《高等代数》：学习笔记

~1~《高等代数(上)》：学习笔记这是我自学的笔记做成的电子档，其中有许多注释，尽量深入浅出，以供大家学习。有些笔误也修正差不多了。课本和王德明老师的符号略有不同，但意思是一样的，祝大家都能通过考试。第一章行列式§1.1定义D=|2314|=2×4−3×1=5A=[2314]≡(2314)这是行列式（或写为|D|）这是矩阵，注意区别{a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3=b3这是三元线性方程组D=|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31§1.2逆序数τ(j1,j2,⋯,jn)§1.3n阶行列式的代数和D=||a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋯⋯⋯⋯⋯⋯an1an2⋯ann||=∑(−1)τ(j1,j2,⋯,jn)(j1,j2,⋯,jn)a1j1a2j2⋯anjn§1.4行列式性质1、行列式转置值不变：DT=D2、k可以乘上某行(列)：kDrowi3、加法：某行之和展开为两行列式之和：Drow(a+b)=Drow(a)+Drow(b)4、互换两行(列)：负号Drowi↔rowk=−D5、两行相同(成比例)：零值Drowi=k×rowk=06、某行乘以k加到另一行：值不变Dk×rowi+rowk=D3阶行列式右下斜线为正左下斜线为负代数和n阶排列，有n!个逆序数偶排列，正号奇排列，负号判断逆序数的奇偶性n阶排列~2~§1.5代数余子式Aij=(−1)i+jMij|D|=ak1Ak1+ak2Ak2+⋯+aknAkn(k=1,2,⋯,n)即展开第k行(列)§1.6范德蒙行列式|D|=||111⋯1a1a2a3⋯ana12a22a32⋯an2⋯⋯⋯a1n−1a2n−1a3n−1⋯ann−1||=∏(ai−1≤j𝑖≤𝑛aj)第二章线性方程组§2.1克莱姆法则D1=|b1a12a13b2a22a23b3a32a33|D2、D3类似左边解集：xi=DiD(D≠0)当D≠0时，方程组有唯一解：x1=D1D,x2=D2D,x3=D3D.(D≠0)§2.2消元法初等变换：反复对方程进行row变换，最后剩下一个上三角矩阵。如果线性方程组D≠0，则初等变换后的上三角矩阵，元首都不为0。§2.3数域P：包含0、1且任意两个数的基本运算仍属于P。如实数R，有理数Q，复数C§2.4n维向量α=(a1,a2,a3,⋯,an)(ε1,ε2,ε3,ε4,)=1000010000100001数量乘积：kα零向量：0负向量：−α行向量与列向量：αrow(column)代数余子式余子式：删去i,j所在的行与列后得到的n-1阶行列式所在行列的和(同等于逆序数τ)表示所有可能的差ij如：(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1)(2-1)只有当常数项b不全为零时，且s=n时才可用克莱姆法则系数行列式(b在1列)该解法适用于n阶n维基本向量组n阶行列式~3~§2.5线性相关β=k1α1+k2α2+⋯+ksαs线性相关充要↔k有解充要↔可线性表出充要↔系数矩阵r=增广矩阵r向量组等价：(α1,α2,⋯,αn)互相线性表出↔(β1,β2,⋯,βn)k1α1+k2α2+⋯+ksαs=0α线性相关α线性无关K有解，且不全0K只有零解|D|＝0|D|≠0sns=n时不一定αi都可被(α1,α2,⋯,αn)线性表出αi不能被(α1,α2,⋯,αn)线性表出不可逆，因为分母不能为0可逆rn，称退化的r=n称非退化(或满秩)特征值λ有重根，不一定相关特征值λ无重根一定无关极大线性无关组：每个向量αi都不能被前面某些向量线性表出例(α1,α2,α3)§2.6秩rank=极大线性无关组的向量个数行秩＝列秩＝行列式秩(D最高阶子式≠0)§2.7求全部解和基础解系的步骤第一步：求梯阵增广矩阵A初等变换→梯阵第二步：求一般解求x1,x2