第五届挑战杯数学建模网络挑战赛获奖论文

第五届数学中国数学建模网络挑战赛参赛队号#2165第五届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛承诺书我们仔细阅读了第五届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们允许数学中国网站()公布论文，以供网友之间学习交流，数学中国网站以非商业目的的论文交流不需要提前取得我们的同意。我们的参赛队号为：2165参赛队员(签名)：队员1：崔学伟队员2：胡晓楠队员3：李文胜参赛队教练员(签名)：参赛队伍组别：本科生组第五届数学中国数学建模网络挑战赛参赛队号#2165第五届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛编号专用页参赛队伍的参赛队号：（请各个参赛队提前填写好）：2165竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：第五届数学中国数学建模网络挑战赛参赛队号#21652012年第五届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛题目碎片化趋势下的奥运会商业模式关键词优化微分方程统计Matlablingo摘要：本论文主要研究企业利用社交网络进行企业宣传的相关问题。随着数字化时代的发展，社交网络的宣传影响力越来越大。因此，有必要建立数学模型进行研究分析。本文首先通过问题一预测出一条宣传信息的传播人数，然后利用网络资源得到社交网络用户的相关数据，进而直接得出问题二中雇佣的专业推广者人数。最后建立优化模型，对最小成本目标进行约束，得出最优的雇佣方案。对于问题一，首先对题目所给数据进行处理，建立理想条件模型，得出一个专业推广者条件下100天的传播人数为3.5115×10131。然后通过增加假设，考虑用户之间粉丝重复比例ω以及看到并转发的比例v，建立微分方程模型，求解出一个专业推广者在100天的传播人数2.0873×107人。对于问题二，首先我们根据问题一的结果，可以由简单方程求解出至少需要2名专业推广者。然后，建立最小成本的优化模型，并对40%的覆盖率进行约束，最后可以求解得最优的雇佣方案是2个专业推广者和12个兼职宣传者。参赛队号2165所选题目C参赛密码（由组委会填写）第五届数学中国数学建模网络挑战赛参赛队号#2165AbstractThethesismainlyresearchestheproblemthatthecompaniesadvertisethemselveswithSNS.Withdevelopmentoftheeraofdigitization,theeffectofSNSbecomesstronger.Soitisnecessaryforustosetupmathematicalmodeltoanalyze.Thethesisfirstlypredictsthenumberofpeoplethatoneadvertisementspreadsthroughthequestionone.ThenwecangettheprofessionalspreaderinquestiontwodirectlywiththenetworkresourceofusersinSNS.Finallywesetupoptimizationmodelofminimumcosttogettheoptimalemployscheme.Forquestionone,wedealwiththeinitialdataandsetupanidealmodelfirstly.Andwecanknowoneprofessionalspreaderin100dayscanspread3.5115×10131people.Thenthroughaddingupsuppositionandconsideringtheproportionωandvofrepeatingfunsandretransmission,wesetupdifferentialmodeltosolvethatoneprofessionalspreaderin100dayscanspread2.0873×107people.Forquestiontwo,weusetheresultofquestiononetosolveoutrequiring2professionalspreadersatleastthroughsimplenon-equality.Thenwesetupoptimizationmodelofminimumcostandusetheconditionofcoveringratetorestrain.Finallywesolveouttheoptimalemployscheme.Itcontains2professionalspreadersand12part-timepropagandists.第五届数学中国数学建模网络挑战赛参赛队号#21651一、问题重述随着2012年伦敦奥运会的临近，越来越多的企业不甘心错过奥运会这个吸引大众眼球的宣传机会，他们在寻找新的新闻传播渠道。当今社会的数字化普及让时间、传播渠道、受众的注意力、品牌营销方式都变得碎片化了。他们利用社交网络可以获得更加丰富的比赛信息和网友的评论。这也为更多的企业提供了在奥运期间宣传自己的机会。现在设想一家企业想利用社交网络在奥运会期间进行企业宣传，假设现在距离奥运会开幕还有100天，一个社交网络的专业推广者平均每天可以新增500个粉丝，这些粉丝会把推广者发布的和奥运会相关的所有信息都分享给自己的粉丝们，普通网络用户平均每天可以新增20个粉丝。现在，我们考虑以下两个问题：问题一：请建立数学模型，预测奥运会开始后，一条含有企业广告的奥运会新闻可以被多少人观看到？