平面解析几何 高考复习知识点

平面解析几何高考复习知识点一、直线的倾斜角、斜率1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，如果把x轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线l与x轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围,0。2、直线的斜率（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即k＝tan(≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)Pxy、222(,)Pxy的直线的斜率为212121xxxxyyk；（3）直线的方向向量(1,)ak，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线：ABBCkk。例题：例1．已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围；思路点拨：已知角的范围，通过正切函数的图像，可以求得斜率的范围，反之，已知斜率的范围，通过正切函数的图像，可以求得角的范围解析：∵，∴．总结升华：在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围，或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时，可利用在和上是增函数分别求解.当时，；当时，；当时，；当不存在时，.反之，亦成立.类型二：斜率定义例2．已知△ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，∠BAC的平分线在x轴上，求边AB与AC所在直线的斜率.思路点拨：本题关键点是求出边AB与AC所在直线的倾斜角，利用斜率的定义求出斜率.解析：如右图，由题意知∠BAO=∠OAC=30°∴直线AB的倾斜角为180°-30°=150°，直线AC的倾斜角为30°，∴kAB=tan150°=kAC=tan30°=总结升华：在做题的过程中，要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向②轴正向③小于的角，只有这样才能正确的求出倾斜角.类型三：斜率公式的应用例3．求经过点，直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角．思路点拨：已知两点坐标求斜率，直接利用斜率公式即可.解析：且，经过两点的直线的斜率，即．即当时，为锐角，当时，为钝角．例4、过两点，的直线的倾斜角为，求的值．【答案】由题意得：直线的斜率，故由斜率公式，解得或．经检验不适合，舍去.故．例5．已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值．思路点拨：如果过点AB，BC的斜率相等，那么A，B，C三点共线.解析：∵A、B、C三点在一条直线上，∴kAB=kAC．即二、直线方程的几种形式1、点斜式：已知直线过点00(,)xy斜率为k，则直线方程为00()yykxx,它不包括垂直于x轴的直线。2、斜截式：已知直线在y轴上的截距为b和斜率k，则直线方程为ykxb,它不包括垂直于x轴的直线。3、两点式：已知直线经过111(,)Pxy、222(,)Pxy两点，则直线方程为121121xxxxyyyy，它不包括垂直于坐标轴的直线。4、截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为,ab,则直线方程为1byax，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。5、一般式：任何直线均可写成0AxByC(A,B不同时为0)的形式。提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点。如过点(1,4)A，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3）注：设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b，常设其方程为ykxb；（2）知直线横截距0x，常设其方程为0xmyx(它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过点00(,)xy，当斜率k存在时，常设其方程为00()ykxxy，当斜率k不存在时，则其方程为0xx；（4）与直线:0lAxByC平行的直线可表示为10AxByC；（5）与直线:0lAxByC垂直的直线可表示为10BxAyC.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。三、两直线之间的位置关系1、距离公式（1）平面上的两点错误!未找到引用源。间的距离错误!未找到引用源。。特别地，原点O（0，0）与任意一点的P(x,y)的距离错误!未找到引用源。（2）点00(,)Pxy到直线0AxByC的距离0022AxByCdAB；（3）两平行线1122:0,:0lAxByClAxByC间的距离为1222CCdAB。2、直线1111:0lAxByC与直线2222:0lAxByC的位置关系：（1）平行12210ABAB（斜率）且12210BCBC（在y轴上截距）；（2）相交12210ABAB；（3）重合12210ABAB且12210BCBC；（4）垂直12120AABB提醒：（1）111222ABCABC、1122ABAB、111222ABCABC仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为什么？