《高等数学B》 第二章 极限与连续 第1节 数列的极限

§l数列的极限一、引例截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211X第一天截下的杖长为;221212X为第二天截下的杖长总和;2121212nnXn天截下的杖长总和为第nnX2111二、数列的有关概念定义:按自然数,3,2,1编号依次排列的一列数,,,,21nxxx(1)称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的项,nx称为通项(一般项).数列(1)记为}{nx.例如;,2,,8,4,2n;,21,,81,41,21n}2{n}21{n对数列}{nx,若存在正数M,使得一切自然数n,恒有Mxn成立,则称数列}{nx有界,否则,称为无界.例如,;1nnxn数列.2nnx数列数轴上对应于有界数列的点nx都落在闭区间],[MM上.有界无界满足条件如果数列nx,121nnxxxx单调增加,121nnxxxx单调减少单调数列。或子列的子数列为原数列到的一个数列称中的先后次序，这样得原数列保持这些项在中任意抽取无限多项并在数列)(}{}{}{nnnxxx,,,,,21nixxxx,,,,21knnnxxx.}{knnxxkxxkknnnnkkk项，显然，中却是第在原数列而项，是第中，一般项在子数列注意：例如，.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn三、数列极限的定义问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值？如果是，如何确定？nxn.1)1(1,1无限接近于无限增大时当nxnnn问题:“无限接近”意味着什么？如何用数学语言刻划它.1nxnnn11)1(1通过上面演示实验的观察:,1001给定,10011n由,100时只要n,10011nx有,10001给定,1000时只要n,1000011nx有,100001给定,10000时只要n,100011nx有,0给定,)]1[(时只要Nn.1成立有nx定义设数列}{nx,若存在一个常数a,对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正整数N,使得对于Nn时的一切nx,不等式axn都成立,那末就称常数a是数列}{nx的极限,或者称数列}{nx收敛于a,记为,limaxnn或).(naxn如果数列没有极限，就说数列是发散的.注意:;.1的无限接近与刻划了不等式axaxnn2.N与任意给定的正数有关.x1x2x2Nx1Nx3x几何解释:2aaa.)(,),(,落在其外个至多只有个只有有限内都落在所有的点时当NaaxNnn其中;:每一个或任给的.:至少有一个或存在.,,0,0limaxNnNaxnnn恒有时使―N定义：注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.例1.1)1(lim1nnnn证明证1nx由于1)1(1nnn.1n,0任给,1nx要,1n只要,1n或所以，,]1[N取,时则当Nn1)1(1nnn就有.1)1(lim1nnnn即证毕.例2.lim,)(CxCCxnnn证明为常数设证CxnCC,成立,0任给所以，0,n对于一切自然数.limCxnn说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证明数列极限存在时，关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.,0证毕.例3.1,0limqqnn其中证明证,0任给,0nnqx,lnlnqn,]lnln[qN取,时则当Nn,0nq就有.0limnnq,0q若;00limlimnnnq则,10q若,lnlnqn证毕.四、收敛数列的性质性质1(极限的惟一性)收敛数列的极限必惟一.证,lim,limbxaxnnnn又设由定义，使得.,,021NN;1axNnn时恒有当;2bxNnn时恒有当,,max21NNN取时有则当Nn)()(axbxbannaxbxnn.2.时才能成立上式仅当ba故收敛数列极限惟一.证毕.性质2(有界性)收敛数列必为有界数列.证,limaxnn设由定义，,1取,1,axNnn时恒有使得当则N.11axan即有,}1,1,,,max{1aaxxMN记,,Mxnn皆有则对一切自然数.有界故nx注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.证毕.性质3(保号性)若且a0(或a0),则必存在正整数N,当nN时,恒有(或).,limaxnn0nx0nx证设a0,取,正整数N,当nN时,有2a,2||aaxn.2320axan即证毕.根据这个性质,可得如下结论:若(或),且则a0(或a0).0nx0nx,limaxnn性质4(收敛数列与其子数列间的关系)收敛数列的任一子数列也收敛,且极限相同..)1(41是发散的说明数列试用性质nnx(证明略)