江苏省2014年高考数学(文)二轮复习简易通配套课件：常考问题7 三角恒等变换与解三角形

•常考问题7三角恒等变换与解三角形[真题感悟][考题分析]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.(3)tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα.(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)tan2α＝2tanα1－tan2α.3．正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.4．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.推论：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.5．三角形面积公式S△ABC＝12bcsinA＝12acsinB＝12absinC.6．三角恒等变换的基本思路(1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧．如1＝cos2θ＋sin2θ＝tan45°等．“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”．(2)角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＋β2＝α－β2－α2－β等．•7．解三角形的四种类型及求解方法•(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．•(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一．•(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解．•(4)已知三边，利用余弦定理求解．•8．利用解三角形的知识解决实际问题的思路•把实际问题中的要素归入到一个或几个相互关联的三角形中，通过解这样的三角形即可求出实际问题的答案．注意要检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，从而得出正确结果.热点与突破热点一三角变换及应用【例1】(1)已知0βπ2απ，且cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．解(1)∵0βπ2απ，∴－π4α2－βπ2，π4α－β2π，∴cosα2－β＝1－sin2α2－β＝53，sinα－β2＝1－cos2α－β2＝459，∴cosα＋β2＝cosα－β2－α2－β＝cosα－β2cosα2－β＋sinα－β2sinα2－β＝－19×53＋459×23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.(2)tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12－171＋12×17＝13，tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tanα＋tanα－β1－tanαtanα－β＝13＋121－13×12＝1.∵tanα＝130，∴0απ2，∴02απ.又tan2α＝2tanα1－tan2α＝340，∴02aπ2.∵tanβ＝－170，∴π2βπ，∴－π2α－β0.∴2α－β＝－3π4.[规律方法](1)要仔细观察分析所求角与已知条件的关系，灵活使用角的变换，如α＝(α＋β)－β，α＝α＋β2＋α－β2等．(2)由于三角函数的多值性，故要对角的范围进行讨论，确定并求出限定范围内的角．【训练1】(2013·广东卷)已知函数f(x)＝2cosx－π12，x∈R.(1)求f－π6的值；(2)若cosθ＝35，θ∈3π2，2π，求f2θ＋π3.解(1)f－π6＝2cos－π6－π12＝2cos－π4＝2cosπ4＝1.(2)f2θ＋π3＝2cos2θ＋π3－π12＝2cos2θ＋π4＝cos2θ－sin2θ，又cosθ＝35，θ∈3π2，2π，∴sinθ＝－45，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝－2425，cos2θ＝2cos2θ－1＝－725，∴f2θ＋π3＝cos2θ－sin2θ＝－725＋2425＝1725.热点二正、余弦定理的应用【例2】(2013·苏锡常镇模拟)△ABC的面积是30，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosA＝1213.(1)求AB→·AC→；(2)若c－b＝1，求a的值．解(1)由cosA＝1213，且0Aπ，得sinA＝1－12132＝513.又S△ABC＝12bcsinA＝30，所以bc＝156，所以AB→·AC→＝bccosA＝156×1213＝144.(2)由(1)知bc＝156，又cosA＝1213，c－b＝1，在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(c－b)2＋2bc(1－cosA)＝1＋2×156×1－1213＝25，所以a＝5[规律方法]求解此类问题，一要注意从问题的不断转化中寻求解题的突破口，如求AB→·AC→，需要求出bc，由三角形的面积及cosA，可求出sinA，二要注意求解本题第(2)问时，应该结合第(1)问中的结论．【训练2】(2013·山东卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝79.(1)求a，c的值；(2)求sin(A－B)的值．解(1)由余弦定理，得cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋c2－42ac＝79，即a2＋c2－4＝149ac.∴(a＋c)2－2ac－4＝149ac，∴ac＝9.由a＋c＝6，ac＝9，得a＝c＝3.(2)在△ABC中，cosB＝79，∴sinB＝1－cos2B＝1－792＝429.由正弦定理，得sinA＝asinBb＝3×4292＝223.又∵a＝c，∴A＝C，∴0Aπ2，∴cosA＝1－sin2A＝13，∴sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝223×79－13×429＝10227.热点三解三角形在实际问题中的应用【例3】(2012·南师附中模拟)如图，现有一个以∠AOB为圆心角，湖岸OA与OB为半径的扇形湖面AOB.现欲在弧AB上取不同于A、B的点C，用渔网沿着弧AC(弧AC在扇形AOB的弧AB上)，半径OC和线段CD(其中CD∥OA)，在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ.若OA＝1km，∠AOB＝π3，∠AOC＝θ.(1)用θ表示CD的长度；(2)求所需渔网长度(即图中弧AC、半径OC和线段CD长度之和)的取值范围．解(1)由CD∥OA，∠AOB＝π3，∠AOC＝θ，得∠OCD＝θ，∠ODC＝2π3，∠COD＝π3－θ.在△OCD中，由正弦定理，得CD＝23sinπ3－θ，θ∈0，π3；(2)设渔网的长度为f(θ)．由(1)可知，f(θ)＝θ＋1＋23sinπ3－θ.所以f′(θ)＝1－23cosπ3－θ，因为θ∈0，π3，所以π3－θ∈0，π3，令f′(θ)＝0，得cosπ3－θ＝32，所以π3－θ＝π6，所以θ＝π6.当θ变化时，f′(θ)，f(θ)的变化状态如下表：θ0，π6π6π6，π3f′(θ)＋0－f(θ)极大值所以f(θ)∈2，π＋6＋236.故所需渔网长度的取值范围是2，π＋6＋236.•[规律方法]应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：•(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；•(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；•(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解．•(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．•【训练3】(2013·盐城模拟)某单位设计一个•展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一•个对角线在l上的四边形电气线路，如图•所示，为充分利用现有材料，边BC，CD•用一根5米长的材料弯折而成，边BA，AD•用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A和∠C互补，且AB＝BC，•(1)设AB＝x米，cosA＝f(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范围．•(2)求四边形ABCD面积的最大值．解(1)在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosA.同理，在△CBD中，BD2＝CB2＋CD2－2CB·CD·cosC.因为∠A和∠C互补，所以AB2＋AD2－2AB·AD·cosA＝CB2＋CD2－2CB·CD·cosC＝CB2＋CD2＋2CB·CD·cosA.即x2＋(9－x)2－2x(9－x)cosA＝x2＋(5－x)2＋2x(5－x)cosA.解得cosA＝2x，即f(x)＝2x，其中x∈(2,5)．(2)四边形ABCD的面积S＝12(AB·AD＋CB·CD)·sinA＝12[x(5－x)＋x(9－x)]1－cos2A.＝x(7－x)1－2x2＝x2－47－x2＝x2－4x2－14x＋49.记g(x)＝(x2－4)(x2－14x＋49)，x∈(2,5)．由g′(x)＝2x(x2－14x＋49)＋(x2－4)(2x－14)＝2(x－7)(2x2－7x－4)＝0，解得x＝4(x＝7和x＝－12舍)．所以函数g(x)在区间(2,4)内单调递增，在区间(4,5)内单调递减．因此g(x)的最大值为g(4)＝12×9＝108.所以S的最大值为108＝63.故所求四边形ABCD面积的最大值为63m2.