（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；3、两直线夹角公式（1）1l到2l的角是指直线1l绕着交点按逆时针方向转到和直线2l重合所转的角，,0且tan=21121kkkk(121kk)；（2）1l与2l的夹角是指不大于直角的角,(0,]2且tan=︱21121kkkk︱(121kk)。提醒：解析几何中角的问题常用到角公式或向量知识求解。如已知点M是直线240xy与x轴的交点，把直线l绕点M逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是______（答：360xy）例题：例1、两条直线myxml352)3(1：，16)5(42ymxl：，求分别满足下列条件的m的值．(1)1l与2l相交；(2)1l与2l平行；(3)1l与2l重合；(4)1l与2l垂直；(5)1l与2l夹角为45．解：由mm5243得0782mm，解得11m，72m．由163543mm得1m．(1)当1m且7m时，2121bbaa，1l与2l相交；(2)当7m时，212121ccbbaa．21//ll；(3)当1m时，212121ccbbaa，1l与2l重合；(4)当02121bbaa，即0)5(24)3(mm，311m时，21ll；(5)231mk，mk542．由条件有145tan11212kkkk．将1k，2k代入上式并化简得029142mm，527m；01522mm，35或m．∴当527m或-5或3时1l与2l夹角为45．例2当a为何值时，直线01)1()2(1yaxal：与直线02)32()1(2yaxal：互相垂直？解：由题意，直线21ll．(1)若01a，即1a，此时直线0131xl：，0252yl：显然垂直；(2)若032a，即23a时，直线0251yxl：与直线0452xl：不垂直；(3)若01a，且032a，则直线1l、2l斜率1k、2k存在，aak121，3212aak．当21ll时，121kk，即1)321()12(aaaa，∴1a.综上可知，当1a或1a时，直线21ll．例3已知直线l经过点)1,3(P，且被两平行直线011yxl：和062yxl：截得的线段之长为5，求直线l的方程．解法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为3x，此时与1l、2l的交点分别为)4,3('A和)9,3('B，截得的线段AB的长594AB，符合题意，若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为1)3(xky．解方程组,01,1)3(yxxky得114,123kkkkA，解方程组,06,1)3(yxxky得119,173kkkkB．由5AB，得2225119114173123kkkkkkkk．解之，得0k，即欲求的直线方程为1y．综上可知，所求l的方程为3x或1y．解法二：由题意，直线1l、2l之间的距离为125261d，且直线l被平等直线1l、2l所截得的线段AB的长为5（如上图），设直线l与直线1l的夹角为，则225225sin，故∴45．由直线011yxl：的倾斜角为135°，知直线l的倾斜角为0°或90°，又由直线l过点)1,3(P，故直线l的方程为3x或1y．解法三：设直线l与1l、2l分别相交),(11yxA、),(22yxB，则：0111yx，0622yx．两式相减，得5)()(2121yyxx．①又25)()(221221yyxx②联立①、②，可得052121yyxx或502121yyxx由上可知，直线l的倾斜角分别为0°或90°．故所求直线方程为3x或1y．例4已知直线082yxl：和两点)0,2(A、)4,2(B．(1)在l上求一点P，使PBPA最小；(2)在l上求一点P，使PAPB最大．解：(1)如图，设A关于l的对称点为),('nmA则082222,22nmmn∴2m，8n．∴)8,2('A∴BA'的的是2x，BA'与l的交点是)3,2(，故所求的点为)3,2(P．(2)如下图，AB是方程)2()2(2)4(0xy，即2xy．代入l的方程，得直线AB与l的交点)10,12(，故所求的点P为)10,12(．四、对称问题——代入法（中心对称和轴对称）1、中心对称(1)点关于点对称点P（00,yx）关于（ba,）对称的点为（002,2ybxa）；(2)线关于点对称：（转化为点点对称）在已知直线上任意去两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再有两点式求出直线方程，或者求出一个点，再利用两直线平行（注：线关于点对称的另一条直线和已知直线平行），由点斜式求出直线方程。特别的，直线x=a关于点P（00,yx）的对称直线为axx02；直线y=b关于点P（00,yx）的对称直线为byy022、轴对称（1）点关于直线的对称问题：（1）点（00,yx）关于x轴对称的点为（00,yx）；（2）点（00,yx）关于y轴对称的点为（00,yx）；（3）点（00,yx）关于原点对称的点为（00,yx）；（4）点（00,yx）关于xy对称的点为（00,xy）；（5）点（00,yx）关于xy对称的点为（00,xy）。（6）设点P（00,yx）关于直线y=kx+b的对称点错误!未找到引用源。则有错误!未找到引用源。由此求出错误!未找到引用源。特别的，点P（00,yx）关于直线x=a的对称点为；点P（00,yx）关于直线y=b的对称点为错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。。（2）直线关于直线的对称问题：它的一般解题步骤是：1.在所求曲线上选一点),(yxM；2.求出这点关于中心或轴的对称点),(00'yxM与),(yxM之间的关系；3.利用0),(00yxf求出曲线0),(yxg。直线关于直线的对称问题是对称问题中的较难的习题，但它的解法很多，现以一道典型习题为例给出几种常见解法，供大家参考。例题：试求直线01:1yxl关于直线033:2yxl对称的直线l的方程。解法1：（动点转移法）在1l上任取点))(,(2''lPyxP，设点P关于