复变函数论第7章第3节

)9.7().0(不具有保角性及在zz先考察幂函数nzw,0时因为当z,0ddzw角所构成的映射是处处保由nzw由第二章知，的单叶性区域是顶幂函数nzw.2的角形域点在原点张度不超过n平面内除所以在z1、幂函数与根式函数)1(的正整数为大于n,0外及zz的:)9.7(d在角形区域于是幂函数zarg0,)20(内是单叶的n.因而是共形的从而，zdzarg0:)9.7(平面的角形域将幂函数)20(n平面的角形域共形映射成w.arg0:nwD00zwnnzwxyuvdD0特殊地:π2arg0nz角形域平面上除去原点wn2,00映射成正实轴的上岸π.2π2映射成正实轴的下岸n上岸0沿正实轴剪开的w平面下岸zwnzwnzw及正实轴的区域共形映射的逆变换幂函数nzwnwz)10.7(nwDwarg0:平面上的角形域将)20(n.arg0:zdz平面上的角形域共形映射成映射特点:把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域,但张角变成为原来的n倍.根式函数因此，,)(成角形域时或缩小若要把角形域扩大.)(所构成的映射来实现或根式函数常用幂函数BD.)(ihaCaIm0,Rezhzaz的上半求把具有割痕.平面的共形映射平面映射成上半w分析:关键点是将垂直于x轴的割痕的两侧与x轴之间的夹角展平.)(2来实现映射可利用zw00例1zxywuv解0BD.)(ihaCaazz10BD.ihC212zz0BD.C2h0BD.C2h223hzzz1z2z3zxy如图，，简单变换将所求变换分解成下列0BD.C2h3z0BDCh..h34zzazw40BDCha..ha.w4z,复合上述五个变换得所要求的变换为：.)(22ahazwuvazw434zz223hzz212zzazz12例求一变换，共形映射成将区域2arg4z上半平面，.0,1,20,,1wiiz依次变成并使:解zoxy,])[(4314变成上半平面可将指定区域由于zei.0,1,40,,13变成但它把点iiz0i1i3414314])[(zei,面的分式线性变换再作上半平面到上半平.0,1,20,1,43w依次变成使其变换为.43)24()14(2333w034133343)24()14(2w0wuv21复合两个变换，得所求变换为.43))(24())(14(2334433443zezewii指数函数zew)11.7(,0)(ze在任意点均有平面上是处处因而它在z.保角的由第二章知，的单叶性区域是指数函数zew.2的带形区域过平行于实轴且宽度不超:)11.7(g在带形区域于是指数函数hzIm0,)20(内是单叶的h.因而是共形的2、指数函数与对数函数00i2zewzwxyuv?1||πIm0wz映射成单位圆求把带形域.的共形映射解zeiiwieiewzz例30izxyoow13、由圆弧构成的两角形区域的共形映射借助于分式线性变换，以及幂函数或指数函数的复合，可以将二圆弧或直线段所构成的两角形区域共形映射成一个标准区域，比如上半圆周.由于分式线性变换的保角性，它把已给两角形区域共形映射成同样形状的区域、或弓形区域、或角形区域.只要已给圆周(或直线)上有一个点变为w=，则此圆周(或直线)就变成直线.如果它上面没有点变为w=，则它就变为有限半径的圆周.所以，若二圆弧的一个公共点变为w=，则此二圆弧所围成的两角形区域就共形映射成角形区域.2C1C所围成的交角为与求把下图中由圆弧21CC的的月牙域映射成角形域arg00z共形映射.0??例4ozo解i2C1C1,21iiCC的交点为与,0iz,izi实现此步的映射是分式线性函数:.为待定的复常数其中kizizkizizkozo1z此映射将,1,使取ik.1平面上的正实轴则C..arg0,根据保角性:月牙域被映射成角形域i2C1C1iizizk.11ikiikioozi2C1C1iizizi.00逆时针旋转0iew因此所求映射为:iziziewi0izizei)2π(0ozoow11..ABDCE11..映射成单位圆求把上半单位圆0Im,1:zz.1的共形映射w??)1(21zziiw121222izzizzw解例5ozowoABCDEo11..ABDCEABDCE课程结束