4-4线性方程组的解的结构

§4线性方程组的解的结构回顾：线性方程组的解的判定1.包含n个未知数的齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)n．2.包含n个未知数的非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)=R(A,b)，并且当R(A)=R(A,b)=n时，方程组有唯一解；当R(A)=R(A,b)n时，方程组有无限多个解．引言问题：什么是线性方程组的解的结构？答：所谓线性方程组的解的结构，就是当线性方程组有无限多个解时，解与解之间的相互关系．备注：当方程组存在唯一解时，无须讨论解的结构．下面的讨论都是假设线性方程组有解．解向量的定义定义：设有齐次线性方程组Ax=0，如果x1=x11，x2=x21，...，xn=xn1为该方程组的解，则称为方程组的解向量．11211nxxxx齐次线性方程组的解的性质性质1：若x=x1，x=x2是齐次线性方程组Ax=0的解，则x=x1+x2还是Ax=0的解．证明：A(x1+x2)=Ax1+Ax2=0+0=0．性质2：若x=x是齐次线性方程组Ax=0的解，k为实数，则x=kx还是Ax=0的解．证明：A(kx)=k(Ax)=k0=0．结论：若x=x1,x=x2,...,,x=xt是齐次线性方程组Ax=0的解，则x=k1x1+k2x2+…+ktxt还是Ax=0的解.结论：若x=x1,x=x2,...,,x=xt是齐次线性方程组Ax=0的解，则x=k1x1+k2x2+…+ktxt还是Ax=0的解.已知齐次方程组Ax=0的几个解向量，可以通过这些解向量的线性组合给出更多的解．能否通过有限个解向量的线性组合把Ax=0的解全部表示出来？把Ax=0的全体解组成的集合记作S，若求得S的一个最大无关组S0：x=x1,x=x2,...,,x=xt，那么Ax=0的通解可表示为x=k1x1+k2x2+…+ktxt．齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系（不唯一）．基础解系的概念定义：齐次线性方程组Ax=0的一组解向量：x1,x2,...,xr如果满足①x1，x2，...，xr线性无关；②方程组中任意一个解都可以表示x1,x2,...,xr的线性组合，那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系．后n-r列前r列设R(A)=r，为叙述方便，不妨设A行最简形矩阵为对应的齐次线性方程组令xr+1,…,xn作自由变量，则111,212,,1,100010001000000000000000nrnrrrnrmnbbbbbbB11111,22112,11,0,0,0.rnrnrnrnrrrrnrnxbxbxxbxbxxbxbx++++++++++++11111,22112,11,,,.rnrnrnrnrrrrnrnxbxbxxbxbxxbxbx+++11111,11,11nrnrrrrnrnrrnnrxbcbcxbcbcxcxc+令xr+1=c1,xr+2=c2,…,xn=cn-r，则11121,12,11110000001nrrrrnrnrbbbbbbccc+++齐次线性方程组的通解11111221,22112222,1122,,,.rrnrnrrnrnrrrrrrnrnxbxbxbxxbxbxbxxbxbxbx++++++记作x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r．（满足基础解系②）11121,21222,,1,2,12(,,,)100010001nrnrrrrnrnrbbbbbbbbbxxxn−r列前r行后n−r行故R(x1,x2,…,xn-r)=n−r，即x1,x2,…,xn-r线性无关．（满足基础解系①）于是x1,x2,…,xn-r就是齐次线性方程组Ax=0的基础解系．11111,11,1122nrnrrrrnrnrrrnnrxbcbcxbcbcxcxcxc++令xr+1=c1,xr+2=c2,…,xn=cn-r，则11121,12,11110000001nrrrrnrnrbbbbbbccc+++线性方程组的通解11111221,22112222,1122,,,.rrnrnrrnrnrrrrrrnrnxbxbxbxxbxbxbxxbxbxbx++++++记作x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r．（满足基础解系②）12100010,,,001rrnxxx++11111221,22112222,1122,,,.rrnrnrrnrnrrrrrrnrnxbxbxbxxbxbxbxxbxbxbx++++++此即为Ax=0的基础解系．通解为x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r1,111122,22122,12,,,,nrnrrnrrrrbxbbbxbbbxbb11121,12,12,,,110000001nrrrrnrnrbbbbbbxxx，则令定理：设m×n矩阵的秩R(A)=r，则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩RS=n−r．基础解系的求解例：求齐次线性方程组的基础解系．方法1：先求出通解，再从通解求得基础解系．12341241234220230570xxxxxxxxxxx++++121210342301~012311570000rA134234340230xxxxxx++1342343423xxxxxx+即令x3=c1，x4=c2，得通解表达式1122121211223142343423231001xccxccccccxcxcxx+++因为方程组的任意一个解都可以表示为x1,x2的线性组合．x1,x2的四个分量不成比例，所以x1,x2线性无关．所以x1,x2是原方程组的基础解系．方法2：先求出基础解系，再写出通解．121210342301~012311570000rA134234340230xxxxxx++1342343423xxxxxx+即令3410,01xx1234,23xx123423,1001xx合起来便得到基础解系，得还能找出其它基础解系吗？问题：是否可以把x1选作自由变量？答：可以，因为是否把系数矩阵化为行最简形矩阵，其实并不影响方程组的求解．当两个矩阵行等价时，以这两个矩阵为系数矩阵的齐次线性方程组同解．121210342301~012311570000rA313221253(1)2121212122301~23011157690312123410~2301~230100000000rrrrrrrA++令x1=c1，x2=c2，得通解表达式121234102301~230111570000rA123124340230xxxxxx++3124123423xxxxxx++即1122121122312412100134342323xcxcccccxccxcc++++从而可得另一个基础解系：1和2．定理：设m×n矩阵的秩R(A)=r，则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩RS=n−r．例：设Am×nBn×l=O（零矩阵），证明R(A)+R(B)≤n．例：证明R(ATA)=R(A)．例：设n元齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解，证明R(A)=R(B)．非齐次线性方程组的解的性质性质3：若x=1，x=2是非齐次线性方程组Ax=b的解，则x=1−2是对应的齐次线性方程组Ax=0（导出组）的解．证明：A(1−2)=A1−A2=b−b=0．性质4：若x=是非齐次线性方程组Ax=b的解，x=x是导出组Ax=0的解，则x=x+还是Ax=b的解．证明：A(x+)=Ax+A=0+b=b．根据性质3和性质4可知若x=*是Ax=b的解，x=x是Ax=0的解，那么x=x+*也是Ax=b的解．设Ax=0的通解为x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r．于是Ax=b的通解为=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r+*例：求线性方程组的通解．12341241234223235570xxxxxxxxxxx++++解：容易看出是方程组的一个特解．其对应的齐次线性方程组为根据前面的结论，导出组的基础解系为*110012341241234220230570xxxxxxxxxxx++++123423,1001xx于是，原方程组的通解为*112212341231100010ccccxx++++小结：关于线性方程组求解线性方程组（第三章，利用矩阵的初等行变换）线性方程组的几何意义（第四章，四种等价形式）1.齐次线性方程组的通解能由它的基础解系来构造．①基础解系是解集S的最大无关组．②解集S是基础解系的所有可能的线性组合．2.非齐次线性方程组的通解与其导出组的基础解系的关系.基础解系的概念定义：齐次线性方程组Ax=0的一组解向量：x1,x2,...,xr如果满足①x1，x2，...，xr线性无关；②方程组中任意一个解都可以表示x1,x2,...,xr的线性组合，那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系．