问题二：假设企业产品的潜在用户大约有2亿人，他们都在使用社交网络，企业希望广告宣传覆盖其中40%的人群，至少需要雇佣几名专业社交网络推广者才能实现？假设专业推广者每天的工资是500元。还可以从网络上雇佣兼职宣传者，每天仅需要付50元的工资，但是他们平均每天新增的粉丝数仅为35人，考虑到成本，请给企业制定一份合理的用人方案。二、定义与符号说明2.1定义有效粉丝：关注后会知道该含有企业广告的新闻，并且不会删粉的粉丝；广告新闻：该条含有企业广告的奥运会新闻；2.2符号说明𝑡:从宣传之日起进行的天数，题中t=0…100，t=100表示开幕式当天；λ1:每天每个专业推广者粉丝都会新增粉丝数，λ1=500；λ2:每天每个普通用户都会新增粉丝数，λ2=20；λ3:每天每个兼职宣传者都会新增粉丝数，λ3=35；𝑣:新增粉丝中看到并且会转发该广告新闻的人数占新增粉丝总人数的比例；𝑥(t):宣传开始t天时看到该条广告新闻的人数，𝑥(0)表示开始宣传时看到该广告新闻的人数；γ:平均一个用户的粉丝数；𝑛:专业社交网络推广者的人数；第五届数学中国数学建模网络挑战赛参赛队号#21652𝑚:网络兼职宣传者人数；𝑁0:从宣传开始到奥运会开幕式当天，社交网络用户总数；s(t):第t天已经知道该条广告新闻的人数占社交网络用户总人数的比例；𝑔:企业通过社交网络宣传的费用；q：为平均每天每个用户发布信息数量；Q：为整个社交网络发布信息数量；三、问题分析3.1问题一的分析3.1.1数据初探及简单处理.问题一是一个方程问题，要求建立模型预测奥运会开幕式时看到该条广告新闻的人数。对于此类问题，我们可以建立微分方程模型并逐步优化、改进。对于附件中的数据“socialgraph.data”，我们用Microsoftexcel2010打开后得到一个835541×2的矩阵，其中每一行中的两个数据之间存在follow关系，即后者为前者的粉丝。我们在“socialgraph.dada”数据前两列后分别插入一列835541个数值全为1的单元格，再插入数据透视表，再添加到报表，分别如图1.1a、1.1b、1.1c，可以很直观的得到：ⅰ:第一列数据表示一共有2503个用户;ⅱ:第二列数据表示一共有465002个新粉丝;ⅲ:原始数据中一共有835541行;图1.1.a图1.1.b第五届数学中国数学建模网络挑战赛参赛队号#21653图1.1.c其中原始数据中，每一列中均含有空白用户名的用户除去这些用户之后，继续上面的做法，如图1.2.a、1.2.b，可以得到:ⅰ:第一列数据表示一共有2502个用户;ⅱ:第二列数据表示一共有464995个新粉丝;ⅲ:新数据中一共有835423行;于是我们得到结论：除去这一部分数据后队员数据影响可以忽略不计;图1.2.a图1.2.b第五届数学中国数学建模网络挑战赛参赛队号#216543.1.2频数分布条形图接下来，使用条形图直观的描述这些数据的频数分布情况，分别见图1.3.a、图1.3.b。图1.3.a图1.3.b3.1.3分析小结基于以上分析，我们可以首先建立一个理想状态下的数学模型Ⅰ。然后，我们再对该模型进行合理优化改进。第五届数学中国数学建模网络挑战赛参赛队号#216553.2问题二的分析3.2.1概述问题二是一个优化问题，要求我们在达到预期的情况下求专业推广者的最低雇佣数，并建立合理优化模型，在考虑成本的情况下制订出一套合理的用人方案。其中问题二需要使用问题一中所得到的结论。3.2.2简单方程求解在计算最低雇佣人数时，我们使用问题一的计算结果，即在有n个推广者的情况下100天可以增加的粉丝数为已知，这样通过不等式𝑓(𝑛)≥2×108×40%便可以得到最低雇佣人数𝑛𝑚𝑖𝑛，其中𝑓(𝑛)为n的函数，表示n个专业推广者在100天内可以将该广告新闻传播给的人数。3.2.3优化模型在计算用人方案时，使得雇佣n个专业推广者与m个兼职宣传者所用成本最小为目标函数，达到预期的宣传效果（即看到该广告新闻的人数达到一定数量）为约束条件。四、模型的假设4.1问题一的假设（1）假设题目中所给数据真实可靠，Twitter用户与其他社交用户的信息传播方式是相同的；（2）假设每位推广者新增的粉丝都没有相同的；（3）设时刻t看到该条广告新闻人数𝑥(t)是连续、可微函数；（4）每天新增粉丝服从均匀分布，不会出现某天没粉丝某天粉丝增加很多的情况；（5）根据实际情况，不妨假设不会有专业推广者成为普通网络用户的粉丝；（6）用户之间的粉丝没有个人主观意愿在里面；（7）新增粉丝均为有效粉丝；（8）不会出现社交网络禁止转发的情况（例如:在2012年3月31日-4月3日，我国就出现过各大微博停用评论功能[1]的情况）（9）所有社交网络信息传播的效果都是一样的。第五届数学中国数学建模网络挑战赛参赛队号#216564.2问题二的假设：（1）假设问题一中计算结果可靠；（2）专业社交网络推广者与网络兼职宣传者在宣传过程中所新增加的粉丝没有本质的差别；（3）同问题一假设（1）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）；五、模型的建立与求解5.1问题一5.1.1模型Ⅰ我们不妨先考虑一个推广者的情况。根据假设可以知道，一个专业推广者每天可以新增500个粉丝，从宣传之日起到奥运会开始那天一共可以新增500×100个粉丝。普通粉丝每天可以新增20个粉丝，第一天新增的普通粉丝在接下来的99天中可以新增500×20×99个粉丝，第二天新增的普通粉丝在接下来的98天中可以新增500×20×20×98个粉丝……如此继续做下去，我们可以得到第i天新增的普通粉丝在接下来的100-i天里新增粉丝数（也就是第i+1到第100天普通粉丝新增的粉丝数）为：500×20𝑖×(100−𝑖)从而可以进一步通过求和得到第100天（奥运会开幕）时所有粉丝数目：𝑥(100)=500