不定积分的第二换元法

数一景薇方412114000216数二李梦晗412114000404不定积分的第二换元法Theorem(定理)Th:设是单调的、可导的函数,并且,又设具有原函数，则有换元公式其中，是的反函数。0)(t)()]([ttf)(1d)d(xttttxxf)(tφx)(-1xt)(tφx第一步：令,则上式变为；第二步：求微分,所以上式变为；第三步：在函数的积分容易求得的时候：tttfd)()]([)(tφx)(1d)()]([)d(xttttfxxftttfd)()]([)(]d)([tφtφfMethod(方法)方法具体步骤说明对于求解不定积分xxf)d(ttφt)d()(dClassify(分类)三角代换倒代换根式代换Classify(分类)三角代换倒代换根式代换三角代换22xa,令或tacosx双曲代换双曲函数的恒等式,chsh122xxxx22sh1ch以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.回代时,一定要借助辅助三角形.一般规律:当被积函数中含有22xa,令或或22ax,令或或tsecaxtacotx1shch22xxtacscxtchaxtshax123tsinaxttanax例题研背景研究方案研究成果xaxd122ttasecasectd12t辅助三角形ax22ax解:令atantxttasecxdd222π,πtlnaC|axx|ln122Eg1：求)(d1220axax122Caxaaxlntsectd1C|tantsect|lnCsintcostta)(22Ctsinta)221(22例题研背景研究方案研究成果Eg2:求)(d0axxa22解:令taxsinttaxdcosd2,2tCxaxaxarcsina22222tx22xaatacosttsinaaxxadd22222ttcosattcosad221d222Csintcostta)(22axaxa22axarcsinCsintcostta)(22例题C|axx|lnxax2222d1利用相应的三角变换,还可得到重要公式xaxd22C|axx|lnaaxx2222222asectx相仿地,通过变换可算出注倒代换一些情况下(如被积函数是分式,分母的方幂较高时)，倒代换可用来消去分母中的变量.tx1例题例求xxxd2)(17tx1ttxd1d2解xxxd)2(17ttttd12127tttd2176Cxx||ln21|2|ln1417C|t|ln7211417721)2d(1141tt根式代换(其中n为各根指数的最小公倍数）lkxx,,ntx注当被积函数含有两种或两种以上的根式时,可采用令例xxxd)(113xxxd)(113ttttd)(16235tttd1622tttd111622ttd11162令6txttxd6d5解Carctantt]6[Cxarctanx]6[66例求xexd11解令t.ttxd12d2xexd11ttd122Cttln11Cxelnx1)1(2,tlnx1)(2,etx1,tex12Caxaxlnaxax21d122