,⋯,xr的一般解第三步：求特解γ0设自由x=0，求γ0第四步：求齐次的一般解使常数b=0，求一般解x1,x2,⋯,xr第五步：求基础解系将εi代入自由x，求基础解系η1,η2,⋯,ηn−r第六步：答：得全部解γ=γ0+k1η1+k2η2+⋯+kn−rηn−r由向量组线性表出线性组合rank=n，有唯一解rankn，有无穷多解不能表出，即α3≠k1α1+k2α2n-r个详见书P154-155页例6注：如果是求矩阵化和求特征值，只需求基础解系ηi，又称特征向量εi即n维基本向量组有待更进一步补充常数项为0的充要条件全部解特解基础解系即xr+1,xr+2,⋯,xn−r~4~第三章矩阵附1：矩阵名词汇总：方阵：s=n系数矩阵：s×n增广矩阵：s×(n+b)梯阵：左下=0约化梯阵：左下0，元首1三角矩阵：左下0，s=n对角矩阵：Λ除对角线，余为0单位矩阵：E，对角1零矩阵：O，全0数量矩阵：kE转置矩阵：AT分块矩阵：[⋮⋯∙⋯⋮]满秩矩阵：rank=n逆矩阵：A−1伴随矩阵：A∗等价矩阵：A初等变换↔B初等矩阵：E初等变换一次正交矩阵：AAT=E，|A|=±1相似矩阵：A~B,B＝X−1AX约当形矩阵：二次形矩阵：详看§5.1实对称矩阵：实数，对角线对称(半)正定矩阵：λ全(≥)0(半)负定矩阵：λ全(≤)0不定矩阵：λ不全𝑜𝑟0标准形矩阵：对角线1or0附2：一般n维线性方程组、s×n维矩阵、n维向量组的表示法f(x1,x2,⋯,xn)={a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯as1x1+as2x2+⋯+asnxn=bsAX=B↔[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋯⋯⋯⋯⋯⋯as1as2⋯asn][x1x2⋯xn]=[b1b2⋯bs]β=k1α1+k2α2+⋯+knαnα1=(a11,a21,⋯,as1)α2=(a12,a22,⋯,as2)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯αn=(a1n,a2n,⋯,asn)β=(b1,b2,⋯,bs)Rank即矩阵的秩b即系数左下：对角线左三角形对角线上的元素λ即特征值注：s为行数，n为列数(未知数个数)附：有的书行数用m表示注：这个ki既可理解为：基础解系ηi的系数ki也可以理解为：矩阵对角化后对角线的元素λ1还可以理解为：二次型|λE−A|的特征值λ1(同上句)附：本书中用拉丁字母表示向量(或称矢量，但王老师或某书中用“α⃑⃑”表示，我认为不错，不易混淆。注：bi全为0时，称齐次线性方程组bi不全为0时，称非齐次线性方程组~5~§3.1矩阵运算1、加(减)法：A±B性质：交换律：A±B=B±A结合律：A+(B+C)=(A+B)+C2、乘法：C=A×B性质：AB不一定=BA（当AB=BA，称可交换）AE=EA=A结合律：A(BC)=(AB)Ck次幂：Ak∙Al=Ak+l(Ak)l=Akl非交换律：(AB)k≠AkBk§3.2分块分块后矩阵的基本运算依然等价A∙B=[A1A2A3A4][B1B2B3B4]=[A1B1+A2B3A1B2+A2B4A3B1+A4B3A3B2+A4B4]§3.3逆矩阵伴随矩阵：A∗=[A11A21⋯An1A12A22⋯An2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯A1nA2n⋯Ann]求逆公式：A−1=1|A|A∗§3.4等价矩阵等价矩阵：A初等变换→B初等矩阵：由E做1次初等变换标准形：同时做行、列变换，对角线为1的个数＝r用单位矩阵求逆：[AE]行变换→[EA−1]各个元素对应相加（减），即aij±bij注：A的|row|=B的|column|例：AB=[1232−11024][21−102110−2]=[55−550−544−1]201×××++＝51、求aij的代数余子式Aij2、对应的元素要转置cij=ai1b1j+ai2b2j+⋯+ainbnj附：这是一个求逆的简便方法，但易出错，3阶矩阵建议用求逆公式。