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(AdvancedMathematics)第三节几种特殊函数的不定积分一、有理函数的积分二、三角函数有理式的积分三、简单无理函数的积分基本积分法:换元积分法;分部积分法.初等函数求导初等函数积分例如,下列函数积分都不是初等函数,d2xex,dsinxxx,dsin2xx,dln1xx,1d4xx,d13xx)10(dsin122kxxk直接积分法;在概率论、数论、光学、傅里叶分析等领域有重要应用的积分,都属于“积不出”的范围.有理函数的定义两个多项式的商表示的函数)()(xQxP;都是非负整数、其中nm,,,,,1010都是实数及mnbbbaaa.0,000ba且一、有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式,)1(mn真分式;,)2(mn假分式.101mmmbxbxb101nnnaxaxa例1123xxx112xxmmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP11101110)()(多项式的积分容易计算.真分式的积分.只讨论:多项式真分式有理函数相除多项式+真分式分解若干部分分式之和对一般有理真分式的积分,代数学中下述定理起着关键性的作用.定理均可表为有限个任何有理真分式)()(xQxP.部分分式的和在实数域如果分母多项式)(xQ:上的质因式分解式为,)()()(20qpxxaxbxQ:)()(可唯一的分解为则xQxP,,为正整数)04(2qp)()(xQxP,,,都是常数其中诸iiiNMA,可由待定系数法确定的式中每个分式叫做)()(xQxP)(1axA部分分式(最简分式).,)()()(20qpxxaxbxQ)04(2qp)(2axAax1222)(qpxxNxMqpxxNxM21A1)()(2qpxx11NxM个常数待定个常数待定2用此定理有理函数的积分就易计算了.且由下面的例题可看出:有理函数的积分是初等函数.注系数的确定,一般有三种方法:(1)等式两边同次幂系数相等;(2)赋值;(3)求导与赋值结合使用.例求xxxxd1123解由多项式除法,有1123xxx1dd2xxxx原式Cxxarctan22说明:当被积函数是假分式时,应把它分为一个多项式和一个真分式,分别积分.112xx假分式xxxxd6532例求6532xxx)3)(2(3xxx2xA)2()3(3xBxAx)23()(3BAxBAx,3)23(,1BABA65BA6532xxx解3625xx3xB比较系数因式分解xxxxd6532xxxxd316d215xxxd3625Cxx3ln62ln52)1(1xx2,(1)Axx221(1)(1)AxBxCx代入特殊值来确定系数CBA,,取,0x1A取,1x1BC取1,x41ABC212(1)xxx2)1(1xx例求.)1(12dxxx解二次质因式CBx1,2.BC.11)1(112xxxdxxx2)1(1dxxxx11)1(112dxxdxxdxx11)1(1121ln||ln|1|.1xxCx注任意有理真分式的不定积分都归纳为下列;d)1(xaxA;d)()2(xaxAn;d)3(2xqpxxBAx其中A,B,a,p,q都为常数,.042qp并设几种典型部分分式的积分之和n为大于1的正整数.类型),(nbaxxR解决方法作代换去掉根号.),(ecxbaxxRntt二、简单无理函数的积分xxxxd11tttttd)1(2)1(2221d222tttdtt11122Cttt11ln2Cxxxxx211ln12回代例解令,1txx,12txx22)1(d2dtttx,112tx原式=xexexxd1解原式令,1tex),1ln(2txtttxd12d2,12text)1ln(2t)1(2ttttd122ttd)1ln(22分部积分uv)1ln(22ttttttd1222)1ln(22ttt4Ceeexxxx1arctan41412回代Ctarctan4例三角有理式的定义:由三角函数和常数经过)cos,(sinxxR,tansin1xx,)cos1(sinsin1xxx.2sin451x有限次四则运算构成的函数.一般记为如三、三角函数有理式的积分和分部积分法讨论过一些.对于三角函数有理式的积分,曾用换元法是否任何一个三角函数有理式的积分都有原函数回答是肯定的.2cos2sin2sinxxx2sec2tan22xx2tan12tan22xx.d)cos,(sinxxxR对由三角学知识可用可通过变换2tanxu事实上,由2tanxu半角变换(或称万能代换)则,arctan2uxuuxd12d2212uu2tanx表示.化为有理函数的积分.2sec2tan1cos22xxx2tan12tan122xx,12sin2uux,11cos22uuxduudx212xxxRd)cos,(sinuuuuuuRd1211,1222222211uuu的有理函数例求.dcossin1sinxxxx解212sinuux2211cosuuxuuxd12d2由万能代换xxxxdcossin1sinuuuud)1)(1(22uuuud)1)(1(222211uuuuuuud)1)(1()1()1(222uuud112uud11uarctan)1ln(212uCu|1|ln2tanxu2x|2sec|lnxCx|2tan1|ln回代例求.dsin14xx解法一2tanxu212sinuuxuuxd12d2xxdsin14uuuuud83314642Cuuuu]33331[8133Cxxxx332tan2412tan832tan832tan241回代法二修改万能代换公式xutan令21sinuuxuuxd11d2xxdsin14uuuud1111242uuud142Cuu1313Cxxcotcot313xxdsin14说明xxxxcossincos,sin22及的有理式的积分时,xutan更方便.用代换通常求含例求xxxd)1(1002解原式=这是有理函数的积分.如按部分分式法很麻烦.使分母为单项,作变换tx1tttd)1(1002ttttd211002ttttd1219899100分析分母是100次多项式,如作一个适当的变换,而分子为多项,除一下,化为和差的积分.例求xxxxd)22(222解原式=xxxxxd)22(22222分项xxxxd)22(2222凑微分xxxd)22(222x22x22x约去公因子221)1(dxx配方222)22()22(dxxxx)1arctan(xCxx2212)21)(()1(12xCBxxAACxCBxBA)2()2(12,1,02,02CACBBA51,52,54CBA例求.d)1)(21(12xxx解)1)(21(12xxxA2121xCBx比较系数二次质因式xxxxxd15152d21542xxxd)1)(21(12)21ln(52x|21|ln52x2151522154xxx)1)(21(12xx|1|ln512xCxarctan51xxxd12512xxd11512•作业•P1862(1)(5)(9)•P1876,10,11,18
本文标题:4-4特殊函数的不定积分
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