3.1从算式到方程复习

1.方程的概念方程是指含有未知数的等式。方程必须满足两个条件：①含有未知数，②是等式.比如1+2=3是等式，但不是方程，因为它没有未知数.2.未知数在研究方程之前未知的数叫未知数。如5x-4=8中，x是未知数，而5，-4，8是已知数。再如关于x的方程ax+x=b+c（a≠-1）中，x是未知数，而a,b,c是已知数。方程的解为1acbx3.方程的解使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。只含有一个未知数的方程的解，也叫做根。反过来，已知方程的解，则代入后，方程左右两边的值相等（可以用于验算）。4.一元一次方程（1）只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为0的方程叫做一元一次方程。一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)，它的解是x=。ab4.一元一次方程（2）我们判断一个方程是不是一元一次方程要看它化简后的最简形式是不是标准形式ax+b=0(a≠0)。例如方程4x-7=3x-7+x表面上看有一个未知数x，且x的次数是一次，但化简后为0x=0，所以不是一元一次方程。一元一次方程必须具备三个条件：①只含有一个未知数；②含有未知数的式子是整式；③未知数的次数为1.•例1.下列(1)至(6)的式子中，哪些是方程？哪些是一元一次方程？•(1)y=2x(2)3x2-4x+5=0(3)•(4)3a-a=2a(5)5x+7-(6)m2+1=0.(7)x-2=2-x•答：在(1)至(7)的式子中，_________是方程；__________是一元一次方程.x2•例2.已知方程2x2-3x=x+16.试确定下列各数x1=2,x2=-2,x3=-3,x4=4，谁是此方程的解？•例3.已知x=3是方程•2x2+(m-1)x=6的解，求m的值.••例4．（1）已知是关于x的一元一次方程•，则•m=.•（2）如果方程•与关于x的方程•的解相同，求n的值.0332mxmm412312xxnxx2214等式的性质cbcaba，那么如果【等式性质2】bcacba，那么如果cbcacba那么　如果,0【等式性质１】注意1、等式两边都要参加运算，并且是作同一种运算。2、等式两边加或减,乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子。3、等式两边不能都除以0，即0不能作除数或分母.第2课时：等式的性质例1．下列各式中，变形正确的是（）．A．若ab，则acbcB．若(1)2ax，则21xaC．若2ab，则4abD．若1ab，则221ab2、下列变形符合等式性质的是（）A、如果2x-3=7，那么2x=7-3B、如果3x-2=1，那么3x=1-2C、如果-2x=5，那么x=5+23,131xxD那么，如果3、依据等式性质进行变形，用得不正确的是（）yxyxA5,5那么、如果05,5yxyxB那么、如果2521,5yxyxC那么、如果aayxyxD5,5那么、如果DD4、判断下列说法是否成立，并说明理由xbxaba得、由,153,53,2xyyx得、由2,23xx得、由（）（）（）应满足的条件是，那么且、如果ccbcaba,5.oc（因为x可能等于0）（等量代换）（对称性）6、在学习了等式的性质后，小红发现运用等式的性质可以使复杂的等式变得简洁，这使她异常兴奋，于是她随手写了一个等式:3ａ+ｂ-2＝7ａ+ｂ-2，并开始运用等式性质对这个等式进行变形，其过程如下：3ａ+ｂ＝7ａ+ｂ（等式两边同时加上2）3ａ＝7ａ（等式两边同时减去ｂ）3＝7（等式两边同时除以ａ）变形到此，小红顿时就傻了：居然得出如此等式！于是小红开始检查自己的变形过程，但怎么也找不出错误来。聪明的同学，你能让小红的愁眉在恍然大悟中舒展开来吗？例2．用等式的性质解方程：(1)53x；(2)11x；(3)24x；(4)142x；(5)5100x；(6)123x．例1：下列四个式子中，是方程的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．32511x231x222aabbB例2.判断下列各式是不是方程，并说明理由：(1)3+5=4+4(2)2a+3b(3)x+2y=5(4)x+6=3x-5（1）不是方程，因为它是不含未知数等式；（2）不是方程，因为它不是等式，它是一个代数式；（3）是方程，它是含有未知数x,y的等式。（4）是方程，它是含有未知数x的等式。