不定积分课件

4.1不定积分的概念与性质4.2不定积分的换元积分法4.3不定积分的分部积分法4.4积分表的用法第4章不定积分结束前页结束后页又如d(secx)=secxtanxdx，所以secx是secxtanx的原函数.定义设f(x)在某区间上有定义，如果对该区间的任意点x都有F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx则称F(x)为f(x)在该区间上的一个原函数.4.1.1原函数的概念例如:，是函数在上的原函数.,sinx是cosx在上的原函数.(,)32()3xx2x33x(,)(sin)cosx'x4.1不定积分的概念与性质前页结束后页(2)如果f(x)在某区间上存在原函数，那么原函数不是唯一的,且有无穷多个注:(1)如果函数在区间上连续，则它的原函数一定存在．具体理由将在下一章给出．例如而在上是的原函数(,)sin1,sin2xxsinxcosxsin1,sin3xx也是它的原函数即加任意常数都是的原函数.sinxcosx(3)若函数f(x)在区间I上存在原函数，则其任意两个原函数只差一个常数项.此结论由Lagrange定理推论可证前页结束后页定义2如果函数F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F(x)＋C(C为任意常数)称为f(x)在区间I上的不定积分.记作()dfxx其中记号称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，C为积分常数.()d()fxxFxC，即2.不定积分的概念前页结束后页例2求21d.1xx21(arctan)()1，x'xx解21darctan.1所以在上有xxxCx例1求.d4xx54()5由于，'xx解54d.5xCxx所以前页结束后页例3求.d1xx,1)1(1)(1)ln(0xx'xx'xx时，有当解)0(lnd1.1)(ln0xCxxxx'xx时，有当1dln(0).xxCxx所以,0)ln(,0lnlnxxxxx当当1dln().xxCx又前页结束后页3不定积分与微分的关系微分运算与积分运算互为逆运算.(1)[()d]()d()d()dfxx'fxfxxfxx或，特别地，有d.xxC(2)()d()d()()F'xxFxCFxFxC或，前页结束后页(6)sindcosxxxC(1)dkxkxC4.1.2不定积分的基本积分公式d(3)ln||.xxCx(5)d.eexxxC1(2)d(1).1xxxC(4)d.lnxxxCaaa前页结束后页22d(8)cscdcot.sinxxxxCx(10)sectandsec.xxxxC(7)cosdsin.xxxC22d(9)secdtan.cosxxxxCx(11)csccotdcsc.xxxxC21(12)darcsin.1xxCx21(13)darctan.1xxCx前页结束后页例4计算下列积分.d1(3).d1(2).d)1(23xxxxxx.43131134131CCxxxxxxdd1(2)21解xxxxdd(1)313xxxxdd1(3)22.22111211CxCx.112112CxCx前页结束后页例5计算下列积分(1)2.()..21d(2)d(3)dxxxxxex解(1)22dln2xxxC(3).deexxxC11111()d()()122ln22ln2xxxxCC(2)前页结束后页4.1.3不定积分的性质性质1被积函数中不为零的常数因子可以移到积分号的前面.()d()dkfxxkfxx).0(kk是常数，性质2可以推广到有限多个函数的情形，即1212()()()d()d()d()d.nnxxxxxxxxxxffffff性质2两个函数的和(或差)的不定积分等于各函数不定积分的和(或差)，即[()()]d()d()d.fxgxxfxxgxx前页结束后页例6求32543)d.(2xxxx322d5d4d3dxxxxxxx3232543)d2d5d4d3d(2xxxxxxxxxxx解4321523.23xCxxx注逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意常数．由于任意常数之和仍是任意常数，因此只要写出一个任意常数即可前页结束后页例7求xxxd)sin23(xxxxxxxdsin2dd)sin233(解2(cos)2cos.ln3ln333xxxCxC例8求2d.(1)xxx531222221()(所以xxxxxxxd)d53122222,(1)xxxxx解xxxxxxdd2d212325.325472232527Cxxx前页结束后页例9求2cosd2xx21cos1cosdddcosd222xxxxxxx1(sin)2xxC解.arctanCxx例10求xxxd122xxxxxd)11(1d1222解xxxd11d2前页结束后页.arctan33Cxxxxxxd11)1(22xxxxxxxd11)1)(1(d1222224解xxxxd11d)1(22.d1224xxx例11求前页结束后页.dtan2xx.tanCxx例12求xxxx)d1(secdtan22解xxxddsec2有些积分在基本积分公式中没有相应的类型，但经过对被积函数的适当变形，化为基本公式所列函数的积分后，便可逐项积分求得结果．