【非常学案】2014-2015学年高中数学 2.2.2 第1课时 等差数列的前n项和课件 新人教B版

教学教法分析课前自主导学当堂双基达标思想方法技巧课堂互动探究课后知能检测教师备课资源2.2.2等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和●三维目标1．知识与技能(1)掌握等差数列前n项和公式，理解公式的推导方法．(2)能较熟练应用等差数列前n项和公式求和．2．过程与方法经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，培养观察、归纳、反思和逻辑推理的能力．3．情感、态度与价值观通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得成功．●重点难点重点：等差数列前n项和公式的推导和应用．难点：公式推导的思路．本课在设计上采用了从特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用分类讨论、类比归纳的思想，层层深入．通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导、师生互动、讲练结合，突出重点、突破难点．课标解读1.了解等差数列前n项公式的推导过程．(难点)2.掌握等差数列前n项和公式及其应用．(重点)3.能灵活应用等差数列前n项和的性质解题．(难点、易错点)等差数列的前n项和公式【问题导思】1．你知道高斯求和的故事吗？请同学们交流一下，高斯是怎样求1＋2＋3＋…＋100的结果的？【提示】对于这个问题，著名数学家高斯十岁时就能很快求出它的结果．当时他的思路和解答方法是：S＝1＋2＋3＋…＋99＋100，把加数倒序写一遍S＝100＋99＋98＋…＋2＋1.所以有2S＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(99＋2)＋(100＋1)＝100×101，∴S＝50×101＝5050.2．你能用高斯的计算方法求1＋2＋3…＋n的值吗？【提示】设Sn＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n，①又Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1，②两式相加得2Sn＝(1＋n)＋(2＋n－1)＋…＋(n＋1)＝n(n＋1)，∴Sn＝nn＋12.3．我们把高斯的这种计算方法称为倒序求和法．你能用这种方法推得等差数列{an}的前n项和Sn吗？【提示】Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－2)d]＋[a1＋(n－1)d]，Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a2＋a1＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋…＋[an－(n－2)d]＋[an－(n－1)d]，∴2Sn＝(a1＋an)×n，∴Sn＝na1＋an2.③4．问题3中求出的Sn是已知等差数列首项、末项与项数时求前n项和Sn的公式，如果用an＝a1＋(n－1)d替换末项，问题3中求出的Sn会变形为怎样的形式呢？【提示】Sn＝na1＋12n(n－1)d.(1)一般地，称为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝.(2)等差数列的前n项和公式：Sn＝＝.a1＋a2＋…＋ana1＋a2＋…＋anna1＋an2na1＋12n(n－1)d等差数列前n项和公式的基本运算在等差数列{an}中，(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8；(2)已知a2＋a4＝485，求S5.【思路探究】(1)能否把已知条件写成关于a1，d的方程组并求出a1，d进而解出a8的值？(2)能否使用等差数列的下标和性质求出a1＋a5？可以求S5的值吗？【自主解答】(1)法一∵a6＝10，S5＝5，∴a1＋5d＝10，5a1＋10d＝5，解得a1＝－5，d＝3.∴a8＝a6＋2d＝16.法二∵S6＝S5＋a6＝15，∴15＝6a1＋a62，即3(a1＋10)＝15.∴a1＝－5，d＝a6－a15＝3.∴a8＝a6＋2d＝16.(2)法一a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝485，所以a1＋2d＝245.所以S5＝5a1＋12×5×(5－1)d＝5a1＋2×5d＝5(a1＋2d)＝5×245＝24.法二a2＋a4＝a1＋a5，所以a1＋a5＝485.因为Sn＝na1＋an2，所以S5＝5×a1＋a52＝52×485＝24.1．等差数列{an}中，a1和d是两个基本量，利用等差数列通项公式与前n项和公式，列方程组解a1和d是解决等差数列问题的常用方法，要注意结合等差数列的性质．2．两个公式共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，通项和前n项和，其中a1，d为基本量．通过这两个公式及an＝a1＋(n－1)d可解决“知三求二”问题．(1)在等差数列{an}中，已知a3＋a15＝40，求S17；(2)在等差数列{an}中，已知a3＝16，S20＝20，若Sn＝110，求n.【解】(1)a1＋a17＝a3＋a15，∴S17＝17a1＋a172＝17a3＋a152＝17×402＝340.(2)设{an}的公差为d，则a1＋2d＝16，20a1＋20×192d＝20，解得a1＝20，d＝－2，所以20n＋nn－12×(－2)＝110，即n2－21n＋110＝0，所以n＝10或n＝11.等差数列前n项和公式的实际应用一支车队有15辆车，某天依次出发执行任务．第1辆车于下午2时出发，第2辆车于下午2时10分出发，第3辆车于下午2时20分出发，依此类推．假设所有的司机都连续开车，并且都在下午6时停下休息．(1)到下午6时，最后一辆车行驶了多长时间？(2)如果每辆车的行驶速度都是60km/h，这支车队当天一共行驶了多少路程？【思路探究】(1)各车辆行驶的时间是否构成等差数列？(2)最后一辆车行驶的时间是这个数列的第几项？(3)所有车行驶的总时间该如何计算？【自主解答】由题意，知第1辆车休息时行驶了240min，各辆车行驶的时间构成一个等差数列{an}，其中a1＝240，公差d＝－10，则an＝240－10(n－1)＝－10n＋250.(1)因为a15＝－10×15＋250＝100，所以到下午6时，最后一辆车行驶了100min.(2)这支车队所有车辆行驶的总时间为240＋1002×15＝2550min＝852h，所以这支车队当天一共行驶的路程为852×60＝2550(km)．遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型．(2)深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n.假设某市2013年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积(以2013年为累计的第一年)将达到4750万平方米？【解】设中低价房面积形成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列，且a1＝250，d＝50，则Sn＝250n＋nn－12×50＝25n2＋225n令25n2＋225n＝4750即n2＋9n－190＝0，且n为正整数，∴n＝10.∴到2022年底，该市历年所建中低价房的累计面积将达到4750万平方米.由Sn求an已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求{an}的通项公式．(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n－2.【思路探究】(1)已知Sn如何求通项公式an?(2)用an＝Sn－Sn－1时应注意什么问题？【自主解答】(1)当n＝1时，a1＝S1＝2×12－3×1＝－1；当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)＝2n2－7n＋5，则an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－(2n2－7n＋5)＝2n2－3n－2n2＋7n－5＝4n－5.此时若n＝1，an＝4n－5＝4×1－5＝－1＝a1，故an＝4n－5.(2)当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1；当n≥2时，Sn－1＝3n－1－2，则an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝3n－3n－1＝3·3n－1－3n－1＝2·3n－1.此时若n＝1，an＝2·3n－1＝2·31－1＝2≠a1，故an＝1，n＝1，2·3n－1，n≥2.若数列{an}的前n项和为Sn，则Sn与an存在如下关系：an＝S1，Sn－Sn－1，n＝1，n≥2.一定要注意分n＝1和n≥2两种情况讨论，当n＝1时，也适合an＝Sn－Sn－1，最后的结论可以合二为一，若不适合，必须写成分段函数an＝S1，Sn－Sn－1，n＝1n≥2的形式．已知数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋n＋2.(1)求{an}的通项公式；(2)判断{an}是否为等差数列？【解】(1)∵Sn＝－2n2＋n＋2，∴当n≥2时，Sn－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2＝－2n2＋5n－1，∴an＝Sn－Sn－1＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)＝－4n＋3.又a1＝S1＝1，不满足an＝－4n＋3，∴数列{an}的通项公式是an＝1，n＝1，－4n＋3，n≥2.(2)由(1)知，当n≥2时，an＋1－an＝[－4(n＋1)＋3]－(－4n＋3)＝－4，但a2－a1＝－5－1＝－6≠－4，∴{an}不满足等差数列的定义，{an}不是等差数列．等差数列前n项和的计算(12分)已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．【思路点拨】由{an}中的两项a1＝1，a3＝－3，可设出公差列方程组求解．【规范解答】(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3.解得d＝－2.4分从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.6分(2)由(1)可知an＝3－2n.所以Sn＝n[1＋3－2n]2＝2n－n2.8分进而由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35.10分又k∈N*，故k＝7为所求.12分等差数列中通项公式和前n项和公式的计算问题往往转化成a1，d两个基本量的计算问题．1．求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法．2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量．在求等差数列的和时，一般地，若已知首项a1及末项an，用公式Sn＝na1＋an2较好；若已知首项a1及公差d，用公式Sn＝na1＋nn－12d较好．3．已知数列的前n项和Sn，可以求通项公式an为：an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.1．在等差数列{an}中，已知a1＝3，d＝2，则S10＝()A．120B．240C．180D．280【解析】S10＝10a1＋10×92×d＝10×3＋45×2＝120.【答案】A2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于()A．13B．35C．49D．63【解析】a2＋a6＝a1＋a7＝14，∴S7＝7a1＋a72＝49.【答案】C3．若数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋5，则a5＋a6＋a7＝________.【解析】a5＋a6＋a7＝S7－S4＝(49＋14＋5)－(16＋8＋5)＝39.【答案】394．已知{an}是等差数列，a1＋a3＋a5＝9，a6＝9，求此数列前10项的和．【解】由a1＋a3＋a5＝3a3＝9，∴a3＝3，∴a1＋2d＝3，a1＋5d＝9，∴a1＝－1，d＝2.∴S10＝10×(－1)＋10×92×2＝80.课后知能检测点击图标进入…已知数列{an}的前n项和Sn＝－32n2＋2052n，求数列{|an|}的前n项和Tn.【思路探究】先由Sn求an，再讨论an的符号求Tn.【自主解答】a1＝S1＝－32×12＋2052×1＝101，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－3n＋104，∵n＝1也适合上式，∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104(n∈N*)，由a