2≤3没有逻辑错误，因为2,3是具体数值，“23”比“2≤3”更确切.从集合的观点看，如果a,b是两个实数，则有{(a,b)|a≥b}={(a,b)|ab}∪{(a,b)|a=b}，同理，{(a,b)|a≤b}={(a,b)|ab}∪{(a,b)|a=b}.不等式a≥b应读作“a大于或者等于b”，其含义是指“或者ab，或者a=b”,等价于“a不小于b”,即若ab或a=b之中有一个正确，则a≥b正确.2.如何理解不等式的性质?(1)性质1说明把不等式的左边与右边交换，所得的不等式与原不等式异向.（2）性质2说明不等式的传递性提供了两个实数a,c在比较大小时的一种间接方法——媒介法（即通过中间值作媒介来比较大小），同时它也是对不等关系作适当放缩的依据.（3）性质3说明①有了不等式的加法单调性，不等式的移项法则也就有了理论依据，因而不等式就可以像方程一样地变形、化简；②这里的推论还可以推广到任意有限个同向不等式两边可以分别相加，也就是说，多个同向不等式两边分别相加，所得的不等式与原不等式同向.（4）性质4说明①在一个不等式的两边同乘一个非零实数时，不等号是否改向取决于所乘的这个数的正负性；②在性质4的推论中，要注意所有的字母都是正数，例如，如果仅有ab,且cd，就不能推出acbd；同时有两个异号不等式，如ab0,0cd，也不能推出acbd.不等式的性质刻画了在一定条件下两个量的不等关系，值得注意的是其中有一类具有充要性的特征，条件和结论可互相推出，解不等式的每一变形只能依据这一类性质，才能保证变形的同解性；另一类性质只具有充分性的特征，它可以作为证明不等式的依据，但不能作为解不等式的依据.ba11ba11ba113.应用不等式的性质应注意什么？另外注意不要强化或弱化不等式性质成立的条件.例如，在应用“ab,ab0”这一性质时，有些同学可能是弱化了条件，得到ab，也可能是强化了条件，而，得到ab0.1.不等关系是这一章的理论基础，是比较两个实数或代数式的大小的理论基础.比较法中的作差法，实际上是比较这两个实数（或代数式）的值的大小，而这又归纳为判断它们差的符号，这又必然归纳到实数运算的符号法则.2.不等式的性质是不等式的基础，包括四个性质定理及五个推论.不等式的性质是解不等式和证明不等式的主要依据，只有正确地理解每条性质的条件和结论，注意条件的变化，才能正确地加以运用.利用不等式的性质，寻求命题成立的条件是不等式性质的灵活运用.3.对于假命题只需举一反例即可，当然亦可从条件入手推出与结论相反的结论.4.解决此类问题一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的七条性质.不等式的性质内容对称性传递性加法性质乘法性质指数运算性质倒数性质;abbaabbacacbba,;cbcabadbcadcba,;,bcaccba0bdacdcba00,bcaccba0,;nnbaba0nnbaba0baabba110,要弄清每一性质的条件和结论,注意条件的放宽和加强,以及条件与结论之间的相互联系.关于不等式性质的学习要注意紧扣基本性质证明问题.小结必修5第74页a+b≥0h4x例３．如果30x42,16y24,求x+y,x-2y,的范围？ybca例４：已知ab0,cd0，求证：d5:0,12xx例已知求证1+x