复变函数第二讲

第二讲区域主讲人：王东明2010年.秋学期1.平面点集的有关概念(1)邻域：平面上以z0为中心,以d(任意的正数)为半径的开圆:|z-z0|d内部的点的集合称为z0的邻域。去心邻域：由不等式0|z-z0|d所确定的点集称为z0的去心邻域。δz0开集：设G为一平面点集,z0为G中任意一点.如果存在z0的一个邻域,该邻域内的所有点都属于G,则称z0为G的内点.（2）开集与闭集闭集：平面上不属于G的点的全体称为G的余集，记作,开集的余集称为闭集。CG边界：设D为复平面内的一个区域,若在点z0的任一邻域内既有G的点,又有的点，则称z0是G的边界点.G的所有边界点组成G的边界。CG如果G内的每个点都是它的内点,则称G为开集孤立点:z0属于G,若在z0的某一邻域内除z0外不含G的点，则称z0为G的一个孤立点。孤立点一定是G的边界点。有界集：若存在一个以z=0为中心的圆盘包含G，则称G为有界集，否则称G为无界集。G孤立点边界邻域dz0例题:{:||}GzzR例是一个开集。R{:||}GzzR问2：是什么集合？{:||}GzzR问3：是什么集合？||zRG问1：＝是的边界吗？（3）区域平面点集D满足下列两个条件，则称之为区域：1)D是一个开集;2)D是连通的。(即：D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连接起来)Dz1z2区域区域D和它的边界构成闭区域或闭域，记作：D故：区域就是连通开集(1)0(2)|2|1(3)0arg3zzziz-例题：表示方法：a、参数方程：z(t)=x(t)+iy(t)b、动点z所满足的关系式光滑曲线：如果在闭区间[a,b]上Rez(t)和Imz(t)都是连续的，且它们的导函数恒不为零，则称此曲线为一条光滑曲线。类似地，可以定义分段光滑曲线。(4)平面曲线简单曲线：设C:z=z(t)(atb)为一条连续曲线,z(a)与z(b)分别为C的起点与终点对于满足at1b,at2b的t1与t2,当t1t2但z(t1)=z(t2)时,点z(t1)称为曲线C的重点.没有重点的连续曲线C,称为简单曲线或若当(Jardan)曲线z(a)=z(b)简单,闭z(a)z(b)简单,不闭z(a)=z(b)不简单,闭不简单,不闭z(a)z(b)若当曲线定理:任一简单闭曲线把平面分成两个区域，它们都以该曲线为边界，其中一个为有界区域，称为该简单闭曲线的内部；另外一个为无界区域，称为外部。简单闭曲线的这一性质,其几何直观意义是很清楚的.内部外部C如果对区域D内的任一条简单闭曲线的内部总属于D,则称D为单连通区域。一个区域若不是单连通区域,就称为多(复)连通区域.单连通区域多连通区域(5)连通区域2、无穷远点:我们规定它的实部、虚部、辐角无意义，模等于：(1)特殊的“复数”—无穷大，记为：10由＝来定义,无穷远点的邻域:无穷远点的去心邻域:||0zMM（，为实数）0||Mz||注(2)它和有限复数的基本运算为：aa(0)aaa)(0);0(0aaaa下列运算无意义：,0,/,0/0除了复数的平面表示方法外,还可以用球面上的点来表示复数.对复平面内任一点z,用直线将z与N相连,与球面相交于Z点,则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系,而N点本身可代表无穷远点,记作。这样的球面称作复球面.3、复球面oxzZyzN作业：3214(2)(4)16(1)P