2.4.2二次函数的应用

4二次函数的应用第2课时1.经历探索T恤衫销售过程中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,感受数学的应用价值.2.掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．(0)ka2二次函数y=a(x-h)顶点坐标为(h,k)①当a0时，y有最小值k②当a0时，y有最大值k【例1】某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.请你帮助分析，销售单价是多少时,可以获利最多?【例题】【解析】设销售单价为x(x≤13.5)元,那么销售量可以表示为:件;每件T恤衫的利润为:元;所获总利润可以表示为:元;∴当销售单价为元时,可以获得最大利润,最大利润是元.x5.13200500xx5.132005005.225.9即y=-200x2+3700x-8000=-200(x-9.25)2+9112.59112.5（x-2.5）1.某商店经营衬衫,已知所获利润y(元)与销售的单价x(元)之间满足关系式y=–x2+24x+2956，则获利最多为______元.2.某旅行社要组团去外地旅游,经计算所获利润y(元)与旅行团人员x(人)满足关系式y=–2x2+80x+28400，要使所获营业额最大,则此旅行团有_______人.203100【跟踪训练】【例2】桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在距离OA1m处达到最大高度2.25m.如果不计其他因素,那么水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不致落到池外？【解析】建立如图所示的坐标系,根据题意得,点A(0,1.25),顶点B(1,2.25).当y=0时,得点C(2.5,0);同理,点D(-2.5,0).根据对称性,那么水池的半径至少要2.5m,才能使喷出的水流不致落到池外.设抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k,由待定系数法可求得抛物线表达式为:y=-(x-1)2+2.25.数学化xyOA(0,1.25)B(1,2.25)●C(2.5,0)●D(-2.5,0)●●1.（兰州·中考）如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米.【答案】0.5【跟踪训练】2.（青海·中考）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克.（1）现该商场要保证每天盈利1500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？【解析】（1）设每千克应涨价x元，列方程得：(5+x)(200－10x)=1500，解得：x1=10，x2=5.因为要顾客得到实惠，5＜10所以x=5.答：每千克应涨价5元.（2）设商场每天获得的利润为y元，则根据题意，得y=(x+5)(200－10x)=－10x2+150x+1000，当x=时,y有最大值.5.7)10(21502ab因此，这种水果每千克涨价7.5元，能使商场获利最多.1.（株洲·中考）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-（x-2）2+4（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是()A.4米B.3米C.2米D.1米【解析】选A.抛物线的顶点坐标为（2,4），所以水喷出的最大高度是4米.x(米)y(米)2.（德州·中考）为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次性购买100个以上，则购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个．乙商家一律按原价的80℅销售．现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元.（1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式.（2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？当x100时，因为购买个数每增加一个，其价格减少10元但售价不得低于3500元/个，所以x≤5000350010025010215000x,y6000x10x,3500x,所以0x100100x250x2502500080%4000.yxx即100x≤250时，购买一个需5000-10(x-100)元，故y1=6000x-10x2；【解析】（1）由题意可知，当x≤100时，购买一个需5000元，故y1=5000x当x250时，购买一个需3500元，故y1=3500x;(2)当0≤x≤100时，y1=5000x≤5000001400000；当100x≤250时，y1=6000x-10x2=-10(x-300)2+9000001400000；故选择甲商家，最多能购买400个太阳能路灯．40001400000x350400x得由35001400000x400.x得所以，由3.（武汉·中考）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的整数倍）．(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围.(2)设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式.(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？2x34x8000.10=2x34x8000,10（3）因为w=10x【解析】（1）y=50-（0≤x≤160）；10x（2）w=（180+x-20）y=（180+x-20）（50-）所以x==170时，w有最大值，而170160,故由函数性质知x=160时，利润最大，此时订房数y=50-=34，此时的利润为10880元.b-2a10x4．（青岛·中考）某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数：（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）10500.yx（1）由题意，得：w=(x－20)·y=(x－20)·(-10x+500)=-10x2+700x-10000352bxa210700100002000.xx答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．（2）由题意，得：解这个方程得：x1=30，x2=40．答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元.【解析】当时，w有最大值.∴抛物线开口向下.∴当30≤x≤40时，w≥2000．∵x≤32，∴当30≤x≤32时，w≥2000．设成本为P（元），由题意，得：P=20（-10x+500)=-200x+10000,∵k=-200＜0，∴P随x的增大而减小.∴当x=32时，P最小＝3600.答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少需要3600元．10a（3）∵【规律方法】先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.“何时获得最大利润”问题解决的基本思路.1.根据实际问题列出二次函数关系式.2.根据二次函数的最值问题求出最大利润.虽然言语的波浪永远在我们上面喧哗，而我们的深处却永远是沉默的.——纪伯伦