如例9－12。前页结束后页函数f(x)的原函数图形称为f(x)的积分曲线,不定积分表示的不是一个原函数,而是无穷多个(全部)原函数,通常说成一族函数,反映在几何上则是一族曲线,这族曲线称为f(x)的积分曲线族.4.1.4.不定积分的几何意义在相同的横坐标处,所有积分曲线的斜率均为k,因此,在每一条积分曲线上,以x为横坐标的点处的切线彼此平行（如图）.f(x)为积分曲线在(x,f(x))处的切线斜率.前页结束后页21d2所以yxxxC(2,3)1C把代入上述方程，得，例13设曲线通过点(2,3),且其上任一点的切线斜率等于这点的横坐标，求此曲线方程.解设所求的曲线方程为,依题意可知()yfx，y'x因此所求曲线的方程为21.2xy前页结束后页.d2cosxx求4.2.1第一类换元法例11dd2，xu原因在于被积函数cos2x与公式中的被积函数不一样.如果令u=2x，则cos2x=cosu，du=2dx，从而xxdcos11cos2dcosdcosd22xxuuuu所以有？1cos2dsin2.2xxxC分析4.2换元积分法前页结束后页.sin21dcos21cossincossinddCuuuuuuuuu的原函数，因此有被积函数是而言，，即对新的积分变量由于.2sin21sin212CxCuxu代回，得再把综合上述分析，此题的正确解法如下：前页结束后页,d2d,2xuxu得令uuxxdcos21d2cos解.2sin21sin21CxCu，则有得uxd21d.d2cosxx求前页结束后页)()()d(有具有连续导数，则如果，设xuCuFuuf[()]()d[()](1)fx'xxFxC定理1证依题意有)()d(，CuFuuf即有),()(ddufuFx又由复合函数微分法可得)()(x'uf.)()(x'xf)(ddxFuxuuFudd)(dd)(xx令前页结束后页根据不定积分的定义，则有.)(d)()(CxFxx'xf公式(1)称为不定积分的第一换元积分公式，应用第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元积分法.也称“凑微分”法应用定理1求不定积分的步骤为()d()()d()d()gxxfxxxfxx凑微分()d()()()()fuuFuCFxCxuux变量代换还原前页结束后页例2求.d)13(2008xxd31d20082008)13(uxux－于是有，，得，得令uxxuxud31d3dd13解uud31=200820092009111(31).320096027CxCu.d42xxxd2d42则，，则令xxuux解d21d42uuxxx例3求Cu233221=.31)4(223Cx前页结束后页例4求2dxxex解222211ddd22xxuxexexeuxu变量代换凑微分221122uxeCeCux还原例5求.dtanxx=ln|cos|.xC类似地，有dlnsincot||.xxxCdcossindtanxxxxx解)d(coscos1xx前页结束后页(1)22dxax=1arctanxCaa0a221dxabarcsin.xCa(2)2211dln.2xaxCaxaxacscdlncsccotxxxxC(4)secdxxlnsectanxxC(5)此外还可以得到一组积分公式：前页结束后页4.2.2第二类换元积分法12dd11txttx1d.1xx例6求22d1tt22ln1.xxC12d2d(1)1ttt22ln1ttC解作变量代换,令,可将无理函数化为有理函数的积分,所以有,xt前页结束后页一般的说，若积分不易计算可以作适当的变量代换，把原积分化为的形式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后，还要将代回.还原成x的函数，这就是第二换元积分法计算不定积分的基本思想.xxfd)()(txtx'xfd)())(()(1xt前页结束后页设是单调可导的函数，且定理2)(tx'()0t()()d()ftttFtC那么()d()'()d()fxxftttFtC1()FxC应用第二类换元法求不定积分的步骤为()d()'()d()d()()fxxftttgttFtCxt换元()tx还原1()FtC前页结束后页例7求.d1xxxtt)d1(22，所以有，得，得令ttxxtxtd2d112解tttxxtd21d112.1)1(3212CxxxCtt3322前页结束后页).0(d22axxa，例8求ttattataxxadcosdcoscosd2222解).2π2π(xcossin1sindcosdsin222222tatataaxattaxtax，而，设）（tttattad2cosd2d22cos122.cossin22sin21222CtttaCtta前页结束后页并有，则，因为,arcsinsinsinaxtaxttax,1sin1cos2222axaaxxtCxaxaxaxxa2arcsin2d22222.cos,cos2222axataxat＝斜边邻边直接写出：角形也可由图所示的直角三上面axtax22前页结束后页0).(d22axa