不定积分求解方法-有理函数积分

第四节•基本积分法:直接积分法;换元积分法;分部积分法•初等函数求导初等函数积分机动目录上页下页返回结束一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例几种特殊类型函数的积分本节内容:第四章一、有理函数的积分（P244）)()()(xQxPxRnnnaxaxa110有理函数:nm时,为假分式;nm时,为真分式有理函数相除多项式+真分式分解其中部分分式的形式为kkqxpxNxMaxA)(;)(2)04,N(2qpk若干部分分式之和机动目录上页下页返回结束例1.将下列真分式分解为部分分式:解:(1)用拼凑法22)1()1(1xxxx2)1(1x)1(1xx2)1(1x)1(xx2)1(1x11xx1)1(xx)1(xx机动目录上页下页返回结束(2)用赋值法6532xxx)3)(2(3xxx2xA3xB原式)2(xA2x233xxx5原式)3(xB3x323xxx6故25x原式36x机动目录上页下页返回结束(3)混合法)1)(21(12xxxA2121xCBx原式)21(xA21x54机动目录上页下页返回结束C541215461CB52B51C原式=x214512112xx四种典型部分分式的积分:（P247-P248）CaxAln)1(nCaxnAn1)(1xaxAd.1xaxAnd)(.2机动目录上页下页返回结束xqxpxNxMd.32xqxpxNxMnd)(.42变分子为)2(2pxM2pMN再分项积分例2.求解:已知)1)(21(12xx51x214212xx211xxx21)21(d52原式221)1(d51xx21d51xxx21ln52)1(ln512xCxarctan51例1(3)目录上页下页返回结束例3.求解:原式xxxd3223)22(21x32)32d(2122xxxx32ln212xx22)2()1()1d(3xxCx21arctan23思考:如何求机动目录上页下页返回结束提示:变形方法同例3,并利用？？？.xxxd)4)(1(22)4()1(22xx例4.求xxxxxId4552243xxxxd455224245)55d(212424xxxx45ln2124xx2arctan21xCxarctan解:机动目录上页下页返回结束说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.例5.求解:原式xxxd)22(22)22(2xx)22(x1)1(d2xx222)22()22d(xxxx)1arctan(x2212xxC机动目录上页下页返回结束常规目录上页下页返回结束例6.求解:原式xxd14)1(2x)1(2x211d4xx(见P399公式9、10)2arctan2211xx21221ln21xx21xxCxxxxd12122121xxxxd121221212)(2121xx)d(1xx2)(2121xx)d(1xx注意本题技巧按常规方法较繁二、可化为有理函数的积分举例设表示三角函数有理式,xxxRd)cos,(sin令2tanxt万能代换t的有理函数的积分机动目录上页下页返回结束1.三角函数有理式的积分（P251）则例7.求.d)cos1(sinsin1xxxx解:令,2tanxt则机动目录上页下页返回结束222222cossincossin2sinxxxxx222tan1tan2xx212tt22222222cossinsincoscosxxxxx2222tan1tan1xx2211ttxdttd122xxxxd)cos1(sinsin12121tt212tt)1(2211ttttd212tttd122121221tt2tlnC2tan412x2tanxCx2tanln21机动目录上页下页返回结束例8.求解:原式xxd2cos1222tanbxa222)(tantand1abxxa)tanarctan(1xbabaC说明:通常求含xxxxcossincos,sin22及的积分时,xttan往往更方便.的有理式用代换机动目录上页下页返回结束例9.求.)0(d)cossin(12baxxbxa解法1xttan令原式dx2)tan(bxax2cos2)(dbtatCbtaa)(1Cxbxaax)cossin(cos机动目录上页下页返回结束xbxacossin例9.求)0(d)cossin(12baxxbxa解法2cos,sin2222babbaa令22baxbabxbaacossin2222sincos原式)(cosd1222xxbaCxba)tan(122Cbaxba)arctantan(122机动目录上页下页返回结束例10.求.dsinsin1cos2cos423xxxxx解:因被积函数关于cosx为奇函数,可令,sinxt原式xx42sinsin1xxxdcos)2(cos2xxx422sinsin1)1(sin4221d)1(tttt3)()d(211ttttCtt3arctan311Cxxsin3cosarctan312xsind机动目录上页下页返回结束2.简单无理函数的积分（P255-P257）,d),(xbaxxRn令nbxat,d),(xxRndxcbxa令ndxcbxat被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换化为有理函数的积分.例如:机动目录上页下页返回结束,d),,(xbaxbaxxRmn,pbxat令.,的最小公倍数为nmp例11.求.21d3xx解:令,23xu则原式u123uuduuud11)1(32uuud)111(33221uuu1lnC机动目录上页下页返回结束例12.求解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数2,3的最小公倍数6,,6tx则有原式23ttttd65ttttd)111(626331t221ttt1lnC令机动目录上页下页返回结束例13.求.d11xxxx解:令,1xxt则原式tt)1(2tttd)1(222tttd1222t211lnttC机动目录上页下页返回结束内容小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定要注意综合使用基本积分法,简便计算.机动目录上页下页返回结束简便,思考与练习如何求下列积分更简便?解:1.23233)()(d31xax原式Caxaxa33333ln61Caxaxa33333ln612.原式xxxxxdcossincossin322xxxcossindxxxdsincos3xxtantandxx3sinsindxtanlnCx2sin121机动目录上页下页返回结束备用题1.求不定积分解：令,1xt则,故161t551tt机动目录上页下页返回结束分母次数较高,宜使用倒代换.2.求不定积分解：原式=2tanxu前式令221131uuuud1222arctan21u;后式配元)2tan21arctan(21x机动目录上页下页返回结束