详见书P183页AB~6~§3.5正交矩阵性质:AAT=ATA=E|D|=±1(α,β)=a1b1+a2b2+⋯+anbn=0内积性质：正交化：{β1=α1β2=α2−(α2,β1)(β1,β1)β1β3=α3−(α2,β1)(β1,β1)β1−(α3,β2)(β2,β2)β2βs=αs−(α2,β1)(β1,β1)β1−(α3,β2)(β2,β2)β2−⋯−(αs,βs−1)(βs−1,βs−1)βs−1施密特正交化方法单位化：ηi=βi|βi|第四章矩阵的对角化§4.1相似矩阵A~B1、反身性：A~A2、对称性：A~B→B~A3、传递性：A~B,B~C→A~C4、行列式等值：|A|=|B|5、同时可逆or不可逆6、B1+B2=X−1(A1+A2)X7、B1B2=X−1(A1A2)X8、kB1=X−1(kA1)X9、f(B)=X−1f(A)X10、kE=X−1(kE)X对角矩阵：[a1,a2,a3,⋯,an]准对角矩阵：[A1,A2,A3,⋯,An]向量组的内积内积公式又称正交向量组，α,β一定线性无关α1,α2,⋯,αn线性无关，求正交化的β1,β2,⋯,αn的公式详见书P219页例1注：|βi|=√(β1,β1)正交向量组B=X−1AX11、有相同的特征多项式12、有相同的特征值13、有相同的迹（即对角线元素个数）注：这里的Ai是指分块矩阵，不是代数余子式正交单位向量组这里我设ηi=(h1i,h2i,⋯,hsi)，数学中并没有明确规定符号附：由于向量通常是指列向量，如把βs改βn更易理解，谨记！例：[1212√2201212√22012−120√2212−120√22]任意两行或列的内积必为0（又称归一化）（s=r)β2=α2−c2，且有矩形0β2α2c2β3=α3−c3，且有矩形0β3α3c3β3β2α1=β1α2c3c2α30c32c31附：正交化向量关系图分配律：(α+β)∙γ=(α,γ)+(β,γ)结合律：(α,β)γ=α(β,γ)交换律：αβ=βα~7~§4.2特征值和特征向量Aα=λ0α求全部特征向量的步骤：第一步：列出特证多项式f(λ)=|λE−A|=||λ−a11a12⋯−a1n−a21λ−a22⋯−a2n⋯⋯⋯⋯⋯⋯−an1−an2⋯λ−ann||=(λ1−d1)(λ2−d2)⋯(λ3−dn)第二步：求λ的解注：考虑是在Q、R、C数域范围内，特征根的个数不同第三步：求基础解系将λi代入|λE−A|，求基础解系见§2.7第五步第四步：答：得特征向量§4.3对角化条件AB=X−1AX→B§4.4实对称矩的对角化求正交矩阵T的步骤第一步：求特征值即|λE−A|，求λ见§4.2第二步：求λ1的特征向量λ1代|λE−A|，求基础解系α1见§2.7第五步第三步：求特征向量α1的正交化β1,β2,⋯,βn见§3.5第四步：求单位化η1,η2,⋯,ηn见§3.5第五步：重复第二、三、四步，withλ2,λ3,⋯,λn第六步：得正交矩阵T=[η1η2⋯ηn]=[h11h12⋯h1nh21h22⋯h2n⋯⋯⋯⋯hn1hn2⋯hnn]n阶矩阵特征值特征向量特证值(根)特征矩阵特征多项式属于λ1的特证向量：k1α1+k2α2+⋯属于λ2的特证向量：l1β1+l2β2+⋯详见书P241页例1等价于基础解系，只是表示方法略不同A与对角矩阵相似，称A对角化一定是对角形矩阵充要：有n个线性无关的特征向量充要：有n个线性无关的特征向量，即n个不同的特特征值X即A的特征向量构成的矩阵任何实对称矩阵都可以对角化详见书P257页例1di是系数条件注：有时候会有重复个相同的特征值的特征向量即注：X，即A的特征向量构成的矩阵，X不是唯一的。~8~第五章二次型§5.1二次型及矩阵表示f(x1,x2,⋯,xn)=a11x12+2a12x1x2+⋯+2a1nx1xn+a22x22+⋯+2a2nx2xn+⋯⋯⋯⋯⋯⋯+annxn2=a11x12+a12x1x2+⋯+a1nx1xn+a21x2x1+a22x22+⋯+a2