例3：下列所给方程：⑴，⑵，⑶，⑷，⑸是一元一次方程的是的个数有（）Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．4个15xxx5123521x4321yy0522xxB例4：x＝3是下面哪个方程的解（）A.B.3x-9＝6xC.D.3x+4＝7例5：方程3x-7y＝6-y的解是（）A.x＝0，y＝-1B.x＝2，y＝0C.x＝1，y＝D.以上都是75233xx2112xBA例6：下列等式变形正确的是（）A.若x=y，则B.若a=b，则a-3=3-bC.若2πr1=2πr2,则r1=r2D.若，则a=cdcba22ayaxc例7．已知x=-4是方程2x+3|a|=x-1的解，求a的值。分析：已知x=-4是方程的解，所以把x=-4代入方程，左右两边相等，于是有2×(-4)+3|a|=-4-1，这是一个关于|a|的方程，可以把|a|求出来，再进一步确定a的值。解：∵x=-4是方程2x+3|a|=x-1的解，∴2×(-4)+3|a|=-4-1，∴-8+3|a|=-5，由等式的基本性质1得：-8+8+3|a|=-5+8，即3|a|=3，由等式的基本性质2得：|a|=1，∴a=±1。例8：已知方程是一元一次方程，求k的值.061122xkxk解：由题意得：故K=-11101012kkkk例9：方程（a-1）x2-ax+1=0是一元一次方程，则a不等于（）A、0B、1C、±1D、-1B例10：检验x=5和x=4是不是方程6x-5=2x+11的解。解：当x=5时，左边=6×5-5=30-5=25，右边=2×5+11=10+11=22，∴左边≠右边，∴x=5不是原方程的解；当x=4时，左边=4×6-5=24-5=19，右边=2×4+11=8+11=19，∴左边=右边，∴x=4是原方程的解。例11.根据已知条件列出方程.⑴某数比它的4倍小8.⑵代数式与x+1互为相反数.⑶x克食盐溶化到100克水中，用代数式表示此盐水的含盐百分比.53x41解：⑴设某数为x，则所求方程为：x=4x-8，或x+8=4x，或4x-x=8.⑵或⑶014153xx14153xx%100100xx例12.根据已知条件列出方程。（1）某数的8倍减去5等于它的4倍加上3；（2）某数比它的大7；（3）某数与3的和的平方比它的平方大4；（4）某数与5的差的3倍等于33；（5）某数与-7的和的与某数加上的和互为相反数；（6）某数的平方比它自身的2倍多8。533221解：设某数为x，则根据条件列出方程为：(1)(2)(3)(4)(5)(6)3458xx753753xxxx或4322xx3353x021732xx822xx例13.一个两位数，个位上的数字是a,十位上的数字是b，把它们对调，得到另一个数，用式子分别表示这两个数及它们的差，这样的差能被9整除吗？为什么？解：个位上的数字是a,十位上的数字是b的两位数可表示为：10b+a;把它们对调，得到另一个数可表示为：10a+b，它们的差为：(10b+a)-(10a+b)=9(b-a)，所以这样的差能被9整除.例14.有一个两位数，它的个位数字与十位数字的和为8，并且这个两位数除以十位上的数字与个位上的数字的差，所得的商为11，余数为5，若设这个两位数的十位数字为x,那么怎么列方程求这个两位数？分析：设十位上的数字为x,则个位上的数字为8-x这个两位数可写为：10x+(8-x)=9x+8,据题意可列方程：9x+8=11[x-(8-x)]+5解此方程得:x=7，8-x=1故这个两位数为71.例15.已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a的值.分析：利用等式性质将关于x的方程整理成形如ax=b的形式，由于无解，则a=0,b≠0.解：整理方程得：（2a-3）x=a-2∵此方程无解∴2a-3=0，a-2≠0∴a=21例16.已知关于x的方程2a(x-1)=(5-a)x+3b有无数个解，试求a、b的值.分析：利用等式性质将关于x的方程整理成形如ax=b的形式，由于有无数个解，则a=0,b=0.解：整理方程得：（3a-5）x=2a+3b∵此方程有无数个解∴3a-5=0，2a+3b=0∴a=，b=35910例17.若方程是一元一次方程，求m的值.解：当m+3=0或m+3=1的时候方程为一元一次方程即m的值为-3或-2xxm5553若这个方程为，情况又是怎样？xxm5553例18.当x=3时，二次三项式的值是-19，则当x=时，这个二次三项式的值是多少？732axx211973332a解：由题意得：解得：a=-5所以当x=,这个二次三项式的值是：=2172152132441