不定积分概念与基本积分公式

第八章不定积分8.1不定积分的概念与基本积分公式8.2换元积分法8.3分部积分法8.4几类特殊函数的不定积分8.1不定积分的概念和基本积分公式原函数和不定积分基本积分公式表不定积分的线性运算法则例xxcossinxsin是xcos的原函数.)0(1lnxxxxln是x1在区间),0(内的原函数.如果在区间I内，定义1：可导函数)(xF的即Ix，都有)()(xfxF或dxxfxdF)()(，那么函数)(xF就称为)(xf导函数为)(xf，或dxxf)(在区间I内原函数.一、原函数与不定积分的概念原函数存在定理：如果函数)(xf在区间I内连续，简言之：连续函数一定有原函数.问题：(1)原函数是否唯一？例xxcossinxCxcossin（为任意常数）C那么在区间I内存在可导函数)(xF，使Ix，都有)()(xfxF.(2)若不唯一它们之间有什么联系？关于原函数的说明：（1）若，则对于任意常数，)()(xfxFCCxF)(都是)(xf的原函数.（2）若和都是的原函数，)(xF)(xG)(xf则CxGxF)()(（为任意常数）C证)()()()(xGxFxGxF0)()(xfxfCxGxF)()(（为任意常数）C根据定义，如果F(x)是f(x)的一个原函数，则dxxf)(F(x)C，其中C是任意常数，称为积分常数。二、不定积分定义2函数f(x)的所有原函数称为f(x)的不定积分，记作dxxf)(。任意常数积分号被积函数CxFdxxf)()(被积表达式积分变量不定积分的相关名称：———叫做积分号，f(x)——叫做被积函数，f(x)dx—叫做被积表达式，x———叫做积分变量。如果F(x)是f(x)的一个原函数，则dxxf)(F(x)C。当x0时，[ln(x)]xx1)1(1，Cxdxx)ln(1(x0)。合并上面两式，得到Cxdxx||ln1(x0)。例1因为(sinx)cosx，所以Cxxdxsincos。例2因为(x3)3x2，所以Cxdxx323。解：当x0时，(lnx)x1，Cxdxxln1(x0)；解：当x0时，(lnx)x1，Cxdxxln1(x0)；当x0时，[ln(x)]xx1)1(1，Cxdxx)ln(1(x0)。当x0时，[ln(x)]xx1)1(1，Cxdxx)ln(1(x0)。当x0时，[ln(x)]xx1)1(1，Cxdxx)ln(1(x0)。当x0时，[ln(x)]xx1)1(1，Cxdxx)ln(1(x0)。例1因为(sinx)cosx，所以Cxxdxsincos。例1．例2因为(x3)3x2，所以Cxdxx323。例2．例3求函数xxf1)(的不定积分。例3．解：当x0时，(lnx)x1，Cxdxxln1(x0)；解：-1O1xyy=x2函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线。Cxxdx22C1y=x2+C1C2y=x2+C2C3y=x2+C3函数f(x)的积分曲线也有无限多条。函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率。三、不定积分的几何意义例4．求过点(1,3)，且其切线斜率为2x的曲线方程。解：设所求的曲线方程为yf(x)，则yf(x)2x，即f(x)是2x的一个原函数。因为所求曲线通过点(1,3)，故31C，C2。于是所求曲线方程为yx22。21O12x2112yyx2+2yx2(1,3)．因为Cxxdx22，所以y=f(x)x2C。实例xx11.11Cxdxx启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.)1(四、基本积分公式基本积分表kCkxkdx()1(是常数););1(1)2(1Cxdxx;ln)3(Cxxdx说明：,0x,lnCxxdx])[ln(,0xx,1)(1xxx,)ln(Cxxdx,||lnCxxdx简写为.lnCxxdxdxx211)4(;arctanCxdxx211)5(;arcsinCxxdxcos)6(;sinCxxdxsin)7(;cosCxxdx2cos)8(xdx2sec;tanCxxdx2sin)9(xdx2csc;cotCxxdxxtansec)10(;secCxxdxxcotcsc)11(;cscCxdxex)12(;Cexdxax)13(;lnCaaxxdxsinh)14(;coshCxxdxcosh)15(;sinhCx例求积分.2dxxx解dxxx2dxx25Cx125125.7227Cx根据积分公式（2）Cxdxx112772xC72x3xC。