5-2 中心极限定理

第5.2节中心极限定理一、问题的引入二、基本定理三、典型例题四、小结一、问题的引入实例:考察射击命中点与靶心距离的偏差.这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和,这些因素包括:瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方面(如外形、重量等)的误差以及射击时武器的振动、气象因素(如风速、风向、能见度、温度等)的作用,所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的,并且它们中每一个对总和产生的影响不大.问题:某个随机变量是由大量相互独立且均匀小的随机变量相加而成的,研究其概率分布情况.二、基本定理定理5.6（林德贝格-列维中心极限定理）则随机变量之和的和方差：且具有数学期望同一分布服从相互独立设随机变量),,2,1(0)(,)(,,,,,,221kXDXEXXXkknnkknkknkknXDXEXY111标准化变量nnXnkk1xnnXPxFxxFnkknnnn1lim)(lim)(满足对于任意的分布函数定理5.6表明:.,数标准正态分布的分布函的分布函数收敛于随机变量序列当nYnxtxte).(dπ2122,0}|{|1,,,),,2,1(0)(,)(,,,,,122122221nkkknnkknkkkknXEBnBkXDXEXXX时使得当若存在正数记和方差：们具有数学期望它相互独立设随机变量定理5.7(李雅普诺夫定理)则随机变量之和的标准化变量nkknkknkknXDXEXZ111nnkknkkBX11满足对于任意的分布函数xxFn)(}{lim)(lim11xBXPxFnnkknkknnnxtxte).(dπ2122定理5.7表明:.,,,,,,,121近似地服从正态分布很大时当那么它们的和只要满足定理的条件分布服从什么无论各个随机变量nXXXXnkkn(如实例中射击偏差服从正态分布)下面介绍的定理5.8是定理5.6的特殊情况.xtnnnxtexpnpnpPxppnn).(dπ21)1(lim,,)10(,),2,1(22恒有对于任意则的二项分布服从参数为设随机变量证明根据第三章第二节例题可知,1nkknX分布律为分布的随机变量－一是相互独立的、服从同其中,)10(,,,21nXXX.1,0,)1(}{1ippiXPiik定理5.8(德莫佛－拉普拉斯定理),)(pXEk),,,2,1()1()(nkppXDk根据定理5.6得xpnpnpPnn)1(limxpnpnpXPnkkn)1(lim1xtxte).(dπ2122定理5.8表明:正态分布是二项分布的极限分布,当n充分大时,可以利用该定理来计算二项分布的概率.下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.中心极限定理的意义在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理.中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实.三、典型例题.}{,,),(,),,,(的近似值求记上服从均匀分布且都在区间机变量设它们是相互独立的随个噪声电压一加法器同时收到105VPVV1002021kV20201kkk解,5)(kVE).20,,2,1(12100)(kVDk由定理4.6,随机变量Z近似服从正态分布N(0,1),例12012100520201kkVZ2012100520V其中}105{VP}20121005201052012100520{VP}387.02012100520{VP}387.02012100100{1VP387.02dπ2112tet)387.0(1.348.0一船舶在某海区航行,已知每遭受一次海浪的冲击,纵摇角大于3º的概率为1/3,若船舶遭受了90000次波浪冲击,问其中有29500～30500次纵摇角大于3º的概率是多少？解将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的,在90000次波浪冲击中纵摇角大于3º的次数为X,则X是一个随机变量,).31,90000(~bX且例2所求概率为}3050029500{XPkkkk900003050029501323190000分布律为}{kXPkkk90000323190000.90000,,1k直接计算很麻烦，利用德莫佛－拉普拉斯定理}3050029500{XP)1(30500)1()1(29500pnpnppnpnpXpnpnpP)1(30500)1(295002221pnpnppnpnpdtet)1(29500)1(30500pnpnppnpnp,31,90000pn}3050029500{XP225225.9995.0四、小结三个中心极限定理林德贝格-列维中心极限定理李雅普诺夫定理德莫佛－拉普拉斯定理中心极限定理表明,在相当一般的条件下,当独立随机变量的个数增加时,其和的分布趋于正态分布.某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元.若老人在该年内死亡,公司付给家属1万元.设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率.解设X为一年中投保老人的死亡数,),,(~pnBX则,017.0,10000pn其中由德莫佛－拉普拉斯定理知,例3}2001000010000{XP}200{XP)1(200)1(pnpnppnpnpXP321.2)1(pnpnpXP.01.0)321.2(1保险公司亏本的概率对于一个学生而言,来参加家长会的家长人数是一个随机变量.设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05、0.8、0.15.若学校共有400名学生,设各学生参加会议的家长数相互独立,且服从同一分布.(1)求参加会议的家长数X超过450的概率;(2)求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.解,)400,,2,1()1(长数个学生来参加会议的家第记以kkXk例4的分布律为则kX15.08.005.0210kkpX,1.1)(kXE易知)400,,2,1(,19.0)(kXDk,4001kkXX而根据定理4.619.04001.14004001kkX随机变量19.04001.1400X),1,0(N近似服从正态分布19.04001.140045019.04001.1400XP}450{XP于是147.119.04001.14001XP;1357.0)147.1(1,)2(议的学生数记有一名家长来参加会以Y),8.0,400(~bY则由德莫佛－拉普拉斯定理知,}340{YP2.08.04008.04003402.08.04008.0400YP5.22.08.04008.0400YP.9938.0)5.2(.,1,),,,2,1()1,1(,,,,1221并指出其分布参数正态分布近似服从随机变量充分大时证当试上服从均匀分布在区间且相互独立设随机变量nininiXnZnniXXXX证),,2,1(,2niXYii记)()(2iiXEYE)(iXD,3122)]([)()(iiiYEYEYD24)]([)(iiYEXE例51144d21)(iiixxXE因为,5123151)(iYD所以,454,,,,21相互独立因为nXXX.,,,21相互独立所以nYYY根据定理5.6niniXZn12niiY1,454,3nnN近似服从正态分布.454,31nNZ近似地服从正态分布故