例131xdxx3dx131x31C221xC。例131xdxx3dx131x31C221xC。例131xdxx3dx131x31C221xC。例2x2xdx25xdx1251251xC例2x2xdx25xdx1251251xC例33xxdx34xdx134134xC33xC。例33xxdx34xdx134134xC33xC。例33xxdx34xdx134134xC33xC。例131xdxx3dx131x31C221xC。例1．例2x2xdx25xdx1251251xC例2．例33xxdx34xdx134134xC33xC。例3．dxxgxf)]()([dxxgdxxf)()(，dxxfkdxxkf)()(。dxxdxx21255dxxdxx21255Cxx232732572Cxxxx310723。例4dxxx)5(2dxxx)5(2125dxxdxx21255dxxdxx21255Cxx232732572Cxxxx310723。例4dxxx)5(2dxxx)5(2125例4．dxxgxf)]()([dxxgdxxf)()(，dxxfkdxxkf)()(。dxxxx)133(2dxxdxxdxxdx21133221x3x3ln|x|x1C。例5dxxx23)1(dxxxxx223133例5dxxx23)1(dxxxxx223133例5．(4)axdxaaxlnC，(6)cosxdxsinxC，dx2sectgxC，例6(ex3cosx)dxex3sinxC。例72xexdx(2e)xdx)2ln()2(eexC2ln12xxeC。例72xexdx(2e)xdx)2ln()2(eexC2ln12xxeC。例72xexdx(2e)xdx)2ln()2(eexC2ln12xxeC。例8tg2xdx(sec2x1)dxtgxxC。例8tg2xdx(sec2x1)dxtgxxC。例9sin22xdxdxx)cos1(21Cxx)sin(21。例9sin22xdxdxx)cos1(21Cxx)sin(21。例10dxxx2cos2sin122dxx2sin144ctgxC。例10dxxx2cos2sin122dxx2sin144ctgxC。例6(ex3cosx)dxex3sinxC。例6．例72xexdx(2e)xdx)2ln()2(eexC2ln12xxeC。例7．例8tg2xdx(sec2x1)dxtgxxC。例8．例9sin22xdxdxx)cos1(21Cxx)sin(21。例9．例10dxxx2cos2sin122dxx2sin144ctgxC。例10．(3)x1dxln|x|C，(11)211xdxarctgxC。dxxdxx1112arctgxln|x|C。dxxx)111(2231x3xarctgxC。dxxdxx1112arctgxln|x|C。例12dxxx241dxxx24111dxxxx22211)1)(1(例12dxxx241dxxx24111dxxxx22211)1)(1(dxxx)111(2231x3xarctgxC。例11dxxxxx)1(122dxxxxx)1()1(22dxxx)111(2例11dxxxxx)1(122dxxxxx)1()1(22dxxx)111(2例11dxxxxx)1(122dxxxxx)1()1(22dxxx)111(2例11．例12dxxx241dxxx24111dxxxx22211)1)(1(例12．dxxgxf)]()([)1(;)()(dxxgdxxf证dxxgdxxf)()(dxxgdxxf)()().()(xgxf等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）五、不定积分的性质例13求积分解.2cos11dxxdxx2cos11dxx1cos2112dxx2cos121.tan21Cx说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.解,sinsec2xxdxdydxxxysinsec2,costanCxx,5)0(y,6C所求曲线方程为.6costanxxy例14已知一曲线)(xfy在点))(,(xfx处的切线斜率为xxsinsec2，且此曲线与y轴的交点为)5,0(，求此曲线的方程.基本积分表(1)不定积分的性质原函数的概念：)()(xfxF不定积分的概念：CxFdxxf)()(求微分与求积分的互逆关系小结思考题符号函数0,10,00,1sgn)(xxxxxf在内是否存在原函数？为什么？),(